2020版数学人教B版必修5课件：2.2.2 等差数列的前n项和

2.2.2 等差数列的前n项和
情境引入导学
北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出酒店里把酒瓶层层堆积，底层排成长方形，以上逐层的长、宽各减少一个，共堆n层，堆成棱台的形状，沈括给出了一个计算方法——“隙积术”求酒瓶总数，沈括的这一研究，构成了其后二三百年关于垛积问题研究的开端.
1.等差数列的前n 项和公式
若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则前n 项和S n ＝________________＝__________________. 2．等差数列前n 项和的性质
(1)等差数列{a n }的前k 项和为S k ，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…
成公差为__________的等差数列． (2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则{S n n }也是___________
．
知能自主梳理
()12n n a a +()1112
na n n d +-2
k d 等差数列
例1：已知等差数列{a n }中，
(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；
(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .
课堂典例讲练
命题方向1：有关等差数列的前n 项和的基本运算
解：(1)∵S n ＝n ·32＋n (n －1)2(－12
)＝－15， 整理得n 2
－7n －60＝0，
解得n ＝12或n ＝－5(舍去)，
∴a 12＝32＋(12－1)×(－12
)＝－4. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2
＝－1 022，解得n ＝4. 又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.
变式训练1：等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于()
A．1 B．5 3
C．－2 D．3
【解析】由题意，得6＝3a 1＋12×3×2×d ，
又a 1＝4，解得d ＝－2.
【答案】C
命题方向2：等差数列前n项和的性质
例2：已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝310，S20＝1 220，求S30.
解：解法一：设{a n }的公差为d ，
由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋12×10×9×d ＝310
20a 1＋12×20×19×d ＝1 220，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝4
d ＝6.
∴S 30＝30a 1＋12×30×29×6＝2 730.
解法二：∵数列{a n }为等差数列， ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20， 即2×(1 220－310)＝310＋S 30－1 220， ∴S 30＝2 730.
解法三：设S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)．
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
310＝100A ＋10B 1 220＝400A ＋20B ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝3B ＝1. ∴S n ＝3n 2＋n .∴S 30＝3×900＋30＝2 730.
变式训练2：已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S m＝70，S2m＝110，则S3m＝________.
【解析】∵{a n}为等差数列，
∴S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，
∴2(S2m－S m)＝S m＋S3m－S2m，
即2(110－70)＝70＋S3m－110，
∴S3m＝120.
【答案】120
命题方向3：等差数列前n项和公式的实际应用
例3：某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
解：因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{a n }．
则a 1＝50＋1 000×1%＝60，
a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，
a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，
a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，
∴a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%
＝60－12
(n －1) (1≤n ≤20，n ∈N )．
∴{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列，
∴a 10＝60－9×12＝55.5，
a 20＝60－19×12＝50.5.
∴S 20＝12
×(a 1＋a 20)×20 ＝10×(60＋50.5)＝1 105.
∴实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．
变式训练3：“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭，点火1min内通过的路程为2km，以后每分钟通过的路程增加2km，在到达离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是() A．10min B．13min
C．15min D．20min
【解析】由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a 1＝2为首项，公差d ＝2的等差数列，
∴n min 内通过的路程为
S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n ＝n (n ＋1)．
检验选项知，n ＝15时，S 15＝240km.
【答案】C
例4：S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求
a n .
(1)S n ＝2n 2＋3n ＋2；
(2)S n ＝3n －1.
命题方向4：数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系，
a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
S 1 (n ＝1)
S n －S n －1 (n ≥2)
解：(1)a 1＝S 1＝7，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
7 (n ＝1)4n ＋1 (n ≥2). (2)a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3
n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式， ∴a n ＝2×3
n －1 (n ∈N *
)．
变式训练4：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式．
解：∵S n 满足log 2(1＋S n )＝n ＋1， ∴1＋S n ＝2n ＋1，即S n ＝2n ＋1－1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2
n ＋1－1)－(2n －1)＝2n . 由于a 1＝3不适合上式，
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3(n ＝1)2n (n ≥2).
课堂检测
1.在等差数列{a n}中，已知a2＝2，a8＝10，则前9项和S9＝()
A．45B．52
C．108 D．54
【解析】∵{a n }是等差数列，∴a 2＋a 8＝a 1＋a 9＝2＋10＝12，
∴S 9＝9×(a 1＋a 9)2＝9×122
＝54. 【答案】D
2．等差数列{a n}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和S n＝100，则n＝()
A．9 B．10
C．11 D．12
【解析】设公差为d ，由已知得a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝14， 又a 1＝1，∴6d ＝12，∴d ＝2.
∴S n ＝na 1＋12n (n －1)d
＝n ＋12
n (n －1)×2＝n 2＝100， ∴n ＝10.
【答案】B
3．设{a n}为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝()
A．18 B．20
C．22 D．24
【解析】∵S10＝S11，∴a11＝S11－S10＝0，
∴a11＝a1＋10d＝a1－20＝0，∴a1＝20.
【答案】B
4．等差数列{a n }中，S 7＝2 009，则a 4＝________.
【解析】S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42
＝7a 4＝2 009， ∴a 4＝287.
【答案】287
5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝10，S 10＝－5，则公差为________．
【解析】由题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＋12×5×4×d ＝1010a 1＋12×10×9×d ＝－5 ， 解得d ＝－1.
【答案】－1。