海南高三上学期期末考试文科数学试卷

海南省白驹学校初中部高三上学期期末考试数学（文）试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：S 圆台侧面积=L R r )(+π
第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的．
1．已知全集U=R ，集合A=｛x ｜2x
＞1｝，B=｛x ｜－4＜x ＜1｝，则A∩B 等于
A.（0，1）
B.（1，＋∞）
C.（一4，1）
D.（一∞，一4） 2．已知i 为虚数单位，复数z ＝i （2一i ）的模｜z ｜＝
A. 1
B.
C D.3
3．进入互联网时代，经常发送电子邮件，一般而言，发送电子邮件要分成以下几个步骤：A ．打开电子邮件；(b)输入发送地址；(c)输入主题；(d)输入信件内容；(e)点击“写邮件”；（f ）
点击“发送邮件”；正确的步骤是
A. a b c d e f →→→→→
B. a c d f e b →→→→→
C. a e b c d f →→→→→
D. b a c d f e →→→→→
4．已知m 是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2
+2
y m
=1的离心率为
A
B
C
D
5．设z=2x+5y ，其中实数x ，y 满足6≤x+y≤8且 -2≤x－y≤0，则z 的最大值是 A ．2 1 B ．24
C ．28
D ．3 1
6．如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图， P 表示估计的结果，则图中空白框内应填入 A.1000M B.1000
M C.
41000M D.1000
4M
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的 表面积是
A ．4＋2 6
B ．4＋ 6
C ．4＋2 2
D ．4＋ 2
8
．一平面截一球得到直径为的圆面，球心 到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是 A ．12 cm 3
B. 36cm 3
C
．cm
3
D ．108πcm
3
9．如图，已知A ，B 两点分别在河的两岸，某测量者在 点A 所在的河岸边另选定一点C ，测得50AC =m ， 45ACB ∠=，105CAB ∠=，则A 、B 两点的距离为
A
．m B
．
m
C
． D
．10．设P 是双曲线2
2
14
y x -=上除顶点外的任意一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，
△12PF F 的内切圆与边12F F 相切于点M ，则12F M MF ⋅= A ．5
B ．4
C ．2
D ．1
11．已知偶函数)(x f y =满足条件f(x+1)=f(x-1),且当]0,1[-∈x 时，f(x)=,9
43+
x
则=)5(log 3
1f
A 1.- B.
5029 C.45
101 D. 1 12．已知数列{}n a 满足：1a m =(m 为正整数),16(1231n
n n n n a a a a a a +⎧⎪==⎨
⎪+⎩
当为偶数时）
若（当为奇数时） 则m 的所有可能值为
A. 2或4或8
B. 4或5或8
C. 4或5或32
D. 4或5或16
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若曲线3
y x ax =+在原点处的切线方程是20x y -=，则实数a = . 14．在Rt△ABC 中，2
C π
=
，6
B π
=
，1CA =，则|2|AC AB -=________．
15. 设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，2,4738-==a a S ，则=9a ______.
16. 已知|log |)(2x x f =，正实数n m ,满足n m <，且)()(n f m f =，若)(x f 在区间[]
n
m ,2
上的最大值为2，则n m +=_______。

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分)
设平面向量
2(cos ,)2x
x =m ，(2,1)=n ，函数()f x =⋅m n ．
（1）当[,]32x ππ
∈-时，求函数()f x 的取值范围；
（2）当13()5f α=
，且236ππα-<<时，求sin(2)3
πα+的值．
18. (本小题满分12分)
如图，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平
面ABCD ⊥平面CDEF ，∠BAD ＝∠CDA ＝90︒，
1
22
AB AD DE CD ====，M 是线段AE 上的动点．
（1）试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求平面MDF 将几何体ADE －BCF 分成的两部分的体积之比． 19. (本小题满分12分)
某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：
记某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元），空气质量指数API 为ω。

在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间(]100,300对企业造成经济损失成直线模型（当API 为150时造成的 经济损失为500元，当API 为200时，造成的经济损失为700元）；当API 大于300时造成的 经济损失为2000元； （1）试写出是S(ω)的表达式：高 考 资 源 网
（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；
（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2
列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
20. (本小题满分12分)
设12,F F 分别是椭圆2
214
x y +=的 左，右焦点。

（1）若P 是该椭圆上一个动点，求12PF PF ∙的 最大值和最小值。

（2）设过定点M(0,2)的 直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B,且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 斜率k 的取值范围。

21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=e x +2x 2—3x
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2) 当x ≥1时，若关于x 的不等式f(x)≥ax 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)求证函数f(x)在区间[0，1)上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x 的近似值(误差不超过0.2)；(参考数据e≈2.7，e ≈1．6，e 0.3≈1．3)。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．
如图所示，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别 交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P ． （1）求证：AD∥EC;
（2）若AD 是⊙O 2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD 的长．
23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．
圆的直径AB 上有两点C,D,且10,4,AB AC BD ===P 为 圆上一点，求PC PD +的最大值。

24．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲．
已知a,b 均为正数，且a+b=1,证明： （1）()2
2
2
ax by ax by +≤+
（2）22
11252a b a b ⎛
⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
数学（文科）试卷参考答案
一．选择题：ACCDD CABDB DC
二．填空题：13.2 14. 2 15.-6 16.52
三．解答题：
17.解析：（Ⅰ）22
()(cos ,
)(2,1)2cos 22
x
x
f x x x =⋅=
································ 1分
cos 1x x =+2sin()16
x π
=+
+． ·
········································································ 3分 当[,]32x ππ∈-时，2[,]663x πππ+∈-，则1sin()126x π-≤+≤，02sin()136
x π
≤++≤，
所以()f x 的取值范围是[0,3]． ···················································································· 6分
（Ⅱ）由13()2sin()165f παα=++=，得4sin()65
πα+=， ··········································· 7分
因为236ππα-<<，所以263πππα-<+<，得3cos()65πα+=， ·
································· 9分 sin(2+)sin[2()]36ππαα=+432sin()cos()26655ππαα=++=⨯⨯24
25
=
． ·························· 12分 18.解析：（Ⅰ）当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF ．证明如下：
连结CE ，交DF 于N ，连结MN ，
由于M 、N 分别是AE 、CE 的中点，所以MN ∥AC ， 由于MN ⊂平面MDF ，又AC AC
⊄平面MDF ， 所以AC ∥平面MDF ． ··························································· 4分 （Ⅱ）如图，将几何体ADE －BCF 补成三棱柱ADE －B 'CF ，
三棱柱ADE －B 'CF 的体积为1
22482
ADE V S CD ∆=⋅=⨯⨯⨯=，
则几何体ADE －BCF 的体积
ADE BCF F BB C
ADE BCF V V V '---=-三棱柱＝11208(22)2323-⨯⨯⨯⨯=．
三棱锥F －DEM 的体积V 三棱锥M －DEF ＝
4
3
， 故两部分的体积之比为42041
:()3334
-=（答1:4，4，4:1均可）． ································ 12分
19.（1）[](]()
0(0,100()4100(100,300200(300,x S x x ωω⎧∈⎪
=-∈⎨⎪
∈+∞⎩
（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A
……1分
……………….8分
K 2
的观测值()
2
100638227 4.575 3.84185153070
k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯……………………….10分
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12分 20.解：（1）易知a=2,b=1,c=
,所以12(F F 设 P(x,y),则
22
2
2
2121
313(38)44
x PF PF x y x x =+-=+--=-
因为[]2,2x ∈-,故当x=0,时有 最小值-2：当2x =±时，有最大值1. （2）显然直线x=0不满足题设条件，故设直线l:y=kx+2
由方程组22
2
14
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()22
1416120k x kx +++=
233
43
0,22k k
k ∆=--
或,设1122(,),(,)A x y B x y 则
1212221612
,4141k x x x x k k -+=∙=++,
又
009000AOB
CosAOB OA OB
⇒⇒角
2
1212
0,42
2x x y y k k
+⇒-即：即,
所以k 的 取值范围是：2,2⎛⎫
-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

21.(Ⅰ)f'(x)=e x +4x-3，则/
(1)f =e+1，
又f(1)=e—1，
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
y-e+1=(e+1)(x-1)，即：(e+1)x-y-2=0
(Ⅱ)由f(x)≥ax，得ax≤e x+2 x2-3x，
∵x≥1 ，∴a≤
令g(x)=，则g’(x)=
∵x≥1 ，∴g’(x)>0，∴g(x)在[1，+∞）上是增函数，
∴g(x)min=g(1)=e-1,
∴a的取值范围是a≤e-1，
（Ⅲ）∵f'(0)=e0-3=-2<0,f'(1)=e+1>0，
∴f'(0)·f'(1)<0
令h(x)=f'(x)=e x+4x-3，
则h'(x)=e x+4>0，f'(x)在正[0，1]上单调递增，
∴．f'(x)在[0，1]上存在唯一零点，f(x)在[0，1]上存在唯一的极值点．
取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下
由上表可知区间[0.3,0.6]的长度为0.3,所以该区间的中点x2=0.45，到区间端点的距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2一个极值点的相应x的值
∴函数y=f(x)取得极值时，相应x≈0.45.
23.解：如图建立直角坐标系，因为10AB =,所以圆的 参数方程为：
5(5x Cos y Sin θ
θθ
=⎧⎨
=⎩为参数） 因为4,,AC BD C D ==所以的坐标为C(-1,0),D(1,0) 因为点P 在圆上，所以设点P 的 坐标为()5,5Cos Sin θθ
所以，22()52PC PD +==+
当()
2max max
0104,)Cos PC PD
PC PD θ=+=+=时，所以，(24.证明：（1）()2
2
2
2
2
()(1)(1)ax by ax by a a x b b y +-+=-+-
因为a+b=1,所以，a-1=-b,b-1=-a,故
()
2
2222
()(1)(1)ax by ax by a a x b b y +-+=-+-=
222(2)()0ab x y xy ab x y -+-=--≤,当且仅当a=b 时等号成立。

（2）2
2
222211114()a b a b a b a b ⎛
⎫⎛⎫+++=++++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
=22222
2
22
2222()()224411a b a b b b a a a b a b a b a a b b
+++++
+=++++++++ =22
2
2
224()22()()b a b a a b a b a b
=+++++++
2()25
424222
a b +≥++++=
当且仅当a=b 时等号成立。