第八章：包含非平稳性变量的

• Real consumption per capita 具有趋势.
• Inflation 没有趋势. • 因此，在回归中，增加一个确定性的趋势
变量（t）
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TABLE 18.2 The Log of Consumption Regressed on the Log of Inflation and a Time Trend
•
t
如果ii，d. 零 均 值 ； 有 限 方 差 ； 序 列 不 相 关 ；
且 协 方 差 平 稳
• 此时回归系数的OLS估计依然是有效的， 而且是一致的。
• 协方差平稳：即ε t与ε t-j之间 协方差的大 小只随 j 的改变而改变，与 t 无关。
1、确定性趋势
• 但估计量的方差有了变化:
• 复习，OLS估计量的方差： Var(ˆ1) n 2
二、回归模型中的随机趋势
• 3、当 Z 包含随机趋势， ε 也包含：
p
lim
1
TT1
ztt zt2



随机变量
• 所以，OLS估计量不是“一致估计量”！
二、回归模型中的随机趋势
解释变量 不包含随机趋势
干扰项 不包含
一致估计量
渐进正态分布
干扰项 包含
非一致估计
解释变量 包含随机趋势
宽平稳、严平稳
5、平稳与非平稳序列
• 均值
t EX t xdt(F x)
• 方差
D t X E (X tt)2 (xt)2 dt(F x )
• 自协方差 • 自相关系数
(t,s ) E (X tt)X (ss)
(t,s) (t,s) DXt DXs
Z Z t 1t 2 t 1
Z Z • 所以，可写为： tt 2 t t 1 t Zt t i i 0 趋势
3、随机趋势
• 随机趋势变量的均值： t
E(Zt)E(ti)t i0 • 即，均值随时间的变化而等速增加（减少）
3、随机趋势
1、确定性趋势
Yt 01tt, t1,2...,T; t iid.零 均 值 ； 有 限 方 差 ；
E( Yt) 0 1 t,t 1 , 2 . . . , T
E( Yt) -E( Yt-1) （ 01 t） -（ 0（ 1t-1 ） ） =1
1、确定性趋势

zit zi2
二、回归模型中的随机趋势
• 因为
1
T

2 i
2； 1
T
z
2 i
收敛为一个非0的常数 发散；（为什么？）
二、回归模型中的随机趋势
• 所以，有


p lim
1
T
ztt

0
1

T
zt2
1
T
zt2

• 因此，OLS估计量依然是一个一致估计量；
Z)t Y)2
二、回归模型中的随机趋势
• β1的OLS估计量为：
ˆ1

1
((ZYtt
Z)t Y)2
•p如l i 果m ( 有ˆ 1) ：1pl i m ( ( ZYtt Z Y) ) 2 t 1
• 或者
plim ((ZYtt
样 本 Cov(z,)

T1zii
样 本 Var(z) 样 本 Var() T1zi2 T1i2
• 其中， zi Zi Z
二、回归模型中的随机趋势
1、当 Z 包含随机趋势，但 ε 不包含： 则 Z 与 ε 之间是渐进无关的，所以

p lim
样 本 Cov(z , )

考察如下四个模型的平稳性
(1)xt 0.8xt1t (2)xt 1.1xt1t
(3 )xtxt 1 0 .5 xt 2t
(4 )xt xt 1 0 .5 xt 1t
平稳序列时序图
(1)xt 0.8xt1t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3 )xtxt 1 0 .5 xt 2t
3、随机趋势
• 随机趋势（ Stochastic Trends ）： 与确定性趋势类似，只是趋势变量在
每个时期的变化量不再是一个常数！而 是一个随机变量！
3、随机趋势
• 我们把随机趋势变量定义为：
Zt Zt 1t
• 或者
Zt Z t 1 t
3、随机趋势
• 由于：Zt Zt 1t
t
E(Zt) E(i) 0 i0
t
t
Var(Zt)Var(i) Var(i)
i0
i0
t2
8幅具有1000次观测的随机游走图形
均值都为零， 但差异却非常 大！
8幅具有1000次观测的白噪声图形
Yt t
4、随机游走
• (2) 带漂移项的随机游走（random walk with drift）
• Psychological economists hypothesize that households, being bounded in their rationality, will often succumb to money illusion (as long as nominal price changes are not too dramatic to ignore).
(Xi X )2
i1
1、确定性趋势
• 在这里，OLS估计量为：
T
T
(t t)(Yi Y) (t t)Yi
ˆ1 i1 T
=
i1 T
(t t)2
(t t)2
i1
i1
•
其中，t
1
T
T
t
i1

1(T
2
1)
T
(tt)2
i1
112T(T1)(T1)
• 随机趋势变量的方差： t
Var(Zt)Var(t i) i0
t
tt
Var(i)2Cov(i,k)
i0
i0ki
t2；如 果 序 列 不 相 关
• 方差随时间推移，越来越大！
4、随机游走
(1) 随机游走（random walk）
Zt Zt1t, 其 中 ， t零 均 值 、 同 方 差 、 序 列 不 相 关
二、回归模型中的随机趋势
一个“伪回归” 例子：
– 货币幻觉 Money Illusion: 短期内，人们会
把名义价格的变化错认为是真实价格的变化； – 在货币幻觉下，一般性价格的变化将会影响人们
的消费。
OLS with Stochastic Trends (cont.)
• Neoclassical economic theorists hypothesize that households, being rational, do not suffer from money illusion.
第八章：包含非 平稳性变量的回 归
杨旭
一、时间趋势
• 趋势：变量在长期中稳定的变化。
一、时间趋势
一、时间趋势
• 1、确定性趋势 • 2、宏观经济变量与确定性趋势 • 3、随机趋势 • 4、随机游走 • 5、平稳与非平稳序列
1、确定性趋势
• 当变量以不变的速度随时间增加（或减 少）时, 我们说此变量存在确定性趋势 （deterministic trend）。
一致估计量
非一致估计
没有渐进正态分布 （****） 的性质
二、回归模型中的随机趋势
“伪回归” (Spurious Regression)
A regression in which we frequently
reject the null hypothesis that b = 0 even
in the case that the null is correct.
5、平稳与非平稳序列
• 严平稳 – 严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性 定义 – 它认为只有当序列所有的统计性质 （分布）都不会随着时间的推移而发 生变化时，该序列才能被认为平稳。
5、平稳与非平稳序列
• 宽平稳 – 宽平稳是使用序列的特征统计量来定 义的一种平稳性。 – 它认为序列的统计性质主要由它的低 阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩 平稳，就能保证序列的主要性质近似 稳定。 – 例如，二阶平稳。
Zt Zt1t
4、随机游走
• 对比：
ZZ Z Z 随 机 游 走 ： tt 1t
带 漂 移 项 的 随 机 游 走 ： t t 1 t
白 噪 声 ： Zt t
自 回 归 ： ZtZt 1t
5、平稳与非平稳序列
• 什么是平稳序列？
平稳性等同于说：过去的经验可以用 于未来。
• 但极限分布不再是正态分布，因此t 检验和F 检验都无法进行。
二、回归模型中的随机趋势
• 2、当 Z 不包含随机趋势，但 ε 包含：
1
p
lim

T
1
T
zt t


zt2
• 因为，ε与z的协方差因其包含随机趋势而
发散，同时z的方差收敛。
• 但这种情况不太可能遇到！
1、确定性趋势
• OLS估计量的方差为：
Var(ˆ1)
T
*
1
T
2
T
(t
i1
t)2
T和T1 iT1(tt)2都 将 无 限 变 大 ！
• 可见，此时OLS估计量是“超一致的”。
即收敛的更快！
2、宏观经济变量与确定性趋势
• 你觉得 这几个 宏观变 量是否 具有确 定性趋 势？
一个具有确定性趋势的散点图
Observations, = 0.9
二、回归模型中的随机趋势
• 如果：
Yt 01Zt t,
• 其一中致Z地t估包 1计含一个吗随？机趋势，那么ˆ 1
还能
二、回归模型中的随机趋势
• 针对回归方程：
Yt 01Zt t,
•
β1的OLˆ1S估计1量为 ：((ZYtt
Real Per Capita Consumption and the Rate of inflation, 1948–2019
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OLS with Stochastic Trends (cont.)
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OLS with Stochastic Trends (cont.)
• To test for the presence of money illusion, we might naively regress the log of real per capita consumption on the rate of inflation for the years 1948–2019.
• If there is no money illusion, inflation should have no effect on real consumption.
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Z)t Y)2


0
二、回归模型中的随机趋势
• 则OLS估计量就是一致估计量：
• 当 Z 和 ε 都不包含随机趋势时，上述条 件将得以满足。
• 但是当 Z 和 ε 包含随机趋势时，上述问 题将遇到麻烦！
二、回归模型中的随机趋势
1、当 Z 包含随机趋势，但 ε 不包含：
• z与ε的样本相关系数为：
非平稳序列时序图
(2)xt 1.1xt1t
(4 )xt xt 1 0 .5 xt 1t
5、平稳与非平稳序列
对于一阶自相关模型而言：
xt xt1t
只要 0<|| 1
序列就是平稳的。
1 ; 1都 是 不 平 稳 的 ！
Eight Line Graphs of 1,000 Serially Correlated
样 本 Var(z ) 样 本 Var( )

p lim


1
T
zii

0
1
T
z
2 i
1
T

2 i

二、回归模型中的随机趋势
• 上述表达式与“OLS估计量的误差公式”
非常接近。
ˆ1

1
((ZYtt
Z)t Y)2
•
误差是 ：(Zt Z)t (Yt Y)2