推荐高考数学一轮复习讲练测江苏讲专题 常用逻辑用语解析含解斩

【最新考纲解读】
【考点深度剖析】
简易逻辑近四年均没有单独考查，多为以其他知识为载体考查思想方法.如在立体几何证明过程中考查充要关系
【课前检测训练】
[判一判]
(1)“x2>1”是命题.()
解析错误，无法判断x2>1的真假.
(2)“cos x＝3”是命题.()
解析正确.cos x＝3是假命题.
(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( )
解析 正确.由于原命题与其逆否命题为等价命题；原命题的逆命题与原命题的否命题也为等价命题，故四种命题中正确的个数不可能为奇数，只能为0或2或4. (4)若把四种命题中的逆命题作为原命题，则其否命题是它的逆否命题.( ) 解析 正确.由四种命题间的关系可知. (5)否命题就是命题的否定.( )
解析 错误.否命题既否定原命题的条件又否定原命题的结论，而命题的否定只否定原命题的结论. [练一练]
1．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是___________
2．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的___________
解析 因为|x －2|<1等价于1<x <3，x 2＋x －2>0等价于x <－2或x >1，所以{x |1<x <3}{x |x <－2或x >1}，故“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的充分而不必要条件. 答案 充分而不必要条件
3.命题“若b 2－4ac >0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为___________
解析 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，则b 2－4ac >0”，为真命题，则它的否命题也为真. 答案 3
5．若“m ≤a ”是“方程x 2＋x ＋m ＝0有实数根”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________________.
解析 由方程x2＋x ＋m ＝0有实根，得m ≤14，记集合A ＝{m|m ≤a}，B ＝{m|m ≤14}，由题意知a>1
4.
【经典例题精析】
考点1 命题及其关系
【1-1】 命题“若0a <，则一元二次方程20x x a ++=有实根”的原命题与其逆命题、否命题、
逆否命题中真命题的个数是 .
【答案】2
【1-2】 命题中①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题；④“若x －31
2是有理数，则x 是无理
数”的逆否命题，正确的是 .
【答案】①③④
【解析】 ①中否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m ，当m >0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．
【基础知识】
1．四种命题
命题 表述形式 原命题 若p ，则q 逆命题 若q ，则p 否命题 若⌝p ，则⌝q 逆否命题
若⌝q ，则⌝p
2．四种命题间的逆否关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
【思想方法】
1．由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．
2.对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．
【温馨提醒】“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论.
考点2 充分条件与必要条件
【2-1】“
1
4
m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．
【答案】充分不必要
【解析】因为x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即
1
4
m≤，所以“
1
4
m<”是“一元二
次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．
【2-2】已知集合
1
{|28,}
2
A x x x R
=<<∈，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个
充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
【答案】(2，＋∞)
【基础知识】
1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
3.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
【思想方法】
1．判断“p是q的什么条件”的实质是对命题“若p，则q”与“若q，则p”的真假的确定．
2. 判断充分条件，必要条件，充要条件的方法：
(1)利用定义判断
①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； ②若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； ③若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； ④若p ⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件； ⑤若p /⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； ⑥若p /⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件 (2) 利用集合判断
记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A
B ，则p 是q 的充分不必要条件；
若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； 若A
B ，则p 是q 的必要不充分条件；
若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；
若A /⊆B ，且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
【温馨提醒】注意区分“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q ”两者的不
同，前者是“p ⇒q ”而后者是“q ⇒p ”．.
考点3 简单的逻辑联接词
【3-1】已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2
:,0q x R x ∀∈>，则在命题p q ∨，p q ∧，
()p q ∧⌝，()p q ∨⌝中真命题是 .
【答案】()p q ∧⌝和()p q ∨⌝
【3-2】如果命题()p q ⌝∨为假命题，则命题p 、q 的真假为 . 【答案】p 、q 中至少有一个为真.
【解析】因为命题()p q ⌝∨为假命题，则p q ∨为真命题，所以p 、q 中至少有一个为真.
【基础知识】
1. 命题p ∧q ，p ∨q ，p ⌝的真假判断：
p ∧q 中p 、q 有一假为假，p ∨q 有一真为真，p 与非p 必定是一真一假．
2．正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．
【思想方法】
1. “或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
2. 一个复合命题，从字面上看不一定有“或”“且”“非”字样，这样需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“或”“且”“非”的关系，如“或者”“x ＝±1”“≤”的含义为“或”；“并且”“1x ≠±”的含义为“且”；“不是”“/⊆”的含义为“非”．
【温馨提醒】⌝p 为对一个命题p 全盘否定，读作“非p ”或“p 的否定”． p 与p ⌝的并集应
是全集，
考点4 全称量词与存在性量词
【4-1】己知命题 “x R ∃∈，使2
1
2(1)02
x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(1,3)-
【4-2】若∀θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos()6π
θ-的值为________．
【答案】
12
【解析】由题意得sin θ－1≥0.又－1≤sin θ≤1，∴sin θ＝1.
∴θ＝2k π＋
2π (k ∈Z )．故1cos().62
πθ-= 【基础知识】
1．含有一个量词的命题的否定
2.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
【思想方法】
1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p(x)成立；但要判断全称命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得0()p x 不成立即可．
2．要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =使0()p x 成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定． 4．要判断“p ⌝”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p ”的真假，p 与p ⌝的真假相反．
【温馨提醒】全称命题(特称命题)的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题(特称命题)
的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
【易错问题大揭秘】
1.充分条件、必要条件的判断问题，一般是必须从正、反两个方面进行推理论证，缺一不可，再根据充分条件、必要条件的定义进行判断．
如：设a ，R b ∈，且0a ≠，则“()2
0a b a -<”是“a b <”的________条件．
【分析】因为0a ≠，所以2
0a >．由()2
0a b a -<得0a b -<，即a b <．所以
“()20a b a -<”是“a b <”的充分条件．反之，因为a ，R b ∈，且0a ≠，所以2
0a >．因
为a b <，即0a b -<，所以()20a b a -<．所以“()20a b a -<”是“a b <”的必要条件．
【易错点】忽略题中“0a ≠”这一条件而致误．
2.全称命题、特称命题的否定问题，一定要否定量词和结论． 如：已知命题:p 0x ∀>，总有()11x x e +>，则p ⌝为________．
【分析】“0x ∀>”的否定为“00x ∃>”，“ ()11x x e +>”的否定为“()11x x e +≤”，
所以命题p 的否定为“00x ∃>，使得()0011x
x e +≤”．
【易错点】全称命题、特称命题的否定容易出现只否定结论，没有否定量词而致误． 【练一练】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是_______． 【答案】*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <。