辽宁省实验中学东戴河分校2018-2019学年高二12月月考数学(理)答案

一、 选择题 DDACA DCCDD BB 二、填空题
13 14 15 16
2->
a (3
4
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）由，解得，所以 27100x x -+<25x <<:25p x <<又，因为，解得，所以． 22430x mx m -+<0m >3m x m <<:3q m x m <<当时，，又为真，都为真，所以．……5分 4m =:412q x <<p q ∧,p q 45x <<（Ⅱ）由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为
q ⌝p ⌝q p ⌝⇒⌝p q ⌝⇒⌝，由（Ⅰ），，
,p q q p ⇒⇒:25p x <<:3q m x m <<所以，即 . ……10分
2
350
m m m ≤⎧⎪
≥⎨⎪>⎩
523m ≤≤18. 解：（1）因为， ， 成等差数列， 11S a +33S a +22S a +所以， ()()()3311222S a S a S a +=+++所以， ()()31323122S S S S a a a -+-+=+所以，因为数列是等比数列，所以
， 314a a ={}n a 2311
4
a q a ==又，所以，所以数列的通项公式．………………6分
0q >12q ={}n a 1
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
（2）由（1）知，
12n n b n -=⋅，
01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，
()12121222122n n n T n n -=⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅所以 ()()()012112212322122n n
n T n n n -⎡⎤-=⋅+-⋅+-⋅+⋯+--⋅-⋅⎣⎦
012122222n n n -=+++⋯+-⋅
．
(
)()112212
112
n n
n
n n -=
-⋅=-⋅--故．…………………………………12分
()121n
n T n =-⋅+19. （1）证明：连接
BD 是长方体， 平面
1111ABCD A B C D - 1D D ∴⊥ABCD 又平面，
AC ⊂ABCD 1D D AC ∴⊥在长方形中， ， ABCD AB BC =BD AC ∴⊥又平面 1,BD D D D AC =∴⊥11BB D D 而平面,
………………………………6分
1D E ⊂11BB D D 1AC D E ∴⊥（2）如图，以为坐标原点，以所在的直线 D 1,,DA DC DD 为轴建立空间直角坐标系,则
,,x y z ,
()()()()11,0,0,0,0,2,1,1,1,1,1,0A D E B ()()()10,1,1,1,0,2,1,1,1AE AD DE
=-==设平面的法向量为,则 1AD E (),,n x y z
= 20
0x z y z -+=⎧⎨
+=⎩
令则 1,z =()211n
=-，，
,cos n DE ∴==所以与平面
………………………………12分 DE 1AD E
20．解：
（Ⅰ）∵圆G ：经过点．
220x y x +-=,F B ，
(1,0),F B ∴∴，． ∴．
1c
=b =
24a =故椭圆的方程为
．…………4分 22
143
x y +=
（Ⅱ）设直线的方程为．
l ()(2)y x m m =-->
由消去得．
22
143
()x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=--⎩
y 22
78(412)0x mx m -+-=
设，，则，，………6分
),(11y x C ),(22y x D 1287
m
x x +=2124127m x x -= ∴．
212121212[()][()]()y y x m x m x x m x x m =--⋅--=-++ ∵， ……………………………8分
11(1,)FC x y =- 22(1,)FD x y =-
∴=
FD FC ⋅1212(1)(1)x x y y --+
121212()1x x x x y y =-+++……………………10分 2
12122(1)()1x x m x x m =-++++27817
7
m m --=
∵点F 在圆G 的内部，∴， 即
， 0FC FD ⋅< 27817
07
m m --<
m <<
由△=，解得
2
2
6428(412)0m m -->m <<
又，∴． …………………………………12分 2m >2m <<
21. 证明：（Ⅰ）取中点为， 中点为，连接
AD O BC F ,PO FO 侧面为正三角形，
PAD PO AD \^平面平面且平面平面，平面， PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =\PO ⊥ABCD 平面，，又，
FO ⊂ABCD \FO PO ⊥,FO AD PO AD O ⊥=平面，平面，，
\FO ⊥PAD AE ⊂PAD \FO AE ⊥，则，又是中点，则， //CD FO CD AE ⊥E PD AE PD ⊥，平面，
PD CD D =\AE ⊥PCD 平面，平面平面.………6分
AE ⊂AEC \AEC ⊥PCD
（Ⅱ）如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐O ,,OA OF OP ,,x y z 标系,则
令，则.
AB a
=(()(),1,0,0,1,,0P A C a -由（Ⅰ）知为平面的法向量，
3,0,2EA ⎛= ⎝ PCE 令为平面的法向量，由于，
()1,,n y z =
PAC (()10,2,0PA CA a =-=-，，，故即解得故， •0,,
•0n PA n CA
⎧=⎪⎨=⎪
⎩,10,20ay ⎧=⎪⎨-=⎪
⎩2
,
y a z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩
21,n a ⎛= ⎝由 ，解得
…………10分 •cos •EA n
EA n
θ=a =故四棱锥的体积.…………………12分 P ABCD
-11
•
2233
ABCD V S PO =
=⋅=22.解：（Ⅰ）依题意可得，．
(1,0)A -(1,0)B 设椭圆的方程为，
M 2
2
21y x b
+=()1b >因为椭圆，即． M =22b =所以椭圆的方程为． ……………………………………2分
M 2
2
12
y x +=证法1：设点、（，，），直线的斜率为11(,)P x y 22(,)T x y 0i x >0i y >1,2i =AP k （），
0k >则直线的方程为，联立方程组
AP (1)y k x =+整理，得，………………4分 ()2
21,1.2y k x y x ⎧=+⎪
⎨+
=⎪⎩()22222220k x k x k +++-=解得或．所以．
1x =-2222k x k -=+222
22k x k -=+
同理可得，…所以． ………………………………6分 212
22k x k +=-21
1
x x =证法2：设点、（，，）， 11(,)P x y 22(,)T x y 0i x >0i y >1,2i =则，．因为， 111AP y k x =
+221
AT y k x =+AP AT k k =所以，即． 12
1211y y x x =++()()
221222
1211y y x x =++因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，．
P T 22
11
12y x -=22
2212
y x +=即，．所以
，
()
221121y x =-()
222221y x =-()
()
()
()
22122
2
12212111x x x x --=
++即
．所以． …………………………………6分 12121111x x x x --=
++21
1
x x =（Ⅱ）解：设点、（，，），
11(,)P x y 22(,)T x y 0i x >0i y >1,2i =则，．
()111,PA x y =--- ()111,PB x y =--
因为，所以，即．
9PA PB ⋅≤ ()()2
111119x x y ---+≤221110x y +≤因为点在双曲线上，则，
P 2
211
12
y x -=所以，即． 22112210x x +-≤214x ≤因为点是双曲线在第一象限内的一点
P 所以． …………………………………………………8分 112x <≤因为，，
1221
||||||2
S AB y y =
=21111||||||22S OB y y ==所以．
()()22
212222
2212212122(1)11(1)42
x x S S y y x x --⋅=⋅==--由（Ⅰ）知， ．设，则，．
21
1
x x =
21t x =14t <≤221212S S t t ⋅=+-因为在区间上单调递增，．
1
()f t t t
=+](
1,4max ()(4)f t f =
所以 22121924
S S t t ⋅=+-≤
即当时， ………………………………………12分 12x =()12max 3
2
S S ⋅=。