2018-2019学年高中新创新一轮复习文数江苏专版：课时

课时达标检测(三十四）空间几何体的表面积与体积
[练基础小题——强化运算能力]
1．下列结论中错误的序号有________． ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥； ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．
解析：①错误，如图(1)是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；②错误，如图(2)，若△ABC 不是直角三角形，或△ABC 是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；③错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．④显然正确．
答案：①②③
2．(2018·南通中学高三月考)如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若各条
棱长均为2，且M 为A 1C 1 的中点，则三棱锥M -AB 1C 的体积是________．
解析：因为VM -AB 1C ＝VABC -A 1B 1C 1－VA -A 1B 1M －VB 1-ABC －VC -B 1C 1M ，所以VM -AB 1C ＝2×34×22－13×2×12×34×22－13×2×34
×22－13×2×12×34×22＝233
. 答案：
23
3
3．已知某圆锥体的底面半径r ＝3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为
2π
3的扇形，则该圆锥体的表面积是________．
解析：由已知可得沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为2πr ＝6π，从而其母线长为l ＝6π2π3
＝9，所以圆锥体的表面积为S 侧＋S 底＝1
2×9×6π＋9π＝36π.
答案：36π
4.(2018·陕西西工大附中训练)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD
是边长为m 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝m ，PA ＝PC ＝2m ，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．
解析：由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥AD .又PD ＝m ，PA ＝2m ，则AD ＝m .设内切球的球心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OP (图略)，易知V P -ABCD ＝V O -ABCD ＋V O
-PAD ＋V O -PAB ＋V O -PBC ＋V O -PCD ，即
13·m 2·m ＝13·m 2×R ＋13×12·m 2·R ＋13×12·2m 2·R ＋13×12
·2m 2·R ＋13·12·m 2·R ，解得R ＝12(2－2)m ，所以此球的最大半径是1
2
(2－2)m .
答案：1
2
(2－2)m
5．(2018·常州期末)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比值为________．
解析：
如图，由题意可得圆柱的侧面积为S 1＝2πrh ＝2πr 2.圆锥的母线l ＝h 2＋r 2＝2r ，故圆锥的侧面积为S 2＝12×2πr ×l ＝2πr 2，所以S 2S 1＝22
.
答案：
22
[练常考题点——检验高考能力]
一、填空题
1．已知圆锥的表面积为a ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是________．
解析：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意知2πr ＝πl ，∴l ＝2r ，则圆锥的表面积S 表＝πr 2＋1
2π(2r )2＝a ，∴r 2＝a 3π，∴2r ＝23πa 3π
.
答案：
23πa
3π
2．(2018·苏北四市一模)将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是________．
解析：因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以斜边上的高为2，故旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体，圆锥的底面半径为2，高为2，因此，几何体的体积为V ＝2×13π×22×2＝16π3
.
答案：
16π
3
3．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．
解析：依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R ，则2R ＝12＋12＋(2)2＝2，解得R ＝1，所以V ＝4π3R 3＝4π3
. 答案：
4π3
4．已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为________． 解析：如图所示，过顶点A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，则O
为正三角形BCD 的中心，连结DO 并延长交BC 于E ，又正四面体的棱长为2，所以DE ＝62，OD ＝23DE ＝6
3，所以在直角三角形AOD 中，AO ＝AD 2－OD 2＝
23
3
.设正四面体外接球的球心为P ，半径为R ，连结PD ，则在直角三角形POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2，即R 2＝⎝⎛⎭⎫233－R 2＋⎝⎛⎭
⎫632，解得R ＝
3
2
，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝3π. 答案：3π
5．(2018·无锡期中)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．
解析：如图，设截面小圆的半径为r ，球的半径为R ，因为AH ∶HB
＝1∶2，所以OH ＝1
3R ，又由题意得πr 2＝π，则r ＝1.由勾股定理得，R 2
＝r 2＋OH 2，故R 2＝1＋⎝⎛⎭⎫13R 2，即R 2＝9
8.由球的表面积公式得，S ＝4πR 2＝9π
2
. 答案：
9π2
6．(2018·苏州十中月考)已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边
长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3.若点M 是BC 的中点，则三棱锥M -PAD 的体积为________．
解析：因为S △ADM ＝2S △ABC －S △ABM －S △MDC ＝2×1
2
×4×sin 60°
－12×2×1×sin 60°－12
×2×1×sin 120°＝3，且侧棱PA ⊥底面ABCD ，所以V M -PAD ＝V P -AMD
＝1
3
×3×3＝ 3. 答案： 3
7．在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且BP PD 1＝1
2，M 为线段
B 1
C 1上的动点，则三棱锥M -PBC 的体积为________．
解析：∵BP PD 1＝12，∴点P 到平面BC 1的距离是D 1到平面BC 1距离的1
3，即三棱锥P -MBC
的高h ＝D 1C 13＝1.M 为线段B 1C 1上的点，∴S △MBC ＝12×3×3＝92，∴V M -PBC ＝V P -MBC ＝13×9
2×1＝32
. 答案：3
2
8．(2018·启东中学月考)将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为________．
解析：V 球＝43π×13＝4
3
π，V 柱＝π⎝⎛⎭⎫2π2π2×4＝4π. 设重新锻造成一个大铁球的半径为R ，则43πR 3＝43π＋4π，R ＝3
4，则该大铁球的表面
积S ＝4π(34)2＝83
2π.
答案：83
2π
9．(2017·徐州市四模)若圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆锥、球的表面积分别记为S 1，S 2，则S 1
S 2
的值是________．
解析：设球的半径为r ，则圆锥的底面半径和高分别为r,2r ，
则圆锥的母线长为5r ，其侧面积S ＝πrl ＝5πr 2
，所以S 1
S 2＝5πr 2＋πr 24πr 2
＝5＋14
. 答案：
5＋1
4
10.(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸
片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得
D ，
E ，
F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．
解析：法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC 的边长变化时，
设△ABC 的边长为a (a ＞0)cm ，则△ABC 的面积为34a 2，△DBC 的高为5－3
6
a ，则正三棱锥的高为
⎝
⎛⎭⎫5－36a 2－⎝⎛⎭⎫36a 2＝
25－
53
3
a ， ∴25－
53
3
a ＞0，∴0＜a ＜53， ∴所得三棱锥的体积V ＝13×3
4a 2×
25－
533a ＝3
12
× 25a 4－
533
a 5
. 令t ＝25a 4－
533a 5，则t ′＝100a 3－2533
a 4
，由t ′＝0，得a ＝43，此时所得三棱锥的体积最大，为415 cm 3.
法二：
如图，连结OD 交BC 于点G ，由题意知，OD ⊥BC .易得OG ＝
3
6
BC ， 设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，S △ABC ＝1
2×23x ×3x ＝33x 2，
故所得三棱锥的体积V ＝1
3×33x 2×
(5－x )2－x 2＝3x 2×
25－10x ＝3
×25x 4－10x 5.
令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝⎛⎭⎫0，52， 则f ′(x )＝100x 3－50x 4，
令f ′(x )＞0，即x 4－2x 3＜0，得0＜x ＜2， 则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，5
2时，f (x )≤f (2)＝80， ∴V ≤3×80＝415.
∴所求三棱锥的体积的最大值为415. 答案：415 二、解答题
11．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，且
∠BAP ＝∠CDP ＝90°.
(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P -ABCD 的体
积为8
3
，求该四棱锥的侧面积．
解：(1)证明：由∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . 又AP ∩PD ＝P ， 所以AB ⊥平面PAD .
又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .
(2)如图所示，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E . 由(1)知，AB ⊥平面PAD ， 故AB ⊥PE ， 可得PE ⊥平面ABCD .
设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝2
2
x . 故四棱锥P -ABCD 的体积 V P -ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3. 由题设得13x 3＝8
3
，故x ＝2.
从而PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2. 可得四棱锥P -ABCD 的侧面积为
12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋1
2
BC 2sin 60°＝6＋2 3. 12．(2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，
上部的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．
(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 解：(1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8. 因为A 1B 1＝AB ＝6，
所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积
V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)； 正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．
所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．
(2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ， 则0＜h ＜6，O 1O ＝4h .连结O 1B 1. 因为在Rt △PO 1B 1中，
O 1B 21＋PO 21＝PB 21，
所以⎝⎛
⎭
⎫2a 22
＋h 2＝36， 即a 2＝2(36－h 2)．
于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝26
3(36h －h 3)，0＜h ＜6，
从而V ′＝
26
3
(36－3h 2)＝26(12－h 2)． 令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0＜h ＜23时，V ′＞0，V 是单调增函数； 当23＜h ＜6时，V ′＜0，V 是单调减函数． 故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．。