2019年人教版数学初三上学期综合检测卷四(含答案)

2019年人教版数学初三上学期综合检测卷
一、单选题(30分)
1．(3分)下列多边形一定相似的是（）
A.两个平行四边形
B.两个菱形
C.两个矩形
D.两个正方形2．(3分)某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：x …-5 -4 -3 -2 -1 …
y …-7.5 -2.5 0.5 1.5 0.5 …
根据表格提供的信息，下列说法错误的是（）
A.该抛物线的对称轴是直线x=-2
B.该抛物线与y轴的交点坐标为(0，-2.5)
C.b2-4ac=0
D.若点A(0.5，y1)是该抛物线上一点．则y1<-2.5
3．(3分)
为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是（）
A.75米
B.25米
C.100米
D.120米
4．(3分)如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是
0.616；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是（）
A.①
B.②
C.①②
D.①③
5．(3分)图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（）
A.甲先到B点
B.乙先到B点
C.甲、乙同时到B
D.无法确定
6．(3分)如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC 的值为（）
A.B.1 C.D.
7．(3分)如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为，FC=y，如图2所表示的是y与的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度
是，则矩形ABCD的面积是（）
A.B.5 C.6 D.
8．(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x …-2 -1 0 1 2 …
y=ax2+bx+c …t m -2 -2 n …
且当x=-时，与其对应的函数值y>0．有下列结论：
①abc>0；
②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；
③0<m+n<．
其中，正确结论的个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
9．(3分)如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）
A.B.2-2 C.2-2 D.4
10．(3分)在平面直角坐标系中，分别过点A(m，0)，B(m+2，0)作x轴的垂线l1和l2，
探究直线l1，直线l2与双曲线y=的关系，下列结论错误的是（）
A.两直线中总有一条与双曲线相交
B.当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等
C.当-2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧
D.当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2
二、填空题(18分)
11．(3分)
如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好照射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙CD的高度是米．
12．(3分)从三角形(非等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在
△ABC中，DB=1，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为．
13．(3分)
⊙O的半径为1，弦AB=，弦AC=，则∠BAC度数为．
14．(3分)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1，0)，与y轴的交点在(0，-2)和(0，-1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc>0 ；②4a+2b+c>0；③4ac-b2
<8a；④；⑤b>c．
其中含所有正确结论的选项是．
15．(3分)如图，已知抛物线y1=-x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x>2时，M=y2；②当x<0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是 (填写所有正确结论的序号)．
16．(3分)如图，抛物线过点(-1，0)，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③抛物线经过点(4，y 1)与点(-3，y2)，则y1＞y2；④无论，b，c取何值，抛物线都经过同一个点(，0)；⑤，其中所有正确的结论是．
三、解答题(72分)
17．(5分)如图，已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B 的坐标为(3，0)
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标．
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
18．(5分)直线y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象分别交于点A(m，3)和点B(6，n)，与坐标轴分别交于点C和点D．
(1)求直线AB的解析式．
(2)若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
19．(5分)已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0．
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
20．(5分)为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．(结果精确到0.1千米)(参考数据：≈141，≈1.73)
(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
(2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？
21．(5分)一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤(用含x的代数式表示)．
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？
22．(5分)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，求sin∠ABD 的值．
23．(6分)如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG．
(1)判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由．
(2)求证：2OB2=BC·BF．
(3)如图2，当∠DCE=2∠F，CE=3，DG=2.5时，求DE的长．
24．(5分)计算：
(1)-32+|-3|+．
(2)-+-．
25．(5分)定义：若x0=ax02+bx0+c成立，则称点(x0，x0)为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的不动点，设抛物线C的解析式为：y=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)．
(1)当a=1，b=4时，判断M(-1，-1)，N(-2，-2)，P(-3，-3)是否是C上的不动点．
(2)若抛物线C过点(0，-3)，且抛物线C上有一个不动点(1，1)，求抛物线上的另一个不动点．
(3)对于任意实数b，抛物线C上总有两个不同的不动点，令S=，求S的取值范围．
26．(4分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AD的长．
27．(7分)在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：
已知：如图在△ABC中，点D是BA边延长线上一动点，点F在BC上，且=，连接DF交AC于点E．
思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：
甲：过点F作FG∥AB交AC于点G，构造相似三角形解决问题；
乙：过点F作FG∥AC交AB于点G，构造相似三角形解决问题；
丙：过点D作DG∥BC交CA延长线于点G，构造相似三角形解决问题；
老师说：“这三位同学的想法都可以”．
请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问的值．
(1)如图1，当点E恰为DF的中点时，请求出的值．
(2)如图2，当=a(a>0)时，请求出的值(用含a的代数式表示)．
28．(8分)定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．
如图，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．
(1)证明：AB2=AA1·AC．
(2)探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由．(提示：此处不妨设AC=1)
(3)应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB 交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此规律操作下
A n．(n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由) 去，用含a，n的代数式表示A n
﹣1
29．(7分)设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a，b是常数，a≠0)．
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．
(2)若该二次函数图象经过A(-1，4)，B(0，-1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
(3)若a+b<0，点P(2，m)(m>0)在该二次函数图象上，求证：a>0．
答案
一、单选题
1．【答案】D
【解析】要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定分别相等，故不一定相似，A、B、C错误．而两个正方形，对应角都是90°，对应边的比相等，故一定相似，故D正确．
故答案为：D。

2．【答案】C
【解析】A、正确，因为x=-1或-3时，y的值都是0.5，所以对称轴是x=-2；
B、正确，根据对称性，x=0时的值和x=-4的值相等；
C、错误，因为y值有正数和负数，故抛物线与x轴有2个交点，所以b2-4ac>0；
D、正确，因为在对称轴的右侧y随x增大而减小．
故答案为：C。

3．【答案】C
【解析】
∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠B=∠C=90°．
又∵∠ADB=∠EDC，
∴△ADB∽△EDC．
∴=，即=．
解得AB=100米．
所以这条河的大致宽度是100米．
故选C。

4．【答案】B
【解析】当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”
的可能性是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误；
随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，故②正确；
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误．
故答案为：B。

5．【答案】C
【解析】π(AA1+A1A2+A2A3+A3B)=π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，
因此两个同时到B点．
故答案为：C。

6．【答案】B
【解析】连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1．
故答案为：B。

7．【答案】B
【解析】若点E在BC上时，如图
∵∠EFC+∠AEB=90°，∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠CFE=∠AEB，∵在△CFE和△BEA中，，
∴△CFE∽△BEA，
由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，
此时，BE=CE=，即，
∴，
当y=时，代入方程式解得：（舍去），，
∴BE=CE=1，∴BC=2，AB=，
∴矩形ABCD的面积为2×=5．
故答案为：B。

8．【答案】C
【解析】当x=0时，c=-2，
当x=1时，a+b-2=-2，
∴a+b=0，
∴y=ax2-ax-2，
∴abc>0，故①正确．
x=是对称轴，
x=-2时y=t，则x=3时，y=t，
∴-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；故②正确．m=a+a-2，n=4a-2a-2，
∴m=n=2a-2，
∴m+n=4a-4，
∵当x=-时，y>0，
∴a>，
∴m+n>，故③错误．
故答案为：C．
9．【答案】B
【解析】如图，
∵AE⊥BE，
∴点E在以AB为直径的半⊙O上，
连接CO交⊙O于点E′，
∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，
∵AB=4，
∴OA=OB=OE′=2，
∵BC=6，
∴OC===2，
则CE′=OC-OE′=2-2．
故答案为：B。

10．【答案】D
【解析】选项A：∵m、m+2不同时为零，
∴两直线中总有一条与双曲线相交；
选项B：当m=1时，点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(3，0)，
当x=1时，y==3，
∴直线l1与双曲线的交点坐标为(1，3)；
当x=3时，y==1，
∴直线l2与双曲线的交点坐标为(3，1)．
∵=，
∴当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等；
选项C：当-2＜m＜0时，0＜m+2＜2，
∴当-2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧；
选项D：∵m+2-m=2，且y与x之间一一对应，
∴当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离大于2．故答案为：D。

二、填空题
11．【答案】8
【解析】
由题意可得∠APE=∠CPE，
∴∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴=，
∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，
∴=，
∴CD=8米．
故答案为：8．
12．【答案】
【解析】∵△BCD∽△BAC，
∴，设AB=x，
∴x=22=4，
∴AC=AD=4-1=3，
∵△BCD∽△BAC，
∴，
∴CD=．
故答案为：．
13．【答案】75°或15°
【解析】有两种情况：
①如图1所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，
cos∠OAE==，cos∠OAF==，
∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°；
②如图2所示：
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，
cos∠OAE═=，cos∠OAF==，
∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，
∴∠BAC=45°-30°=15°．
故答案为：75°或15°．
14．【答案】①③④⑤
【解析】①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴的交点在(0，-2)和(0，-1)之间，
∴a>0，，-2<c<-1，
∴b<0，abc>0，结论①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A(-1，0)，对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)，
∴当x=2时，y=4a+2b+c<0，结论②错误；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，
∴4ac-b2<0<8a，结论③正确；
④当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴a-b=-c．
∵b=-2a，
∴3a=-c．
又∵-2<c<-1，
∴，结论④正确；
⑤∵当x=-1时，y=a-b+c=0，a>0，
∴-b+c<0，
∴b>c，结论⑤正确．
综上所述：正确的结论有①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
15．【答案】②③
【解析】①当x>2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，∴当x>2时，M=y1，结论①错误；
②当x<0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，
∴当x<0时，M=y1，
∴M随x的增大而增大，结论②正确；
③∵y1=-x2+4x=-(x-2)2+4，
∴M的最大值为4，
∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④当M=y1=2时，有-x2+4x=2，
=2-(舍去)，x2=2+；
解得：x
当M=y2=2时，有2x=2，
解得：x=1．
∴若M=2，则x=1或2+，结论④错误．
综上所述：正确的结论有②③．
故答案为：②③．
16．【答案】②④⑤
【解析】由图象可知，抛物线开口向上，则，
顶点在y轴右侧，则b＜0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
∴，故①错误；
∵抛物线过点(-1，0)，且对称轴为直线，
∴抛物线过点(3，0)，
∴当时，，
∵，
∴，故②正确；
∵对称轴为，且开口向上，
∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∴y1＜y2，故③错误；
当时，=，
∵当时，，
∴当时，=0，
即无论，b，c取何值，抛物线都经过同一个点(，0)，故④正确；
对应的函数值为，
对应的函数值为，
又∵时函数取得最小值，
∴，即，
∵，
∴，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
三、解答题
17．【答案】(1)解：把点B的坐标为(3，0)代入抛物线y=-x2+mx+3得：0=-32+3m+3，解得：m=2，
∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴顶点坐标为：(1，4)．
(2)解：连接BC交抛物线对称轴l于点P，
则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C(0，3)，点B(3，0)，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：(1，2)．
【解析】(1)首先把点B的坐标为(3，0)代入抛物线y=-x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m 的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
(2)首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
18．【答案】(1)解：∵y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象分别交于点A(m，3)和点B(6，n)，
∴m=2，n=1，
∴A(2，3)，B(6，1)，
则有，
解得，
∴直线AB的解析式为y=-x+4．
(2)解：如图，
①当PA⊥OD时，∵PA∥OC，
∴△ADP∽△CDO，
此时p(2，0)；
②当AP′⊥CD时，易知△P′DA∽△CDO，
∵直线AB的解析式为y=-x+4，
∴直线P′A的解析式为y=2x-1，
令y=0，解得x=，
∴P′(，0)，
综上所述，满足条件的点P坐标为(2，0)或(，0)．
【解析】(1)首先确定A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
(2)分两种情形讨论求解即可．
19．【答案】(1)证明：∵Δ=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，(m-2)2+4>0，即Δ>0，
∴关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0恒有两个不相等的实数根．
(2)解：根据题意，得
12-1×(m+2)+(2m-1)=0，
解得，m=2，
则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3．
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：，
该直角三角形的周长为1+3+=4+；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为：2，
该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．
【解析】(1)根据关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0的根的判别式的符号来证明结论．
(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．
分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为：2．再根据三角形的周长公式进行计算．
20．【答案】(1)解：过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，
∴CD=BC·sin30°=80×(千米)，
AC=(千米)，
AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4(千米)，
答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米．
(2)解：∵cos30°=，BC=80(千米)，
∴BD=BC·cos30°=80×(千米)，
在Rt△ADC中，∠A=45°，∴AD=CD=40(千米)，
∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2(千米)，
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2(千米)．
答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．
【解析】(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；
(2)在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．
21．【答案】(1)解：将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是
100+×20=100+200x(斤)．
(2)解：根据题意得：(4-2-x)(100+200x)=300，
解得：x1=，x2=1，
当x=时，销售量是100+200×=200<260；
当x=1时，销售量是100+200=300(斤)．
∵每天至少售出260斤，
∴x=1．
答：水果店需将每斤的售价降低1元．
【解析】(1)销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可；
(2)根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．
22．【答案】解：由条件可知：=，则∠ABD=∠ABC，
所以．
∵AB为直径，BC=6，AC=8，
可得AB=10，
∴．
【解析】由垂径定理可得=，再由圆周角定理可得∠ABD=∠ABC，∠ACB=90°，利用勾股定理求出斜边AB的长，再根据正弦的定义即可求出sin∠ABD的值．
23．【答案】(1)解：CG与⊙O相切，理由如下：
如图1，连接CE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACF=90°，
∵点G是EF的中点，
∴GF=GE=GC，
∴∠AEO=∠GEC=∠GCE，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵OF⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO=90°，
∴∠OCA+∠GCE=90°，即OC⊥GC，
∴CG与⊙O相切．
(2)证明：∵∠AOE=∠FCE=90°，∠AEO=∠FEC，
∴∠OAE=∠F，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△FBO，
∴，即BO·AB=BC·BF，
∵AB=2BO，
∴2OB2=BC·BF．
(3)解：由(1)知GC=GE=GF，
∴∠F=∠GCF，
∴∠EGC=2∠F，
又∵∠DCE=2∠F，
∴∠EGC=∠DCE，
∵∠DEC=∠CEG，
∴△ECD∽△EGC，
∴，
∵CE=3，DG=2.5，
∴，
整理，得：DE2+2.5DE-9=0，
解得：DE=2或DE=-4.5(舍)，
故DE=2．
【解析】(1)连接CE，由AB是直径知△ECF是直角三角形，结合G为EF中点知
∠AEO=∠GEC=∠GCE，再由OA=OC知∠OCA=∠OAC，根据OF⊥AB可得∠OCA+∠GCE=90°，即OC⊥GC，据此即可得证；
(2)证△ABC∽△FBO得，结合AB=2BO即可得；
(3)证△ECD∽△EGC得，根据CE=3，DG=2.5知，解之可得．
24．【答案】(1)解：原式=-9+3-+6=-．
(2)解：原式=8-9-1+=-．
【解析】(1)根据乘方，绝对值，算术平方根的意义进行化简，再计算得出结果；
(2)原式利用算术平方根和立方根定义计算即可得到结果．
25．【答案】(1)解：当a=1，b=4时，y=x2+5x+3，
当x=-1时，y=(-1)2+5×(-1)+3=-1，
∴M(-1，-1)是不动点，
当x=-2时，y=(-2)2+5×(-2)+3=-3，
∴N(-2，-2)不是不动点，
当x=-3时，y=(-3)2+5×(-3)+3=-3，
∴P(-3，-3)是不动点．
(2)解：将(0，-3)，(1，1)代入得：，解得：，
∴抛物线C的解析式为y=5x2-x-3，
令x=5x2-x-3，解得：x=1或x=-，
∴另一个不动点坐标为(-，-)．
(3)解：在抛物线y=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)中，令y=x，则ax2+(b+1)x+b-1=x，整理得ax2+bx+b-1=0．∵对于任意实数b，抛物线有两个不动点，
∴Δ=b2-4a(b-1)>0，对于任意b成立，
∴Δ=b2-4ab+4a关于b的函数最小值大于零，
∴>0，
∴0<a<1．
令x=，且x>1，则S=x2+2x+3=(x+1)2+2，
∴当x=1时，S=6．
又∵x>1，且S随x的增大而增大，
∴S>6．
【解析】(1)将a、b的值代入得到抛物线的解析式，然后依据不动点的定义进行判断即可；(2)将(0，-3)，(1，1)代入抛物线的解析式可求得a、b的值，从而可得到抛物线的解析式，然后由不动点横纵坐标相等列方程求解即可；
(3)令y=x，则ax2+(b+1)x+b-1=x，整理得ax2+bx+b-1=0，然后依据一元二次方程根的判别是可得到Δ=b2-4a(b-1)>0，然后由Δ=b2-4a(b-1)>0对于任意b成立可得到Δ=b2-4ab+4a关于b的函数最小值大于零，然后依据一元二次方程根的判别式可确定出a的范围，接下来，令x=，且x>1，则S=x2+2x+3，最后利用二次函数的增减性可确定出S的范围．
26．【答案】解：在△BDC中，∠C=90°，∠BDC=45°，DC=6，
∴ tan∠BDC==1，
解得BC=6．
在△ABC中，sinA=，
解得AB=15，
∴AC==3，
∴AD=AC-DC=3-6．
【解析】根据已知条件求出BC=DC=6，再根据正弦的定义求出AB，再根据勾股定理求出AC，最后根据AD=AC-DC求出AD的长．
27．【答案】(1)解：甲同学的想法：过点F作FG∥AB交AC于点G．
∴∠GFE=∠ADE，∠FGE=∠DAE
∴△AED∽△GEF．
∴．
∵E为DF的中点，
∴ED=EF，
∴AD=GF．
∵FG∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴．
∴．
∴．
乙同学的想法：过点F作FG∥AC交AB于点G．
∴．
∵E为DF的中点，
∴ED=EF，
∴AD=AG．
∵FG∥AC，
∴．
∵，
∴，
∴．
丙同学的想法：过点D作DG∥BC交CA延长线于点G．
∴∠C=∠G，∠CFE=∠GDE，
∴△GDE∽△CFE，
∴．
∵E为DF的中点，
∴ED=EF，
∴DG=FC．
∵DG∥BC，
∴∠C=∠G，∠B=∠ADG，
∴△ADG∽△ABC，
∴．
∵，
∴，
∴．
(2)解：如图2，过点D作DG∥BC交CA延长线于点G．
∴∠C=∠G，∠CFE=∠GDE，
∴△GDE∽△CFE，
∴．
∵=a，
∴ED=aEF，
∴DG=aFC．
∵DG∥BC，
∴∠C=∠G，∠B=∠ADG，
∴△ADG∽△ABC，
∴．
∵，
∴，即BC=3CF．
∴==．
【解析】(1)甲：过点F作FG∥AB交AC于点G，构造相似三角形解决问题；乙：过点F作FG∥AC 交AB于点G，构造相似三角形解决问题；丙：过点D作DG∥BC交CA延长线于点G，构造相似三角形解决问题，任选一种想法进行求解即可．
(2)过点D作DG∥BC交CA延长线于点G．根据△GDE∽△CFE，得出，进而得到DG=aFC．根
据△ADG∽△ABC，可得．再根据，即可得出BC=3CF，进而得到的值．
28．【答案】(1)证明：∵AC=BC，∠C=36°，
∴∠A=∠ABC=72°，
∵BA1平分∠ABC，
∴∠ABA
=∠ABC=36°，
1
∴∠C=∠ABA1，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AA1B，
∴，即AB2=AA1·AC．
(2)解：△ABC是黄金等腰三角形，
理由：由(1)知，AB2=AC·AA1，
设AC=1，
∴AB2=AA1，
又由(1)可得：AB=A1B，
∵∠A1BC=∠C=36°，
∴A1B=A1C，
∴AB=A1C，
∴AA1=AC-A1C=AC-AB=1-AB，
∴AB2=1-AB，
设AB=x，即x2=1-x，
∴x2+x-1=0，
解得：x1=，x2=(不合题意舍去)，
∴AB=，
又∵AC=1，
∴=，
∴△ABC是黄金等腰三角形．
(3)解：由(2)得；当AC=a，则AA1=AC-A1C=AC-AB=a-AB=a-a=a，
同理可得：A1A2=A1C-A1B1=AC-AA1-A1B1
=a-a-A1C
=a-a-[a-a]
=a．
A n=a．
故A n
﹣1
【解析】(1)根据角平分线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△AA1B，进而得出，求出即可；
(2)利用AC=1，利用AB2=1-AB，求出AB的值，进而得出=，得出答案即可；
(3)利用(2)中所求进而得出AA1，A1A2的长，进而得出其长度变化规律求出即可．29．【答案】(1)解：由题意Δ=b2-4·a[-(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2≥0，
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个．
(2)解：当x=1时，y=a+b-(a+b)=0，
∴抛物线不经过点C，
把点A(-1，4)，B(0，-1)分别代入得
，
解得，
∴抛物线解析式为y=3x2-2x-1．
(3)证明：当x=2时，
m=4a+2b-(a+b)=3a+b>0①，
∵a+b<0，∴-a-b>0②，
①②相加得：2a>0，
∴a>0．
【解析】(1)利用根与系数关系；
(2)当x=1时，y=0，所以抛物线过点AB；
(3)把x=2代入用a，b表示m，由m的范围结合a+b<0可解．。