北京市西城区2020届高三第一次模拟考试数学试题

北京市西城区2020届高三第一次模拟考
试数学试题
西城区高三数学统一测试
2020.4 第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选择符合题目要求的一项。

1.设 $A=\{x|x2\}$，则 $A\cap B$ =（）
A。

$(-\infty,)$
B。

$(2,3)$
C。

$(-\infty,)\cup(2,3)$
D。

$(-\infty,3)$
2.若复数 $z=(3-i)(1+i)$，则 $z$ =（）
A。

22
B。

25
C。

10
D。

20
3.下列函数中，值域为$\mathbb{R}$ 且为奇函数的是（）
A。

$y=x+2$
B。

$y=\sin x$
C。

$y=x-x^3$
D。

$y=2\sqrt{x}$
4.设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若
$a_3=2$，$a_1+a_4=5$，则 $S_6=$（）
A。

10
B。

9
C。

8
D。

7
5.设 $A(2,-1)$，$B(4,1)$，则以线段 $AB$ 为直径的圆的方程是（）
A。

$(x-3)^2+y=2$，$(x-3)^2+y=8$
B。

$(x+3)^2+y=2$，$(x+3)^2+y=8$
C。

$(x-3)^2+y=2$，$(x+3)^2+y=8$
D。

$(x+3)^2+y=2$，$(x-3)^2+y=8$
6.设 $a,b,c$ 为非零实数，且 $a>c$，$b>c$，则（）
A。

$a+b>c$
B。

$a^2+b^2>c^2$
C。

$(a+b)^2>c^2$
D。

$abc>0$
7.某四棱锥的三视图如图所示，记 $S$ 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）
A。

$22\notin S$，且 $23\notin S$
B。

$22\notin S$，且 $23\in S$
C。

$22\in S$，且 $23\notin S$
D。

$22\in S$，且 $23\in S$
8.设 $a,b$ 为非零向量，则“$a+b=a-b$”是“$a$ 与 $b$ 共线”的（）
A。

充分非必要条件
B。

必要而非充分条件
C。

充要条件
D。

既非充分也非必要条件
9.已知函数 $f(x)=\dfrac{\sin x}{1+2\sin x}$ 的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（）
①绕着 $x$ 轴上一点旋转 $180^\circ$；
②沿 $x$ 轴正方向平移；
③以 $x$ 轴的某一条垂线为轴作轴对称。

A。

①③
B。

③④
C。

②③
D。

②④
10.设函数 $f(x)=\begin{cases}2x+1,&x\leqslant 0\\ \log x,&x>0\end{cases}$，若关于 $x$ 的方程
$f(x)=a(a\in\mathbb{R})$ 有四个实数解 $x_i(i=1,2,3,4)$，其中$x_1<x_2<x_3<x_4$，则 $(x_1+x_2)(x_3-x_4)$ 的取值范围是（）
A。

$(,-1]$
B。

$(,99]$
C。

$(,100]$
D。

$(,+\infty)$
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：
1.56
2.x<2
3.y^2/16 - x^2/9 = 1，e = sqrt(25/9) = 5/3
4.π/2，(0.π/2)
5.α = π/4
三、解答题：
16.
Ⅰ）连接AA1，证明：AA1平分角BAD和角BCD，故AB垂直于平面ADD1A1；
Ⅱ）连接BD，由余弦定理得cos∠ABC = 1/2，故
sin∠ABC = √3/2，又因为∠ABC + ∠BCD = 180°，所以
sin∠AB-CD = sin(∠ABC + ∠BCD) = sin∠ABCcos∠BCD + cos∠ABCsin∠BCD = √3/4 + 1/4√3 = √3/2.
17.
选第三个条件a = 3，由正弦定理得sinC = √3/2，又因为A = 2π/3，所以B = π/6，由海伦公式得∆ABC = √15/4.
18.
Ⅰ）根据茎叶图可知，80分以上的女生人数约为50人；
Ⅱ）从8名男生中随机抽取2人，共有28种情况，其中有4种情况两人测试成绩都在70分以上，故X的分布列为：P(X = 0) = 6/7，P(X = 1) = 16/35，P(X = 2) = 9/70，数学期望为E(X) = 8/35.
Ⅲ）为了方便联系，我们将所有的青年学生志愿者随机分成若干组，每组人数不少于5000人。

然后在每组中随机选取m个人作为联络员。

要求每组的联络员中至少有1个人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%。

根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值。

（结论不需要证明）
19.（本小题满分14分）
给定函数2f(x)=alnx+x-(a+2)x，其中a∈R。

Ⅰ）如果曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为4，求a 的值；
Ⅱ）已知导函数f(x)在区间(1,e)上存在零点，证明当
x∈(1,e)时，f(x)>-e^2.
20.（本小题满分15分）
设椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1，直线l_1经过点
M(m,b√(a^2-m^2))，直线l_2经过点N(n,b√(a^2-n^2))，直线
l_1∥直线l_2，且直线l_1、l_2分别与椭圆E相交于A、B两
点和C、D两点。

Ⅰ）如果M、N分别是椭圆E的左、右焦点，且直线
l_1⊥x轴，求四边形ABCD的面积；
Ⅱ）如果直线l_1的斜率存在且不为0，四边形ABCD为
平行四边形，证明m+n=0；
Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由。

21.（本小题满分14分）
有k个整数a_1,a_2,…,a_k满足1≤a_1≤a_2≤…≤a_k≤n，且
a_1+a_2+…+a_k=n。

如果n是正整数，则称数组
(a_1,a_2,…,a_k)为n的一个“正整数分拆”。

记a_1,a_2,…,a_k
均为偶数的“正整数分拆”的个数为f_n，a_1,a_2,…,a_k均为奇
数的“正整数分拆”的个数为g_n。

Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；
Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设(a_1,a_2,…,a_k)是n的一个“正整数分拆”，且a_1=2，求k的最大值；
Ⅲ）对于所有的正整数n，证明f_n≤g_n，并求出使等式
成立的n的值。

（注：对于n的两个“正整数分
拆”(a_1,a_2,…,a_k)和(b_1,b_2,…,b_m)，当且仅当k=m且
a_1=b_1,a_2=b_2,…,a_k=b_k时，认为它们是相同的“正整数分拆”。

）。