2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：基础滚动小练第14讲 函数的零点问题

第14讲函数的零点问题
1.设x0是函数f(x)=3x+3x-8的一个零点,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k= .
2.(2019扬州中学检测,5)双曲线x2
16-y2
9
=1的两条渐近线的方程为.
3.(2018江苏如皋高三上学期调研)一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为.
4.(2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,11)已知点A(1,1),B(1,3),若圆C:(x-
a)2+(y+a-2)2=4上存在点P使得PB2=PA2+32,则实数a的取值范围是.
5.设α为锐角,若cos(α+π
6)=4
5
,则sin(2α+π
12
)的值为.
6.(2019南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学联考,14)在平面四边形ABCD中,已知△ABC
的面积是△ACD的面积的3倍,若存在正实数x,y使得AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1
x -3)AB⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-1
y
)AD
⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,则x+y的最
小值为.
7.(2019苏州期初考试,16)如图,已知矩形CDEF和直角梯形ABCD,AB∥CD,∠ADC=90°,DE=DA,M为AE的中点.
证明:(1)AC∥平面DMF;
(2)BE⊥DM.
8.(2018苏锡常镇四市高三情况调研)已知椭圆C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)经过点(√3,1
2
),(1,√3
2
),点A是
椭圆的下顶点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点A且互相垂直的两直线l1,l2与直线y=x分别相交于E,F两点,若OE=OF,求直线l1的斜率.
答案精解精析
1.答案 1
解析 因为f(1)=3+3-8<0, f(2)=32+6-8>0,且函数f(x)=3x +3x-8单调递增,所以x 0∈(1,2),即k=1.
2.答案 y=±3
4x
解析 ∵a=4,b=3,焦点在x 轴上, ∴渐近线方程为y=±3
4x.
一题多解 求双曲线的渐近线方程也可以直接写成x 216-y 2
9=0,化简即得双曲线的渐近线方程.
3.答案
9
4
解析 因为E,F,F 1,E 1分别为所在棱的中点,所以棱柱EFCB-E 1F 1C 1B 1的体积V=S 四边形EFCB ×3=3
4S
△ABC ×3=
94
S △ABC ,设图甲中水面的高度为h,则S △ABC ·h=94S △ABC ,所以h=94,故答案为9
4. 4.答案 [6,10]
解析 设P(x,y),∵PB 2-PA 2=32,∴(x-1)2+(y-3)2-[(x-1)2+(y-1)2]=32,∴y=-6,∴P 在直线y=-6上,∵P 在圆C:(x-a)2+(y+a-2)2=4上,∴☉C 与直线y=-6有交点.∵圆C:(x-a)2+(y+a-2)2=4的圆心为C(a,-a+2),r=2,∴☉C 与直线y=-6有交点的充要条件是-8≤-a+2≤-4,故6≤a ≤10. 5.答案
17√2
50
解析 由条件可得cos (2α+π
3
)=2cos 2(α
+π
6)-1=7
25,sin (2α+π
3)=24
25,所以sin (2α+
π
12)=sin [(2α+π
3)-π
4]=√2
2×(24
25-7
25)=17√2
50
. 6.答案
2+√35
解析 如图,分别过点B,D 作BG ⊥AC,DF ⊥AC,垂足分别为G,F,
∵S △ABC =3S △ACD ,∴BG=3DF, 易得△BGE 与△DFE 相似,
∴BE ED =BG DF =31,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
又∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-1y )AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1
x
-3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
∴1-1y =3(1x -3),即3x +1
y =10, ∴x+y=1
10(x+y)(3
x +1
y )=1
10(4+3y x
+x
y )≥
4+2√310
=2+√3
5, 当且仅当x=
3+√310
,y=
√3+1
10
时,取“=”. 7.证明 (1)如图,连接CE,交DF 于点G,连接MG.
∵在矩形CDEF 中,DF ∩EC=G, ∴G 为EC 的中点, 又∵M 为AE 的中点, ∴MG 为△EAC 的中位线, ∴MG ∥AC,
∵AC ⊄平面DMF,MG ⊂平面DMF, ∴AC ∥平面DMF.
(2)在矩形CDEF 中,CD ⊥ED, ∵∠ADC=90°,
∴CD ⊥AD,
∵AB ∥CD,∴AB ⊥ED,AB ⊥AD.
∵AD ∩ED=D,AD ⊂平面ADE,ED ⊂平面ADE, ∴AB ⊥平面ADE, ∵MD ⊂平面ADE, ∴MD ⊥AB,
∵DE=DA,M 为AE 的中点, ∴MD ⊥AE,
∵AB ∩AE=A,AB ⊂平面ABE,AE ⊂平面ABE, ∴MD ⊥平面ABE. ∵BE ⊂平面ABE, ∴BE ⊥DM.
8.解析 (1)由题意得{3a +14b =1,1a 2+3
4b 2=1,解得{1a =1
4,1b 2=1,
即{a 2=4,b 2=1, 所以椭圆C 的标准方程为x 2
4+y 2=1.
(2)由题意知A(0,-1),直线l 1,l 2的斜率存在且不为零,设l 1:y=k 1x-1,与直线y=x 联立有{y =k 1x -1,
y =x ,
得E (1
k
1
-1,1
k
1-1
),
易得直线l 2:y=-1
k 1
x-1,同理,F (
1
-1k 1
-1,
1
-1k 1
-1),
因为OE=OF,所以|1
k 1-1
|=
|
1
-1k 1
-1|,
①1
k 1
-1=1-1k 1
-1,k 1+1
k 1
=0无实数解;
②1
k
1
-1
=-1
-
1k 1
-1,k 1-1
k 1
=2,k 12
-2k 1-1=0,解得k 1=1±√2.
综上所得,直线l1的斜率为1±√2.。