高中数学必修第一册《4-4对数函数》课时同步训练试题
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【详解】
指数函数 在 上为减函数，则 ，即 ；
对数函数 在 上为减函数，则 ；
对数函数 在 上为增函数，则 .
.
因此， .
故选：B.
【点睛】
本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.
6．D
【分析】
根据 与 的图象，初步判断 的范围，再根据对数运算即可得出答案.
故选：AD
【点睛】
本题主要考查了平均变化率，75%分位数，对数方程，反函数的概念，属于中档题.
9．
【分析】
利用韦达定理及指对运算求解
【详解】
若方程 的两根为 ，则
故答案为：
【点睛】
本题考查二次方程根与系数的关系，考查指对运算是基础题
10． ．
【分析】
转化条件为函数 在 上单调递减，结合指数函数、对数函数的性质可得 ，即可得解.
10．（2021·四川成都·高三二模（理））已知定义在 上的函数 满足 ，且对任意的 ， ，当 时，都有 成立．若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为______．（用符号“ ”连接）
11．（2021·辽河油田第二高级中学高一开学考试）关于函数 有下列命题：
①函数 的图像关于y轴对称；
②在区间（- ，0）上，函数 是减函数；
3．D
【分析】
根据题意，先分析函数的奇偶性可得 正确， 错误，对于 ，验证 与 的值，可得 错误，对于 ，利用换元法求出 的值域，可得 错误，综合可得答案．
【详解】
根据题意，函数 ，其定义域为 ，
有 ，所以函数 是偶函数，则 正确， 错误，
对于 ， ， 不是增函数， 错误，
对于 ， ，
设 ，当且仅当 时等号成立，则 的最小值为2，故 ，即函数的值域为 ， ， 错误，
4-4
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2021·江苏高一专题练习）已知函数 ，若 ，则a的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．（2021·全国）设不为 的实数 满足： ，则（）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国高三专题练习）已知函数 ，则下列说法正确的是（）
A．函数 在 上为增函数B．函数 的值域为
本题考查函数单调性比较大小问题，是中档题.
方法总结：比较大小的方法
（1）作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
（2）作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
（3）构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
5．B
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较 、 、 三个数与 和 的大小关系，利用换底公式和不等式的基本性质可得出 、 的大小关系，进而可得出这三个数的大小关系.
所以函数 的值域关于原点对称，
对于A中，函数 的值域为 ，不关于原点对称，不符合题意；
对于B中，函数 的值域为 ，关于原点对称，符合题意；
对于C中，函数 的值域为 ，关于原点对称，符合题意；
对于D中，函数 的值域为 ，关于原点对称，符合题意，
故选BCD.
【点睛】
本题主要考查了函数新定义的应用，其中解答中正确理解题意，分别求解函数的值域，判定值域是否关于原点对称是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
（1）若 ，求使不等式 对 恒成立的实数 的取值范围；
（2）设函数 的图像过点 ，函数 .若对于任意的 ，都有 ，求 的最小值.
14．（2020·浙江高一期末）设函数 ．
（1）若 ，解不等式 ；
（2）是否存在常数 时，使函数在 上的值域为 ，若存在，求a的取值范围：若不存在，说明理由．
15．（2021·安徽）已知函数 ( 且 )
若 ，则 ，结合 且 ，解得 ，
则 为增函数，
结合 ，可得 ，
根据题意， 对 恒成立，
则 ，解得 ；
（2）∵函数 的图像过点 ，∴ ，
解得 (不符，舍去)或 ，
∴ ，
在 上单调递增，
在 上单调递增，
∵对于任意的 ，都有 ，
且 在区间 上恒有 ，∴ ，
则 ， ，
则 ，即 的最小值为 .
【点睛】
本题考查利用奇偶性解不等式，解题的关键是判断出函数的单调性，利用奇函数的性质将不等式化为 ，利用单调性求解.
要使 有意义，则 ，即 ，
解得： 或
等价于 ，
所以 ，即 ，
所以 ，可得 ，
解得： 或 ，
综上所述： 或 ，
所以不等式的解集为 或 ，
（2） 是由 和 复合而成，
因为 ，所以 在定义域内单调递减，
因为 在 单调递增，
所以 在 单调递减，
因为 ，所以 ，
所以 在 单调递减，
若函数在 上的值域为 ，
，
所以 是方程 在 上的两个不同的根，
由 ，所以t∈(0，1)∪（1，+∞）.
∴
【点睛】
关键点点睛：注意不要忽略函数的定义域，本题考查了换元思想、运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
考查 的单调性易判断B成立；
考查 的单调性易判断C不成立；
当 时，考查 的单调性易判断D不成立.
【详解】
解： 时， ， ， ，∴A不成立；
∵ 在 上是增函数，且 ，∴ ，∴B立；当0＜b＜1时， 是减函数， ，∴C不成立；
当 时， 在 上是减函数，∴ ，∴D不成立.
故选：B
【点睛】
思路点睛：分别考查对数函数、幂函数、指数函数的单调性，结合取特殊值，是解决对数值、幂值比较大小一类题的常用方法.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：化简函数解析式，利用奇偶性的定义，对数函数的单调性，复合函数的值域是解题的关键，属于中档题.
4．D
【分析】
先根据奇函数性质得 ，再比较自变量大小得 ，最后根据函数单调性即可比较大小.
【详解】
解：根据题意， 为奇函数，
则 ，
又由 ，
又由 在 上是增函数，
则有 .
故选：D.
【点睛】
14．（1） 或 ；（2）存在， ，证明见解析.
【分析】
（1）先将 代入 解析式，再根据对数函数的性质解不等式即可求解；
（2）首先判断 在 单调递减，因此可以建立方程组
等价于 是方程 在 上的两个不同的根，即 是方程 在 上的两个不同的根，利用二次函数根的分布即可求出a的取值范围
【详解】
（1）若 ， ，
C．函数 是奇函数D．函数 是偶函数
4．（2020·甘肃西北师大附中高三期中）已知奇函数 在 上是增函数，若 ， ， ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
5．（2021·江西景德镇一中高一期末）设 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（）
A． B． C． D．
6．（2020·全国高三专题练习（理））已知方程 的两根分别为 ， ，则（）
【详解】
不妨设 ，作出 与 的图象，如图.
由图可知 ，
则 ， ，
那么 ，
则 .
故选：D.
【点睛】
本题考查指数函数和对数函数的图像，涉及指数函数单调性，对数函数单调性，属于中档题.
7．BCD
【分析】
根据“美丽函数”的定义，分别求得个数函数的值域，即可作出判定，得到答案.
【详解】
由题意知，函数 的定义域为 ， ， ，使得 成立，
③函数 的最小值为 ；
④在区间（1，+ ）上，函数 是增函数．其中正确命题序号为_______________
12．（2020·陕西长安一中高一月考）已知函数 在 上为增函数，则 的范围为_______
四、解答题
13．（2021·河南省实验中学高二期中（文））设函数 ( 且 )是定义在 上的奇函数.
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）当 时，求方程 的解.
16．（2020·上海高一专题练习）求函数 的值域.
参考答案
1．D
【分析】
作出函数 的图像，和函数 的图像，结合图像可知直线 介于 与 轴之间，利用导数求出直线 的斜率，数形结合即可求解.
【详解】
由题意可作出函数 的图像，和函数 的图像.
由图像可知：函数 的图像是过原点的直线，
12．
【分析】
根据对数函数的定义域和单调性得 ，解之可求得答案.
【详解】
令 ，则 在 上单调递减，要使函数 在 上为增函数，
则需 在 上为减函数，并且恒大于0，则 ，
解得 ，所以 的范围为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查对数函数的定义域、单调性，二次函数的单调性以及复合函数的单调性，属于中档题.
13．（1） ；（2）最小值为 .
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2021·全国）设函数 的定义域为 ， ， ，使得 成立，则称 为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是
A． B． C． D．
8．（2020·全国高一课时练习）下列结论中正确的是（）
A．已知函数 的定义域为 ，且 在任何区间内的平均变化率均比 在同一区间内的平均变化率小，则函数 在 上是减函数；
综上可知, 或 ,即
（2）当 时,
因为
代入可得
化简可得
即
化简可得
即
解得 或
即 或
【点睛】
本题考查了对数函数的图像与性质,讨论 取值情况并根据函数单调性求参数的取值范围,对数型一元二次方程的解法,属于中档题.
16． .
【分析】
令 ，先求函数定义域 ，进而可得结果.
【详解】
令 ，由t>0得函数定义域为 ，
15．（1） （2） 或
【分析】
（1）根据对数函数的性质,分类讨论 和 两种情况,由单调性解不等式即可求得 的取值范围;
（2）将 代入函数,再代入方程中.结合对数函数的运算化简即可得关于 的方程,解方程即可求解.
【详解】
（1）函数
当 时,函数 单调递减,若 .
则 ,解得
当 时,函数 单调递增,若
则 ,解得
【分析】
（1）根据 是奇函数可求得 ，由 可得 ，继而判断 是增函数，将不等式化为 ，利用单调性可得 对 恒成立，即可求解；
（2）由点 求得 ，可判断 在 上单调递增，进而可得 ，求出 的最大最小值即可.
【详解】
解：（1）∵ 是定义在 上的奇函数，
∴ ，∴ ，解得 ，
则 ，此时 ，满足题意，
而 等价于 ，
8．AD
【分析】
A选项可利用任何区间内平均变化率的大小判断增减性；B选项根据平均数计算a,可判断75%分位数；C选项要注意真数大于0；D选项一次函数是单调函数，即可判断反函数存在.
【详解】
A中，由题意知 在任何区间内的平均变化率都小于0，从而函数 在 上是减函数正确；B中，由2，3，3，7，10，11，12， ，18，20的平均数为10，可求得 ，根据75%分位数概念计算可知 ，故不正确，C中， 时， 无意义，显然错误；D中，一次函数 具有单调性，反解 可以构成函数，故存在反函数，正确.
B．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，10，11，12， ，18，20，且总体的平均数为10，则这组数的75%分位数为13；
C．方程 的解集为 ；
D．一次函数 一定存在反函数．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
9．（2017·上海虹口·上外附中）若方程 的两根为 ，则 ________.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以函数 在 上单调递减，
因为函数 满足 ，所以
因为 即 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，
所以 即 .
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用函数单调性及对称性，将函数值的大小比较转化为自变量的大小比较.
11．①③④
【详解】
①对；当 时， 单调递增，即 在 上单调递增，②错；因为 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时， ，由 为偶函数得， 最小值为 ，③对；因为 在 上单调递增，所以④对，选①③④
因为 ，所以 ， ，
所以 是方程 在 上的两个不同的根
即 是方程 在 上的两个不同的根，
所以 即 ，解得 或 ，
由根与系数的关系可得： ， ，
因为 ，
所以 ， 解得 ，所以 ，
综上所述：
所以a的取值范围为 .
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是判断出复合函数 在 上单调递减，即可建立关于 的方程组，可得出 是方程 在 上的两个不同的根，去掉对数符号，进而转化为二次函数根的分布问题.
当直线介于 与 轴之间符合题意，
直线 为曲线的切线，且此时函数 在第二象限的部分的解析式为
，
求其导数可得 ，因为 ，故 ，
故直线 的斜率为 ，
故只需直线 的斜率 .
故选：D
【点睛】
本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.
2．B
【分析】
当 时，结合对数函数性质易判断A不成立；
指数函数 在 上为减函数，则 ，即 ；
对数函数 在 上为减函数，则 ；
对数函数 在 上为增函数，则 .
.
因此， .
故选：B.
【点睛】
本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.
6．D
【分析】
根据 与 的图象，初步判断 的范围，再根据对数运算即可得出答案.
故选：AD
【点睛】
本题主要考查了平均变化率，75%分位数，对数方程，反函数的概念，属于中档题.
9．
【分析】
利用韦达定理及指对运算求解
【详解】
若方程 的两根为 ，则
故答案为：
【点睛】
本题考查二次方程根与系数的关系，考查指对运算是基础题
10． ．
【分析】
转化条件为函数 在 上单调递减，结合指数函数、对数函数的性质可得 ，即可得解.
10．（2021·四川成都·高三二模（理））已知定义在 上的函数 满足 ，且对任意的 ， ，当 时，都有 成立．若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为______．（用符号“ ”连接）
11．（2021·辽河油田第二高级中学高一开学考试）关于函数 有下列命题：
①函数 的图像关于y轴对称；
②在区间（- ，0）上，函数 是减函数；
3．D
【分析】
根据题意，先分析函数的奇偶性可得 正确， 错误，对于 ，验证 与 的值，可得 错误，对于 ，利用换元法求出 的值域，可得 错误，综合可得答案．
【详解】
根据题意，函数 ，其定义域为 ，
有 ，所以函数 是偶函数，则 正确， 错误，
对于 ， ， 不是增函数， 错误，
对于 ， ，
设 ，当且仅当 时等号成立，则 的最小值为2，故 ，即函数的值域为 ， ， 错误，
4-4
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2021·江苏高一专题练习）已知函数 ，若 ，则a的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．（2021·全国）设不为 的实数 满足： ，则（）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国高三专题练习）已知函数 ，则下列说法正确的是（）
A．函数 在 上为增函数B．函数 的值域为
本题考查函数单调性比较大小问题，是中档题.
方法总结：比较大小的方法
（1）作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
（2）作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
（3）构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
5．B
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较 、 、 三个数与 和 的大小关系，利用换底公式和不等式的基本性质可得出 、 的大小关系，进而可得出这三个数的大小关系.
所以函数 的值域关于原点对称，
对于A中，函数 的值域为 ，不关于原点对称，不符合题意；
对于B中，函数 的值域为 ，关于原点对称，符合题意；
对于C中，函数 的值域为 ，关于原点对称，符合题意；
对于D中，函数 的值域为 ，关于原点对称，符合题意，
故选BCD.
【点睛】
本题主要考查了函数新定义的应用，其中解答中正确理解题意，分别求解函数的值域，判定值域是否关于原点对称是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
（1）若 ，求使不等式 对 恒成立的实数 的取值范围；
（2）设函数 的图像过点 ，函数 .若对于任意的 ，都有 ，求 的最小值.
14．（2020·浙江高一期末）设函数 ．
（1）若 ，解不等式 ；
（2）是否存在常数 时，使函数在 上的值域为 ，若存在，求a的取值范围：若不存在，说明理由．
15．（2021·安徽）已知函数 ( 且 )
若 ，则 ，结合 且 ，解得 ，
则 为增函数，
结合 ，可得 ，
根据题意， 对 恒成立，
则 ，解得 ；
（2）∵函数 的图像过点 ，∴ ，
解得 (不符，舍去)或 ，
∴ ，
在 上单调递增，
在 上单调递增，
∵对于任意的 ，都有 ，
且 在区间 上恒有 ，∴ ，
则 ， ，
则 ，即 的最小值为 .
【点睛】
本题考查利用奇偶性解不等式，解题的关键是判断出函数的单调性，利用奇函数的性质将不等式化为 ，利用单调性求解.
要使 有意义，则 ，即 ，
解得： 或
等价于 ，
所以 ，即 ，
所以 ，可得 ，
解得： 或 ，
综上所述： 或 ，
所以不等式的解集为 或 ，
（2） 是由 和 复合而成，
因为 ，所以 在定义域内单调递减，
因为 在 单调递增，
所以 在 单调递减，
因为 ，所以 ，
所以 在 单调递减，
若函数在 上的值域为 ，
，
所以 是方程 在 上的两个不同的根，
由 ，所以t∈(0，1)∪（1，+∞）.
∴
【点睛】
关键点点睛：注意不要忽略函数的定义域，本题考查了换元思想、运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
考查 的单调性易判断B成立；
考查 的单调性易判断C不成立；
当 时，考查 的单调性易判断D不成立.
【详解】
解： 时， ， ， ，∴A不成立；
∵ 在 上是增函数，且 ，∴ ，∴B立；当0＜b＜1时， 是减函数， ，∴C不成立；
当 时， 在 上是减函数，∴ ，∴D不成立.
故选：B
【点睛】
思路点睛：分别考查对数函数、幂函数、指数函数的单调性，结合取特殊值，是解决对数值、幂值比较大小一类题的常用方法.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：化简函数解析式，利用奇偶性的定义，对数函数的单调性，复合函数的值域是解题的关键，属于中档题.
4．D
【分析】
先根据奇函数性质得 ，再比较自变量大小得 ，最后根据函数单调性即可比较大小.
【详解】
解：根据题意， 为奇函数，
则 ，
又由 ，
又由 在 上是增函数，
则有 .
故选：D.
【点睛】
14．（1） 或 ；（2）存在， ，证明见解析.
【分析】
（1）先将 代入 解析式，再根据对数函数的性质解不等式即可求解；
（2）首先判断 在 单调递减，因此可以建立方程组
等价于 是方程 在 上的两个不同的根，即 是方程 在 上的两个不同的根，利用二次函数根的分布即可求出a的取值范围
【详解】
（1）若 ， ，
C．函数 是奇函数D．函数 是偶函数
4．（2020·甘肃西北师大附中高三期中）已知奇函数 在 上是增函数，若 ， ， ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
5．（2021·江西景德镇一中高一期末）设 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（）
A． B． C． D．
6．（2020·全国高三专题练习（理））已知方程 的两根分别为 ， ，则（）
【详解】
不妨设 ，作出 与 的图象，如图.
由图可知 ，
则 ， ，
那么 ，
则 .
故选：D.
【点睛】
本题考查指数函数和对数函数的图像，涉及指数函数单调性，对数函数单调性，属于中档题.
7．BCD
【分析】
根据“美丽函数”的定义，分别求得个数函数的值域，即可作出判定，得到答案.
【详解】
由题意知，函数 的定义域为 ， ， ，使得 成立，
③函数 的最小值为 ；
④在区间（1，+ ）上，函数 是增函数．其中正确命题序号为_______________
12．（2020·陕西长安一中高一月考）已知函数 在 上为增函数，则 的范围为_______
四、解答题
13．（2021·河南省实验中学高二期中（文））设函数 ( 且 )是定义在 上的奇函数.
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）当 时，求方程 的解.
16．（2020·上海高一专题练习）求函数 的值域.
参考答案
1．D
【分析】
作出函数 的图像，和函数 的图像，结合图像可知直线 介于 与 轴之间，利用导数求出直线 的斜率，数形结合即可求解.
【详解】
由题意可作出函数 的图像，和函数 的图像.
由图像可知：函数 的图像是过原点的直线，
12．
【分析】
根据对数函数的定义域和单调性得 ，解之可求得答案.
【详解】
令 ，则 在 上单调递减，要使函数 在 上为增函数，
则需 在 上为减函数，并且恒大于0，则 ，
解得 ，所以 的范围为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查对数函数的定义域、单调性，二次函数的单调性以及复合函数的单调性，属于中档题.
13．（1） ；（2）最小值为 .
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2021·全国）设函数 的定义域为 ， ， ，使得 成立，则称 为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是
A． B． C． D．
8．（2020·全国高一课时练习）下列结论中正确的是（）
A．已知函数 的定义域为 ，且 在任何区间内的平均变化率均比 在同一区间内的平均变化率小，则函数 在 上是减函数；
综上可知, 或 ,即
（2）当 时,
因为
代入可得
化简可得
即
化简可得
即
解得 或
即 或
【点睛】
本题考查了对数函数的图像与性质,讨论 取值情况并根据函数单调性求参数的取值范围,对数型一元二次方程的解法,属于中档题.
16． .
【分析】
令 ，先求函数定义域 ，进而可得结果.
【详解】
令 ，由t>0得函数定义域为 ，
15．（1） （2） 或
【分析】
（1）根据对数函数的性质,分类讨论 和 两种情况,由单调性解不等式即可求得 的取值范围;
（2）将 代入函数,再代入方程中.结合对数函数的运算化简即可得关于 的方程,解方程即可求解.
【详解】
（1）函数
当 时,函数 单调递减,若 .
则 ,解得
当 时,函数 单调递增,若
则 ,解得
【分析】
（1）根据 是奇函数可求得 ，由 可得 ，继而判断 是增函数，将不等式化为 ，利用单调性可得 对 恒成立，即可求解；
（2）由点 求得 ，可判断 在 上单调递增，进而可得 ，求出 的最大最小值即可.
【详解】
解：（1）∵ 是定义在 上的奇函数，
∴ ，∴ ，解得 ，
则 ，此时 ，满足题意，
而 等价于 ，
8．AD
【分析】
A选项可利用任何区间内平均变化率的大小判断增减性；B选项根据平均数计算a,可判断75%分位数；C选项要注意真数大于0；D选项一次函数是单调函数，即可判断反函数存在.
【详解】
A中，由题意知 在任何区间内的平均变化率都小于0，从而函数 在 上是减函数正确；B中，由2，3，3，7，10，11，12， ，18，20的平均数为10，可求得 ，根据75%分位数概念计算可知 ，故不正确，C中， 时， 无意义，显然错误；D中，一次函数 具有单调性，反解 可以构成函数，故存在反函数，正确.
B．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，10，11，12， ，18，20，且总体的平均数为10，则这组数的75%分位数为13；
C．方程 的解集为 ；
D．一次函数 一定存在反函数．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
9．（2017·上海虹口·上外附中）若方程 的两根为 ，则 ________.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以函数 在 上单调递减，
因为函数 满足 ，所以
因为 即 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，
所以 即 .
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用函数单调性及对称性，将函数值的大小比较转化为自变量的大小比较.
11．①③④
【详解】
①对；当 时， 单调递增，即 在 上单调递增，②错；因为 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时， ，由 为偶函数得， 最小值为 ，③对；因为 在 上单调递增，所以④对，选①③④
因为 ，所以 ， ，
所以 是方程 在 上的两个不同的根
即 是方程 在 上的两个不同的根，
所以 即 ，解得 或 ，
由根与系数的关系可得： ， ，
因为 ，
所以 ， 解得 ，所以 ，
综上所述：
所以a的取值范围为 .
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是判断出复合函数 在 上单调递减，即可建立关于 的方程组，可得出 是方程 在 上的两个不同的根，去掉对数符号，进而转化为二次函数根的分布问题.
当直线介于 与 轴之间符合题意，
直线 为曲线的切线，且此时函数 在第二象限的部分的解析式为
，
求其导数可得 ，因为 ，故 ，
故直线 的斜率为 ，
故只需直线 的斜率 .
故选：D
【点睛】
本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.
2．B
【分析】
当 时，结合对数函数性质易判断A不成立；