深圳市新安中学2024届数学高一下期末经典试题含解析

深圳市新安中学2024届数学高一下期末经典试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．函数cos tan y x x =⋅（302x π
≤<
且2
x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ． B ．
C ．
D ．
2．设1sin 10
π
=n n a n ，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，在1S ，2S ，…，20S 中，正数的个数是（ ） A ．15
B ．16
C ．18
D ．20
3．边长为4的正三角形ABC 中，点D 在边AB 上，1
2
AD DB =，M 是BC 的中点，则AM CD ⋅=（ ） A ．16
B ．123
C ．83-
D ．8-
4．若直线经过两点，则直线
的倾斜角是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．A 为三角形ABC 的一个内角,若12
sin cos 25
A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
6．若各项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
2640a a a +-=，则7S =（ ）
A ．9
B ．14
C ．7
D ．18
7．函数cos tan y x x =⋅ ()2
2
x π
π
-
<<
的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知{}n a 为等差数列，1353a a a ++=，则3a 的值为（ ） A ．3
B ．2
C ．
32
D ．1
9．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若cos cos cos a b c
A B C
==，则△ABC 是
A ．正三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角
形
10．如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ）
A ．定
B ．有
C ．收
D ．获
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．下列关于函数sin y x =与arcsin y x =的命题中正确的结论是______. ①它们互为反函数；②都是增函数；③都是周期函数；④都是奇函数.
12．函数sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的单调增区间是_________
13．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三
组，经90榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计）
14．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点，1:2:1=AA AB , 则异面直线1AB 与BD 所成的角为____.
15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对
称.若6
sin α=
，则()cos αβ-=________. 16．若数列{}n a 满足112a =,2
12323n n a a a na n a +++⋯+=,则2017a =______ ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(
)
3 ,1a =-，()00cos60,sin 60b =．
（1）求证：2a b =且a b ⊥；
（2）设向量()4x a t b =++，y a tb =+，且x y ⊥，求实数t 的值．
18．等差数列{}n a 中，公差0d ≠，514a =，2
3111a a a =.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）若1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19．设全集为实数集R ，{}
14A x x =-≤<，{}
52B x x =-<<，
{}122C x a x a =-<<.
（1）若C =∅，求实数a 的取值范围； （2）若C ≠∅，且C A
B ⊆，求实数a 的取值范围.
20．已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边， 2sin 2sin sin B A C =． （1）若a b =，求cos ;B （2）若90B =
，且a =
求ABC ∆的面积．
21．求经过直线12:3450,:2380l x y l x y +-=-+=的交点M ，且满足下列条件的直线方程：
（1）与直线2350x y ++=平行； （2）与直线2350x y ++=垂直.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解题分析】
将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像. 【题目详解】
依题意，3sin ,0,22
cos tan sin ,.
2x x x y x x x x πππππ⎧
≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨
⎪-<<⎪⎩
或.由此判断出正确的选项为C. 故选C. 【题目点拨】
本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 2、D
根据数列的通项公式可判断出数列的正负，然后分析[]()
101,10,*m m a a m m N ++∈∈的正负，再由10m S +的正负即可确定出1S ，2S ，…，20S 中正数的个数. 【题目详解】 当[]()1,10*m m N ∈
∈时，0m
a
≥，当[]()11,20*m m N ∈∈时，0m a ≤，
因为()[]()10
1011
sin sin 1,10,*101010
m
m m m a a m m N m m ππ+++=+∈∈+， 所以[]()101
1sin
1,10,*1010m m m a a m m N m m π+⎛⎫+=-∈∈
⎪+⎝⎭
， 因为11010m m ⎛⎫->
⎪+⎝⎭
，sin 010m π
≥，所以100m m a a ++≥取等号时10m =，所以1210,,...,S S S 均为正，
又因为[]()
1001,10,*m m a a m m N ++≥∈∈，所以11121320,,,...,S S S S 均为正， 所以正数的个数是：20. 故选：D. 【题目点拨】
本题考查数列与函数综合应用，着重考查了推理判断能力，难度较难.
对于数列各项和的正负，可通过数列本身的单调性周期性进行判断，从而为判断各项和的正负做铺垫. 3、D 【解题分析】
()
1
1·2
3AM CD AB AC AB AC ⎛⎫=
+⋅- ⎪⎝⎭22112cos 60233AB AC AB AC ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
22
1121444482332⎛⎫=
⨯--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭
，故选D ． 4、C 【解题分析】 利用斜率公式求出直线，根据斜率值求出直线
的倾斜角.
【题目详解】 直线
的斜率为
，因此，直线
的倾斜角为
，故选：C.
本题考查直线的倾斜角的求解，考查直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题。

5、B 【解题分析】
试题分析：由12
sin cos 25A A +=
,两边平方得14412sin cos 625
A A +=,即481
sin 20625
A =-
<,又0A π<<,则022A π<<,所以2A 为第三、四象限角或y 轴负半轴上的角,所以A 为钝角．故正确答案为B ．
考点：1．三角函数的符号、平方关系;2．三角形内角． 6、B 【解题分析】
根据等差中项定义及条件式,先求得4a .再由等差数列的求和公式,即可求得7S 的值. 【题目详解】
数列{}n a 为各项是正数的等差数列 则由等差中项可知2642a a a +=
所以原式可化为()4420a a -=,所以42a = 由等差数列求和公式可得()174
77722
2
a a a S +⨯=
=
4714a ==
故选:B 【题目点拨】
本题考查了等差中项的性质,等差数列前n 项和的性质及应用,属于基础题. 7、C 【解题分析】
去掉绝对值将函数化为分段函数的形式后可得其图象的大体形状． 【题目详解】
由题意得sin ,02
sin ,0
2x x y cosx tanx x x ππ⎧
≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪--<<⎪⎩
，
所以其图象的大体形状如选项C 所示．
故选C ． 【题目点拨】
解答本题的关键是去掉函数中的绝对值，将函数化为基本函数后再求解，属于基础题． 8、D 【解题分析】
根据等差数列下标和性质，即可求解. 【题目详解】
因为{}n a 为等差数列，故135333a a a a ++== 解得31a =. 故选：D. 【题目点拨】
本题考查等差数列下标和性质，属基础题. 9、A 【解题分析】 由正弦定理，记
(0)sin sin sin a b c
k k A B C
===>， 则sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =，
又
cos cos cos a b c
A B C
==， 所以sin sin s cos cos in cos k A k B k C
C
A B ==，
即tan tan tan A B C ==， 所以A B C ==. 故选：A. 10、B 【解题分析】
利用正方体及其表面展开图的特点以及题意解题，把“努”在正方体的后面，然后把平面展开图折成正方体，然后看“努”相对面． 【题目详解】
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“努”与面“有”相对， 所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”． 故选：B ．
【题目点拨】
本题考查了正方形相对两个面上的文字问题，同时考查空间想象能力．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题，属于基础题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、④ 【解题分析】
利用反函数，增减性，周期函数，奇偶性判断即可 【题目详解】 ①，当,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，sin y x =的反函数是arcsin y x =，故错误； ②，当2,2,2
2x k k k Z π
πππ⎡⎤
∈-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
时，sin y x =是增函数，故错误； ③，arcsin y x =不是周期函数，故错误； ④，sin y x =与arcsin y x =都是奇函数，故正确 故答案为④ 【题目点拨】
本题考查正弦函数及其反函数的性质，熟记其基本性质是关键，是基础题 12、3,8
8k k ππππ⎡
⎤
-+⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈
【解题分析】 令2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，即可求得结果.
【题目详解】 令2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+≤
+ ，k Z ∈
解得：3
8
8
k x k π
πππ-+≤≤
+ ， 所以单调递增区间是3,8
8k k ππππ⎡⎤
-+
⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈
故填：3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈
【题目点拨】
本题考查了型如：()sin y A ωx φ=+单调区间的求法，属于基础题型. 13、41π 【解题分析】
表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球．设其半
径为R,22
2
2
22141
3()24
R +=+= ，所以该球形容器的表面积的最小值为
2441R ππ= ．
【题目点拨】将表面积最小的球形容器，看成其中两个正四棱柱的外接球，求其半径，进而求体积． 14、60︒ 【解题分析】
要求两条异面直线所成的角，需要通过见中点找中点的方法，找出边的中点，连接出中位线，得到平行，从而得到两条异面直线所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角． 【题目详解】
取11A C 的中点E,连AE, 1B E ,易证111面于点⊥B E ACC A E ，∴1AB E ∠为异面直线
1AB 与BD 所成角，
设等边三角形边长为a ，易算得113
=
32
，=B E a AB a ∴在1Rt AB E ∆中，
1
2
∠=111B E cos AB E=AB ∴160︒
∠=AB E
故答案为60︒
【题目点拨】
本题考查异面直线所成的角，本题是一个典型的异面直线所成的角的问题，解答时也是应用典型的见中点找中点的方法，注意求角的三个环节，一画，二证，三求． 15、
1
3
【解题分析】
由题意得出βπα=-，结合诱导公式，二倍角公式求解即可. 【题目详解】
6
sin 03
α=
>，则角α的终边可能在第一、二象限
由图可知，无论角α的终边在第一象限还是第二象限，都有βπα=-
()()221cos cos(2)cos(2)cos 212sin 1233αβαππααα⎛
⎫∴-=-=-=-=--=--⨯=
⎪⎝
⎭
故答案为：
1
3
【题目点拨】
本题主要考查了利用二倍角的余弦公式以及诱导公式化简求值，属于基础题. 16、
12
2017
【解题分析】
利用递推公式再递推一步,得到一个新的等式,两个等式相减,再利用累乘法可求出数列
{}n a 的通项公式,利用所求的通项公式可以求出2017a 的值.
【题目详解】
2212121331(1)((23231))2)1(,
n n n n n a a a na n a a a a na n a n a +++++⋯+=+++⋯+++⇒+=(2)(1)-得, 122
111)1)((1n n n n n a n a n a n
n a a n +++-⇒
+==++, 所以有324
123
111123112
234
n n n a a a a n n a a a a a a n a --=
⋅⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅⋅
⋅=,因此2017122017
a =.
故答案为：122017
【题目点拨】
本题考查了利用递推公式求数列的通项公式,考查了累乘法,考查了数学运算能力.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析（2）2t =-
【解题分析】
（1）根据向量的坐标求出向量模的方法以及向量的数量积即可求解.
（2）根据向量垂直，可得数量积等于0，进而解方程即可求解.
【题目详解】
（1）证明：2a =，1b =，所以2a b =
，因为3022
a b ⋅=
-=，所以a b ⊥； （2）因为x y ⊥，所以0x y ⋅=，
由（1）得：()()2244x y a t b a tb a t t b ⎡⎤⎡⎤⋅=++⋅+=++⎣⎦⎣⎦()22442t t t =++=+ 所以()220t +=，解得2t =-．
【题目点拨】
本题考查了向量坐标求向量的模以及向量数量积的坐标表示，属于基础题.
18、（1）31n a n =-（2）64
n n S n =
+ 【解题分析】
（1）由514a =和23111a a a =可列出方程组，解出1a 和d ，即得通项公式；（2）将（1）中所得通项公式代入n b ，列项，用裂项相消法求{}n b 的前n 项和．
【题目详解】
解：（1）因为514a =，23
111a a a =，所以()()12111414,210,a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 因为0d ≠，所以12,3,a d =⎧⎨=⎩
故{}n a 的通项公式为()1131n a a n d n =+-=-.
（2）因为()()111111313233132n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭
，
所以1111111111325583132323264
n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【题目点拨】
本题考查求等差数列通项公式和用裂项相消法求数列前n 项和，是典型考题．
19、（1）14a ≤；（2）114
a <≤ 【解题分析】
（1）根据空集的概念与不等式的解集的概念求解；
（2）求出A
B ，再由子集概念列式求解． 【题目详解】
解：（1）由122a a -≥得，14
a ≤ （2）由已知得{}12A B x x ⋂=-≤<，由（1）可知()C A B ⊆⋂则12122a a -≥-⎧⎨
≤⎩ 解得1a ≤，由（1）可得C ≠∅时，14a >
，从而得114
a <≤ 【题目点拨】 本题考查空集的概念，集合的交集运算，以及集合的包含关系，属于基础题．
20、（1）14
；（2）1 【解题分析】
试题分析：（1）由2sin 2sin sin B A C =，结合正弦定理可得：22b ac =，再利用余弦定理即可得出cos ;B
（2）利用（1）及勾股定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出
试题解析：（1）由题设及正弦定理可得22b ac =
又a b =，可得2,2b c a c ==
由余弦定理可得2221cos 24
a c
b B a
c +-== （2）由（1）知22b ac =
因为90B =，由勾股定理得222a c b +=
故222a c ac +=，得2c a ==
所以的面积为1
考点：正弦定理，余弦定理解三角形
21、（1）2340x y +-=；（2）3270x y -+=.
【解题分析】
（1）先求出M ，再设所求的直线为230x y c ++=，代入M 求出c 后可得所求的直线方程.
（2）设所求的直线为320x y b -+=，代入M 求出b 后可得所求的直线方程.
【题目详解】
（1）由题意知：联立方程组34502380
x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得交点2()1,M -， 因为所求直线与直线2350x y ++=平行，
故设所求直线的方程为230x y c ++=，
代入(1,2)-，解得4c =-，即所求直线方程为2340x y +-=
（2）设与2350x y ++=垂直的直线方程为320x y b -+=
因为过点(1,2)-，代入得7b =，
故所求直线方程为3270x y -+=
【题目点拨】
本题考查直线方程的求法，注意根据平行或垂直关系合理假设直线方程，本题属于容易题.。