成都北京师范大学成都实验中学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．下列不等式错误的是（ ） A ．ln 33ln 2<
B
．3ln 242e <
C ．ln e
ππ<
D ．21515<
2．已知函数()()2
2
1sin 1
x x f x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则
()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（ ）
A ．0
B ．2
C ．2019
D ．2020
3．某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数
关系：3
1()1010V t H t ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭（H 为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(
)
3
m /h v .那么瞬时融化速度等于(
)
3
m /h v 的时刻是图中的（ ）.
A ．1t
B ．2t
C ．3t
D ．4t
4．已知函数f (x )(x ∈R )满足(1)1f =，且()f x 的导数f ′(x )>1
2，则不等式1()22
x f x <+的解集（ ） A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D ．(－1，1)
5．下列说法正确的是（ ）
A ．命题“若21x =，则1x ≠”的否命题是“若21x =，则1x =”
B ．命题“0x R ∃∈，2
000x x -＜”的否定是“x R ∀∈，20x x -＞”
C ．“()y f x =在0x 处有极值”是“0()0f x '=”的充要条件
D ．命题“若函数2()1f x x ax =-+有零点，则“2a ≥或2a ≤-”的逆否命题为真命题
6．已知函数()22,22,2x x x
x f x e x x ⎧+>⎪
=⎨⎪+≤⎩
，函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的
取值范围为（ ） A ．28,
e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．28,4e ⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．280,
e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．[)28,
4,e ⎛⎫
-∞+∞ ⎪⎝⎭
7．若函数()()22co 102s x f x x f x '=++，则6f π⎛⎫
' ⎪⎝⎭
的值为（ ） A ．0
B ．
6
π
C ．
3
π D ．π
8．设函数f (x )＝2
4
x －a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )
A ．4
B ．－4
C ．2
D ．－2
9．已知函数()32
114332
f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m ≤≤
B ．24m ≤≤
C ．2m ≤
D ．4m ≤
10．已知函数()f x 在R 上连续可导，导函数为()'f x ，(0)1f =，其满足
()()01f x f x x '->-，函数()
()x f x g x e
=，下列结论错误．．的是（ ） A ．函数()g x 在(1,)+∞上为单调递增函数 B ．0x ≤时，不等式()x f x e ≥恒成立 C ．函数()g x 有最小值，无最大值 D ．1x =是函数()g x 的极大值点
11．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7
B ．4
C ．0
D ．﹣4
12．R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，()20f =，则不等式2()x x e f x e e <-的解集为（ ） A ．()(),00,2∞⋃-
B ．()(),02,-∞+∞
C ．()0+∞，
D ．(),2∞-
二、填空题
13．sin ),()sin cos ,(0)a x dx f x x x x x a ==+≤≤，则()f x 的最大值为_____________.
14．若点()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数1,1
()ln ,1
x e x f x x x ⎧-+=⎨>⎩的图象上任意两点，
且函数()f x 分别在点A 和点B 处的切线互相垂直，则12x x 的最小值为______．
15．已知位移和时间的关系是3
21()2533
s t t t t =
++-，则2t =时的瞬时速度是_______ 16．函数()x f x e =图像上的点到直线22ln 2y x =-的最小距离为______． 17．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，且对任意0x >都有
()()0x f x f x '⋅->成立，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是______.
18．已知函数()3
2
331f x x ax x =-++在区间()2,3上至少有一个极值点，则a 的取值范
围为__________．
19．若0()2f x '=，则000()()
lim
2x f x x f x x
∆→+∆-∆＝________.
20．函数()sin f x x x =在x π=处的切线方程为______________.
三、解答题
21．若函数()3
2143
f x x ax bx =
+-+在2x =-和1x =处取得极值. （1）求函数()f x 的解析式； （2）讨论方程()f x k =实数解的个数.
22．已知函数2
1()ln 2
f x x x =
+． （1）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值及最小值；
（2）对x D ∈，如果函数()f x 的图象在函数()G x 的图象的下方，则称函数()f x 在区间
D 上被函数()G x 覆盖．求证：函数()f x 在区间(1,)+∞上被函数3
2()3
g x x =
覆盖． 23．已知函数2()ln (21)1()f x x ax a x a =+-++≥0. （1）当0a =时，求函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值；
（2）函数()f x 在区间(1,)+∞上存在最小值，记为()g a ，求证：1
()14g a a
<-. 24．已知函数2
1()2ln (2)2
f x x a x a x =
+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数3
4()()9
g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 25．已知函数2()ln f x a x x =+.其中a R ∈. （1）讨论函数()y f x =的单调性；
（2）当1a =，求证：2
()1f x x x +-.
26．已知函数()ln 1x
f x ae x =--．
（1）设2x =是()f x 的极值点，求a 的值； （2）证明；当1
a e
≥
时，()0f x ≥．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 引入函数()ln x
f x x
=，利用导数确定它的单调性，然后由单调性判断各选项． 【详解】 考查函数()()2
ln 1ln ,x x
f x f x x x -='=
由()0f x '>，得0x e << 由()0f x '<得x e >，
所以()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 选项:
32A e <<,
()
2f
f <ln 2
2<，
ln 32∴<
故本选项正确，不符合题意； 选项B ：
22e <()(
f e f ∴>
即
ln
e e >
3ln 2e ∴<故本选项正确，不符合题意； 选项:
C e e π<<
f
f ∴<
<
lnπ
∴>
故本选项错误，符合题意；选项D
154
e<<
154
e<<
()4
f f
∴>
2ln
>=
15
∴>
故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查实数的比较大小．解题关键是引入函数
ln
()
x
f x
x
=，由导数确定它的单调性，由单调性可判断各选项．
2．B
解析：B
【分析】
将函数解析式变形为()2
2sin
1
1
x x
f x
x
+
=+
+
，求得()
f x
'，进而可求得所求代数式的值.【详解】
()
()22
222
1sin12sin2sin
1
111
x x x x x x x
f x
x x x
++++++
===+
+++
，
所以，
()()
()()
()2
2
22020sin2020
22020sin2020
2020202022
2020120201
f f
⨯-+-
⨯+
+-=++=
+-+，()
()()()
()
2
2
2
2cos122sin
1
x x x x x
f x
x
++-+
'=
+
，函数()
f x
'的定义域为R，
()
()()()
()
2
2
2
2cos122sin
1
x x x x x
f x
x
⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
+-⋅-++-+-
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
-=
⎡⎤
-+
⎣⎦
'
()()()
()
()
2
2
2
2cos122sin
1
x x x x x
f x
x
++-+
'
==
+
，
所以，函数()f x '为偶函数，
因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】
结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：
（1）可导的奇函数的导函数为偶函数； （2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.
3．C
解析：C 【分析】
根据题意可知，平均融化速度为(100)(0)
1000
V V v -=
-，反映的是()V t 图象与坐标轴交点连线
的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案. 【详解】
解：平均融化速度为(100)(0)
1000
V V v -=
-，反映的是()V t 图象与坐标轴交点连线的斜率，
观察可知3t 处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了图象的识别，瞬时变化率和切线斜率的关系，理解平均速度表示的几何意义（即斜率）是解题的关键.
4．A
解析：A 【分析】 根据f ′(x )>
1
2，构造函数 ()()122x g x f x =-- ，又()()1111022
=--=g f ，然后将不
等式1()22x f x <+，转化为1
()022
--<x f x ，利用单调性的定义求解. 【详解】 因为f ′(x )>12
， 所以()1
02
f x '
-
> 所以()()()()()11
0222
x g x f x g x f x g x =--⇒=->⇒'' 在R 上递增， 又()()11
11022
=-
-=g f ， 所以不等式1()22x f x <
+，即为1
()022
--<x f x ， 即为：()()1g x g <， 所以1x <， 故选：A 【点睛】
本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用，还考查了构造转化求解问题的能力，属于中档题.
5．D
解析：D 【分析】
选项A ，否命题，条件否定，结论也要否定；选项B ，命题的否定，只对结论否定；选项C ，()y f x =在0x 处有极值，既要满足0()0f x '=，也要满足函数在0x 两边的单调性要相反；选项D ，若函数2
()1f x x ax =-+有零点，等价于0∆≥，原命题与逆否命题同真假． 【详解】
选项A ，命题“若21x =，则1x ≠”的否命题是“若21x ≠，则1x =”，错误；选项B ，命题
“0x R ∃∈，2
000x x -＜”的否定是“x R ∀∈，20x x -≥”，错误；选项C ，0()0f x '=不能
得到()y f x =在0x 处有极值，例如3
()f x x =在0x =时，导数为0，但0x =不是函数极
值点，错误；选项D ，若函数2
()1f x x ax =-+有零点，即方程210x ax -+=有解，所以0∆≥，解得2a ≥或2a ≤-，所以原命题为真命题，又因为原命题与逆否命题同真假，所以逆否命题也是真命题，正确．
2a ≥或2a ≤- 【点睛】
本题主要考查命题真假性的判断，涉及到四个命题、充要条件以及特称命题的否定．
6．C
解析：C 【分析】
当2x ≥时，利用导数研究函数的单调性，()()g x f x m =-有两个零点，即()y f x =的图象与直线y m =有两个交点，结合函数图象，即可求出参数的取值范围； 【详解】
解：当2x ≥时，设()22x x x h x
e +=，则()()()
2222222x x x x
x e x x e x h x e e +-+-'==-， 易知当2x >时，()0h x '<，即()h x 是减函数，∴2x =时，()()2max 82h e
h x ==， 又x →+∞时，()0h x →且()0h x >，而2x ≤时，()2f x x =+是增函数，
()24f =．
()()g x f x m =-有两个零点，即()y f x =的图象与直线y m =有两个交点，函数
()22,22,2x x x
x f x e x x ⎧+>⎪
=⎨⎪+≤⎩
的图象如下所示：
所以2
80m e <<
．
故选:C ． 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，函数方程思想与数形结合思想，属于中档题.
7．B
解析：B 【分析】
先对函数()f x 求导，采用赋值的方式计算出()0f '的结果，由此计算出6f π⎛⎫
' ⎪⎝⎭
的值. 【详解】
因为()()20sin 1f x x f x ''=-+，所以令0x =，则()01f '=， 所以()2sin 1f x x x '=-+，则66
f ππ⎛⎫'= ⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】
本题考查导数中的计算，采用赋值法求解出函数解析中的未知量是解答的关键，难度一般.
8．B
解析：B 【解析】
f ′(x )＝－，故f ′(2)＝－＝3，因此a ＝－4.
9．D
解析：D 【分析】
求出函数的导数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，即可得结果 【详解】 解：由()32
114332f x x mx x =
-+-，得'2()4f x x mx =-+， 因为函数()32
114332
f x x mx x =
-+-在区间[]1,2上是增函数， 所以240x mx -+≥在[]1,2上恒成立， 得4
m x x
≤+恒成立 因为44
24x x x x
+
≥⋅=，当且仅当4x x =，即2x =时取等号，
所以4m ≤， 故选：D 【点睛】
此题考查导数的应用，考查函数最值的求值，考查基本不等式应用，考查转化思想，属于中档题
10．D
解析：D 【分析】 对()
()x f x g x e
=求导，由条件可判断单调性，即可依次判断每个选项的正误. 【详解】
()()x f x g x e =
，()()
()x
f x f x
g x e
-=''∴，当1x >时，()()0f x f x '->，即()0g x '>，故()g x 在(1,)+∞上单调递增，故A 正确，不符合题意；当1x <时，()()0f x f x '-<，即()0g x '<，故()g x 在(,1)-∞上单调递减，1x ∴=是函数()g x 的
极小值点，故D 错误，符合题意；
()g x 在(,0]-∞上单调递减，
(0)()(0)1f g x g e
∴≥=
=，即()
1x f x e ≥，()x f x e ∴≥，故B 正确，符合题意；可知()g x 在1x =处取得极小值即最小值，无最大值，故C 正确，不符合题意.
故选：D. 【点睛】
本题考查导数的应用，属于中档题.
11．A
解析：A 【解析】
()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处
的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，
()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ． 12．D
解析：D 【分析】
构造函数()()x
x
F x e f x e =-，则由题意可证得()F x 在R 上单调递增，又()20f =，
()()22222F e f e e =-=-，故2()x x e f x e e <-可转化为()()2F x F <，解得2x <.
【详解】
令()()x x
F x e f x e =-，则()()()()()1x x x x F x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-⎡⎤⎣⎦，
因为()()1f x f x '+>，所以()()()0x
F x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，
所以函数()F x 在R 上单调递增，
又()20f =，所以()()2
2
2
22F e f e e =-=-
故当2()x x e f x e e <-时，有2
()x x e f x e e -<-，即()()2F x F <，
由()F x 的单调性可知2x <. 故选：D. 【点睛】
本题考查导数与函数的应用，考查构造函数法，根据函数的单调性求解不等式，难度一般.
二、填空题
13．【分析】根据定积分的几何意义以及定积分性质求得再求得利用导数分析函数单调性即可求得最大值【详解】令则又即故为半径为的半圆面积故；又是奇函数根据定积分性质则故则故当时单调递增；当时单调递减故故答案为：
解析：
2
π 【分析】 根据定积分的几何意义以及定积分性质，求得a ，再求得f x ，利用导数分析函数单调
性，即可求得最大值. 【详解】
令m =，)n x dx =，则a m n =+，
又y =
22
2x y +=，故m 的半圆面积，
故21
2
m ππ=⨯=；
又y sinx =是奇函数，根据定积分性质，则0n =.
故a π=.
则()(),0f x xsinx cosx x π=+≤≤，
()f x xcosx ='，
故当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，0f x ，()f x 单调递增； 当,2x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，0f x
，()f x 单调递减.
故()22
max f x f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为：2
π 【点睛】
本题考查利用定积分的几何意义求定积分，以及定积分的性质，涉及利用导数求函数的最大值，属综合中档题.
14．【分析】先判定再根据切线相互垂直可得的关系利用该关系式把转化为一元函数利用导数可求其最小值【详解】当时当时因为故所以即其中又令则当时；当时故故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值
解析：1e
-
【分析】
先判定()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，再根据切线相互垂直可得12,x x 的关系，利用该关系式把
12x x 转化为一元函数，利用导数可求其最小值.
【详解】
当1x <时，()0x
f x e '=-<，当1x >时，()1
0f x x
'=
>， 因为()()121f x f x ''=-，故()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，
所以1
2
1
1x e x -⨯
=-即12x x e =，其中11<x . 又1121x
x x x e =，令(),1t
g t te t =<，
则()()1,1t
g t t e t '=+<，
当1t <-时，()0g t '<；当11t -<<时，()0g t '>， 故()()min 11g t g e
=-=-， 故答案为：1e
-. 【点睛】
本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理.
15．17【分析】先求导再根据导数的定义求得时的瞬时速度是得解【详解】则时的瞬时速度故答案为：17【点睛】本题考查导数的定义在物理中的应用函数在处的瞬时变化率称函数在处的导数
解析：17 【分析】
先求导，再根据导数的定义求得2t =时的瞬时速度是(2)s '，得解. 【详解】
321
()2533
s t t t t =++-，22()45=(2)1s t t t t '∴=++++
则2t =时的瞬时速度2
(2)(22)117v s '==++= 故答案为：17 【点睛】
本题考查导数的定义在物理中的应用
函数(=)y f x 在0=x x 处的瞬时变化率称函数(=)y f x 在0=x
x 处的导数.
16．【分析】根据函数图象结合几何关系寻找与直线平行的直线与相切切点到直线的距离即为所求【详解】根据函数图象只需寻找与直线平行的直线与相切切点到直线的距离就是函数图像上的点到直线的最小距离由题令则到直线的
【分析】
根据函数图象，结合几何关系，寻找与直线22ln 2y x =-平行的直线与()x
f x e =相切，
切点到直线的距离即为所求. 【详解】
根据函数图象，只需寻找与直线22ln 2y x =-平行的直线与()x
f x e =相切，切点到直线
22ln2y x =-的距离就是函数()x f x e =图像上的点到直线22ln2y x =-的最小距离，
由题()x
f x e =，()x
f x e '
=，令2,ln 2()x
f x e x =='=， 则()ln 2,2到直线22ln2y x =-的距离最小， 2ln 22ln 225
2
41
--=
+. 25
【点睛】
此题考查求曲线上的点到直线距离的最小值，通过等价转化，只需寻找与直线
22ln 2y x =-平行的直线与()x f x e =相切，且点即为所求点，数形结合求解. 17．【分析】令可证为偶函数且为上的增函数考虑当时的解及当时的解它们的并是所求不等式的解集【详解】等价于令则当时有故为上的增函数而故当时的解为故当时的解为因故为偶函数当时等价于因为偶函数故当时的解为即当时 解析：(1,0)(1,
)
【分析】 令()()
f x
g x x
=
，可证()g x 为偶函数且为()0,∞+上的增函数，考虑当0x >时，()0g x >的解及当0x <时，()0g x <的解，它们的并是所求不等式的解集.
【详解】
2
()0x f x ⋅>等价于0
()0x f x ≠⎧⎨>⎩
，
令()()f x g x x =
，则()()()2''xf x f x g x x
-=， 当0x >时，有()'0g x >，故()g x 为()0,∞+上的增函数，而()10g =， 故当0x >时，()0g x >的解为()1,+∞， 故当0x >时，()0f x >的解为()1,+∞， 因()()()
()f x f x g x g x x x
--=
==-，故()g x 为偶函数， 当0x >时，()0f x >等价于()0g x <，因()g x 为偶函数，
故当0x <时，()0g x <的解为()1,0-即当0x <时，()0f x >的解为()1,0-，
综上，2
()0x f x ⋅>的解集是(1,0)(1,
)，填(1,0)(1,).
【点睛】
如果题设中有关于函数()f x 及其导数()'f x 的不等式，我们应具体该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.
18．【解析】【分析】由在区间中至少有一个极值点等价与方程在其判别式的条件下在区间有解即可求解【详解】因为而在区间中至少有一个极值点等价于方程在其判别式的条件下在区间有解所以由可得令求导数可得所以在上单调
解析：55,43⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
由()f x 在区间(2,3)中至少有一个极值点，等价与方程()0f x '=在其判别式>0∆的条件下在区间(2,3)有解，即可求解． 【详解】
因为()2
2
363f x x ax =-+'，而()f x 在区间(2,3)中至少有一个极值点，
等价于方程223630x ax -+=在其判别式>0∆的条件下在区间(2,3)有解， 所以由223630x ax -+=可得11()2a x x
=+， 令()11()2g x x x =
+，求导数可得()211
(1)2g x x
=-'， 所以()g x 在(2,3)上单调递增，所以5115
()423
x x <+<， 解得
5543
a <<，此时满足>0∆，故实数a 的取值范围是55
(,)43．
【点睛】
本题主要考查了利用导数在函数中的应用，解题的关键是()f x 在区间(2,3)中至少有一个极值点转化为方程()0f x '=在判别式>0∆的条件下在区间(2,3)有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
19．1【详解】根据函数在处导数的定义知即答案为1
解析：1 【详解】
根据函数()f x 在0x 处导数的定义知，
()()
()()()000000
01
1lim
lim 1.222
x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→'+∆-+∆-===∆∆
即答案为1.
20．【解析】分析：首先求得导函数然后求得切线的的斜率最后求解切线方程即可详解：当时求解函数的导数可得：则据此可知切线过点切线的斜率为切线方程为：即：点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导 解析：2y x ππ=-+
【解析】
分析：首先求得导函数，然后求得切线的的斜率，最后求解切线方程即可.
详解：当x π=时，()sin 0f
πππ==，
求解函数的导数可得：()'sin cos f x x x x =+， 则()'f πsin cos ππππ=+⨯=-，
据此可知，切线过点(),0π，切线的斜率为k π=-，
切线方程为：()0y x ππ-=--，即：2
y x ππ=-+.
点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
三、解答题
21．（1）()32
112432
f x x x x =+-+；（2）答案见解析. 【分析】
（1）先对函数求导，根据函数的极值点，列出方程求解，得出,a b ，即可得出解析式；
（2）由（1）的结果，利用导数的方法判定函数单调性，求出函数极值，即可得出结果. 【详解】 （1）由()3
2143
f x x ax bx =
+-+得()22f x x ax b =+-'， 因为函数()3
2143
f x x ax bx =
+-+在2x =-和1x =处取得极值， 所以()()2010f f ⎧-=⎪⎨=''⎪⎩
，即440120a b a b --=⎧⎨+-=⎩，
解得：1
2
a =
，2b =， 所以()32
112432
f x x x x =
+-+； （2）由（1）知，()32
112432
f x x x x =
+-+，则()22f x x x '=+-； 令()0f x '=，解得2x =-或1x =， 随x 变化，()f x '与()f x 的变化情况如下：
()f x ∴在2x =-处取得极大值，为()23f -=
；在1x =处取得极小值，为()17
16
f =
. ∴当17
6k <
或223
k >时，方程()f x k =有一解； 当176k =或223
k =时，方程()f x k =有两解； 当
172263k <<时，方程()f x k =有三解. 【点睛】 思路点睛：
利用导数的方法判定方程根的个数，或由方程根（函数零点）的个数求参数时，通常需要对函数求导，用导数的方法判定函数单调性，求出极值，再利用分类讨论的思想，即可求解；有时也需要利用数形结合的方法求解. 22．（1）()2
max 12
e f x =+；()min 12f x =；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数，判断函数的单调区间，再求函数的最值；（2）利用导数证明函数
32
21()()()ln 032
h x g x f x x x x =-=
-->恒成立，即证明()min 0h x >. 【详解】
（1）1
()f x x x
'=+
当[1,e]x ∈时，()0f x '>，
∴() f x 在[1,]e 递增
()2
max
()12
e f x f e ==+
()min 1(1)2
f x f ==
（2）令32
21()()()ln 32
h x g x f x x x x =-=
-- 21
()2h x x x x
'=--
()()323232111x x x x x x x
--==-+-
()21
(1)21x x x x
=-++ ∵1x >，∴()0h x '>
∴()h x '在(1,)+∞上递增
()min 211(1)0326
h x h ==
-=> ∴()g x 的图像在()f x 的上方，
∴()f x 在区间(1,)+∞上被函数()g x 覆盖． 【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等主要方法有两个，
比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；
综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 23．（1）0；（2）证明见解析. 【分析】
（1）由导数求出函数()f x 的单调性，即可得出函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值； （2）求导得出(21)(1)
()ax x f x x
--'=
，讨论a 的值，确定函数()f x 的单调性，得出函数
()f x 有最小值时a 的取值范围，再令1
2t a
=
，由（1）得出()ln 1,(1)h t t t t =-+>的单调
性，进而证明该不等式. 【详解】
解：（1）当0a =时，()ln 1f x x x =-+，则1()1f x x
'=- 因为[1,)x ∈+∞，所以()0f x '
≤. 所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递减 所以()f x 区间[1,)+∞上最大值为(1)0f =. （2）由题可知1
()2(21)f x ax a x
'
=
+-+ 22(21)1ax a x x
-++=
(21)(1)
ax x x
--=
.
①当0a =时，由（1）知，函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减 所以函数()f x 无最小值，此时不符合题意； ②当1
2
a ≥时，因为(1,)x ∈+∞，所以210ax ->.此时函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增
所以函数()f x 无最小值，此时亦不符合题意； ③当1
02a <<
时，此时112a
<
. 函数()f x 在区间1
(1,)2a 上单调递减，在区间1(,)2a
+∞上单调递增 所以min 111()()ln 224f x f a a a
==- 即11()ln 24g a a a
=-
. 要证1()14g a a
<-，只需证当102a <<时，1
()104g a a -
+<成立. 即证111ln 10,0222a a a ⎛
⎫-+<<< ⎪⎝
⎭ 设1
2t a
=
，()ln 1,(1)h t t t t =-+> 由（1）知()(1)0h t h <= 即1
()104g a a -
+<成立. 所以1
()14g a a
<-. 【点睛】
在证明不等式的恒成立问题时，可以将不等式问题转化为求函数的最值问题，进而证明不
等式.
24．（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存
在,724a ≥
【分析】
（1）求出导函数
'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；
（2）求出导函数'()g x ，假设存在，则'()0g x ≥在(0,)+∞上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值． 【详解】
（1）当1a =时，2
1()2ln 3(0)2
f x x x x x =
+->． 所以2()3f x x x '=+-=2
32(2)(1)
x x x x x x
-+--=
令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2 （2）存在7
24
a ≥
，满足题设， 因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229
x a x x x +-+ 所以224
()23
a g x x x x '=+
-+ 要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224
()20,(0,)3
a g x x x x x '=+
-≥+∈+∞ 即3
2
43660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x x
a +-≥-，(0,)x ∈+∞
令32436()6
x x x
h x +-=，(0,)x ∈+∞，
则2
()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭时，()0h x '<，()h x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减， 当1,2x ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以12x =
是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
∴324366
x x x
+--在(0,)+∞上的最大值为724．
所以存在7
24
a ≥，满足题设． 【点睛】
本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x >确定增区间，用'()0f x <确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多．
25．（1）当0a 时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，函数()f x 在
上单调递减，在)+∞上单调递增；（2）证明见解析． 【分析】
（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对函数求导，按0a 和0a <时，分别判断导函数的符号，得到函数的单调区间．
（2）当1a =时，2()f x lnx x =+，要证明2
()1f x x x +-，即证10lnx x -+．构造
()1g x lnx x =-+利用函数的导数，求解函数的极值，证出命题成立．
【详解】
（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2
2()2a a x
f x x x x
'
+=+=，
①当0a 时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，
②当0a <时，令()0f x '=，解得x =
当0x <<220a x +<，所以()0f x '<，所以()f x 在上单调递减；
当x >220a x +>，所以()0f x '>，所以()f x 在)+∞上单调递增． 综上，当0a 时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；
当0a <时，函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增．
（2）当1a =时，2()f x lnx x =+，要证明2
()1f x x x +-，
即证1lnx x -，即10lnx x -+．即10lnx x -+．
设()1g x lnx x =-+则1()x
g x x
-'=，令()0g x '=得，1x =． 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<．所以1x =为极大值点，也为最
大值点
所以()g x g （1）0=，即10lnx x -+．故2
()1f x x x +-．
【点睛】
本题考查导数在函数中的应用，考查导数判断函数的单调性，考查导数解决不等式的证明，属于中档题．
26．（1）2
12a e =
；（2）见解析. 【分析】
（1）由题意得出()20f '=，可求得a 的值，然后对函数()y f x =是否在2x =取得极值进行验证，进而可求得实数a 的值； （2）当21a e ≥时，()ln 1x e f x x e ≥--，构造函数()ln 1x
e g x x e
=--，利用导数证明出当0x >时，()0g x ≥恒成立，即可证得结论成立.
【详解】
（1）函数()ln 1x f x ae x =--的定义域为()0,∞+，()1x f x ae x
'=-． 由题设知，()20f '=，所以212a e =，此时()212x e f x x
-'=-， 则函数()y f x '=在()0,∞+上为增函数，
当02x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>.
此时，函数()y f x =在2x =处取得极小值，合乎题意. 综上所述，2
12a e =； （2）当1a e ≥时，()ln 1x
e f x x e
≥--， 设()ln 1x e g x x e =--，则()1x e g x e x
'=-． 由于函数()y g x '=在()0,∞+上单调递增，且()10g '=.
当01x <<时，()0g x '<，此时，函数()y g x =单调递减；
当1x >时，()0g x '>，此时，函数()y g x =单调递增．
所以，函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，()()min 10g x g ∴==. 因此，当1a e ≥
时，()0f x ≥． 【点睛】
本题考查利用函数的极值点求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。