大石桥市二高中上学期.docx

高中数学学习材料
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大石桥市二高中2015—2016学年度上学期
期末教学质量监测三年级
文 科 数 学 试 卷（试题卷）
试卷说明：试卷分为试题卷和答题卷，试题卷中第I 卷为选择题，答案选项填在答
题卷选择题答题表中，用答题卡的学校涂在答题卡相应题号上；第II 卷为非选择题，答案一律答在答题卷相应位置上．考试时间：120分钟，满分150分．
第I 卷
一、选择题：12小题，每小题5分，共60分．每个小题给出的四个选项中只有一
个是符合题目要求的
1.设全集U R =，集合{}{}
3,16A x x B x x =≤=-<≤,则集合()
U A B =ð
（A ）{}
36x x ≤< （B ）{}36x x << （C ）{}36x x <≤ （D ）{}
36x x ≤≤ 2.复数i
i
z ++-=
23的共轭复数是 (A) i +2 (B) i -2 (C) i +-1 (D) i --1
3.已知命题p :1sin ,-≥∈∀x R x ,则p ⌝
(A)1sin ,00-≤∈∃x R x (B)1sin ,00-<∈∃x R x
(C) 1sin ,-≤∈∀x R x (D)1sin ,-<∈∀x R x
4.下列函数中，即是奇函数又是增函数的为
(A)3
ln y x = (B)2y x =-
(C)1
y x
=
(D)y x x = 5.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体 的侧面积（单位：cm 2
）为
（A ）120 （B ）80 （C ）64 （D ）48 6.某程序框图如图所示，该程序运行后 输出i 的值是
（A ）63 （B ）31 （C ）27 （D ）15
7.已知双曲线C ：22
221(0,0)
x y a b a b -=>>
的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 是双曲线右支上一点，且12MF MF ⊥， 延长2MF 交双曲线C 于点P ，若
||||21PF MF =，则双曲线C 的离心率为
(A)
10
2
(B)3 (C)2 (D)6 8.ABC ∆中，60,A A ∠=∠的平分线AD 交边BC 于D ，已知3AB =，且
1
()3
AD AC AB R λλ=+∈，则AD 的长为
（A ）1
（B ）3 （C ）3 （D ）23
9.已知数列{}n a 是等差数列，1tan 225a =，5113a a =，设n S 为数列{}
n n
a )1(-
（第6题图）
输出i
（第5题图）
的前n 项和，则=2015S
(A)2015 (B)3022- (C)3024 (D)2015-
10.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面3,4,AB AC AB AC ==⊥，
112AA =则球O 的半径为
(A)
3172 (B)210 (C) 13
2
(D) 310 11.已知ln ,0
()2,0x x f x x x >⎧=⎨+<⎩
，则()1f x >的解集为
（A ）(1,0)(0,)e - （B ）(,1)(,)e -∞-+∞
（C ）(1,0)
(,)e -+∞
（D ）(,1)
(0,)e -∞-
12.已知函数()x f x xe =，方程2
()()10,()f x tf x t R ++=∈有四个不同的实数根， 则t 的取值范围为
(A)21(,)e e +-∞- (B)(),2-∞- (C)21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭
(D) ),1(2
+∞+e e 第II 卷
二、填空题： 4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应位置上
13.某幼儿园小班、中班、大班的学生数分别为90、90、120，现用分层抽样的
方法从该幼儿园三个班的学生中抽取容量为50的样本，则大班抽取的学生 数为××××．
14.已知向量(1,2),(4,)MN x PQ y =-=,若MN PQ ⊥，则93x y +的最小值为×××．
15.若实数,x y 满足不等式组20
1020x y x y a -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
，目标函数2t x y =-的最大值
为2，则实数a 的值是××××．
16.若偶函数()()y f x x R =∈，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，2()3f x x =-，
则方程()sin f x x =在[10,10]-内的根的个数为××××．
三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤，解答书写在答题卷相应位置上 17.（本题满分12分）
已知向量a (sin ,2cos )x x =-,b (sin 3cos ,cos ),x x x x R =+-∈,函数()f x =a b , （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）求函数()f x 在区间[0,
]2
π
上的最大值和最小值．
18.（本题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， BC AD //，PD ⊥底面ABCD ，90,2ADC AD BC ∠=︒=，
Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点.
（I ）证明： //PA 平面BMQ ； （II ）已知2PD DC AD ===，求点P
到平面BMQ 的距离.
19.（本题满分12分） 某校有A B C D E 、、、、五位同学参加 数学奥林匹克竞赛培训．现分别从A B 、 二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中 随机抽取8次，用茎叶图表示这两组数据 如图：
（I ）现要从A B 、中选派一人参加数学
奥林匹克竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位同学参加合适?请说 明理由； （II ）若从参加数学奥林匹克竞赛培训的5位同学中选2人参加竞赛，求A B 、 二人中至少有一人参加竞赛的概率．
20.（本题满分12分）
（第18题图）
（第19题图）
已知A 、B 分别是直线33y x =
和33
y x =-上的两个动点，线段AB 的长为 23，D 是AB 的中点，
(I ) 求动点D 的轨迹C 的方程；
(II ) 过点(1,0)N 作与x 轴不垂直的直线l ，交曲线C 于P 、Q 两点,若在线段
ON 上存在点(,0)M m ，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形，试
求m 的取值范围.
21.（本题满分12分）
已知函数)(ln )(R a ax x x f ∈-=，
（I ）若2-=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （II ）若)(x f 的单调区间；
（III ）当0)(<x f 在),0(+∞上恒成立时，求a 的取值范围.
选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时在答题卡上指定位置填好把所选题目的题号. 22.（本小题满分10分） 选修4—1：【几何证明选讲】
如图,已知PE 切O 于点E ,割线PBA 交O 于A 、B 两点,BPE ∠的平分线 和AE 、BE 分别交于点C 、D ，求证: （I ）CE DE =;
（第22题图）
（II ）CA PE
CE PB
=.
23.（本小题满分10分）选修4—4：【坐标系与参数方程】
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正
半轴重合．设点O 为坐标原点, 直线l 的参数方程为：2
4222
x t y t ⎧=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（参数t R ∈）， 曲线C 的极坐标方程为2
sin 4cos ρθθ=， （I ）求直线l 与曲线C 的普通方程；
（II ）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求证：0OA OB =．
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲. 已知函数|1|)(-=x x f ，
（I ）解不等式8)4()(≥++x f x f ；
（II ）若,1||,1||<<b a 且0≠a ，求证：)(||)(a
b f a ab f >
营口市普通高中2015—2016学年度上学期 期末教学质量检测三年级文科数学试卷参考答案
一、选择题：
小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 正确选项
C
D
B
D
B
A
A
D
B
C
C
A
二、填空题
13． 20； 14．6； 15．2； 16．10． 三、解答题
17．解：
（I ）()f x =a b 2
2
311sin 3sin cos 2cos sin 2cos 21222
x x x x x x =++=
+++ 3
sin(2)62
x π=++ …………4分
∴可得()f x 的最小正周期是
…………6分
（II ）由（I ）知，()f x =3sin(2)62
x π
++ 由02
x π
≤≤的
726
6
6
x π
π
π
≤+
≤
…………8分
∴可得1sin(2)126
x π
-
≤+≤ ∴()f x =3
sin(2)62
x π++ 的最大值是52, 最小值是1． …………12分
18.（I ）证明：连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为90ADC ∠=，Q 为AD
的中点，所以N 为AC 的中点， …………………2分
M 为PC 的中点，即PM MC =，
∴MN 为PAC ∆的中位线，
∴//MN PA ，
又MN ⊂平面,BMQ PA ⊄平面BMQ ，
所以PA ∥平面BMQ .…………………5分
(II)解：由(I)可知，PA ∥平面BMQ ，
N
C
Q
M
P B
D
A
所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离， ∴ P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==，
取CD 的中点K ，连结MK ，可得MK ∥PD ，
∴1
12
MK PD =
=， ………………………………7分 又PA ⊥底面ABCD ，∴MK ⊥底面ABCD ，
又1
12
BC AD ==，2PD CD ==，
可求得1,2,3,1AQ BQ MQ NQ ====， …………………10分 ∴P BMQ
A BMQ M ABQ V V V ---==11132
3
AQ BQ MK =⋅⋅⋅⋅=，
2BQM S ∆=
， …………………11分
则点P 到平面BMQ 的距离d =
2
2
3=
∆-BMQ
BMQ P S V ． …………………12分 19解：（Ⅰ）派B 参加比较合适.理由如下：
(70280490298842135)858
B x ⨯+⨯+⨯++++++++==，
(7080490353525)
858
A x +⨯+⨯+++++==， ………………2分
222222222(7885)(7985)(8885)(8485)(8285)(8185)(9385)(9585)8
B
S -+-+-+-+-+-+-+-=
35.5=
22222222
2(7585)(8085)(8085)(8385)(8585)(9085)(9285)(9585)8
A
S -+-+-+-+-+-+-+-=
41=， ………………4分
∵2
2
,A B A B x x S S =>，∴B 的成绩较稳定，派B 参加比较合适；…………6分 （Ⅱ）任派两个参加竞赛，共有样本空间为：(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A D A E B C
(,),(,),(,),(,),(,)B D B E C D C E D E 10个，,A B 两人都不参加有(,)C D ，
(,),(,)C E D E 有3个空间， …………………………9分 ,A B 至少有一个参加的对立事件是两个都不参加，
所以37
111010P P =-=-
=，
． 答：,A B 两人至少有一个参加竞赛的概率为
7
10
． …………………12分 20．解：（I ）设112233
(,),(,
),(,)33
D x y A x x B x x - ∵D 是线段AB 的中点， ∴1212
3,232
x x x x x y +-=
=⋅， …………………2分 ∵23AB =，∴2
2121233
()(
)1233
x x x x -++=， ∴2
2
23(23)(
)123
y x +=，化简得点D 的轨迹 C 的方程为2
219x y +=； …………………5分
（II ）设:(1),(0)l y k x k =-≠，代入椭圆2
219
x y +=，得 2
2
2
2
(19)18990k x k x k +-+-=，∴21212
22
182,1919k k
x x y y k k -+=+=++， ∴PQ 中点H 的坐标为222
9(
,)1919k k
k k -++， …………………8分
∵以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形，
∴1MH
k k ⋅=-，∴2
2
2
191919k k k k m k -+⋅=--+， 即22819k m k =+，∵0
k ≠，∴8
09
m <<， …………………10分 又点(,0)M m 在线段ON 上，∴01m <<，
综上，8
09
m <<
. …………………12分 21．解：（I ）由已知 1
()2,(0)f x x x
'=+>，
3)1(='f 所以斜率3=k ，
又切点为)2,1(，所以切线方程为)1(32-=-x y ，
即013=--y x ； ………………2分 （II ）11(),(0)ax
f x a x x x
-'=
-=> ①当0≤a 时，由于0>x 故01>-ax ，0)(>'x f
所以)(x f 的单调递增区间为),0(∞+， ……………………4分 ②当0>a 时，0)(='x f ，得a
x 1
= 在区间)1,0(a
上，0)(>'x f 在区间),1(+∞a
上，0)(<'x f 所以)(x f 的单调递增区间为)1,0(a
，
单调递减区间为),1(+∞a
； ……………………8分 （III ）由已知，转化为0)(m ax <x f
由（II ）知，当0≤a 时，)(x f 在),0(∞+单调递增，值域为R ，
不符合题意，
当0>a 时，)(x f 在)1,0(a 单调递增，)(x f 在),1(+∞a 单调递减，
所以)(x f 的极大值即为最大值，1ln 1)1ln()1(--=-=a a a f
所以01ln <--a 解得e
a 1>. ………………………12分 22．(Ⅰ)证明:PE 切⊙O 于点E ,
∴A BEP ∠=∠ PC 平分BPE ∠
∴A CPA BEP DPE ∠+∠=∠+∠，
,ECD A CPA EDC BEP EPD ∠=∠+∠∠=∠+∠，
∴ECD EDC ∠=∠，ECD ∆为等腰三角形，
∴CE DE =； ………………5分
(Ⅱ)证明:PDB EDC ECD ∠=∠=∠，
在,PBD PEC ∆∆中，PDB PCE ∠=∠，
BPD CPE ∠=∠， ∴PBD ∆∽PEC ∆, ∴PE PC PB PD
=， 同理PDE ∆∽PCA ∆,∴
PC CA PD DE =，∴PE CA CA PB DE CE == 故得CA PE CE PB
= ． ………………10分 23．解：（I ）消去参数得直线:4l y x =-， 极坐标方程两边同乘以ρ，由公式化的曲线2:4C y x =； …………5分
（II ）设1122(,),(,)A x y B x y ,由244
y x y x ⎧=⎨=-⎩消去y 得212160x x -+=，
∴121212,16x x x x +==， …………………７分
∴12121212(4)(4)4()16y y x x x x x x =--=-++， ∴12121212124()16OA OB x x y y x x x x x x =+=+-++
1616412160=+-⨯+=． …………………10分
24．（I ）⎪⎩
⎪⎨⎧>+≤≤--<--=++-=++1,2213,43,22|3||1|)4()(x x x x x x x x f x f
当3-<x 时，由822≥--x ，解得5-≤x ；
当13≤≤-x 时，()(4)48f x f x ++=<不成立；
当1>x 时，由822≥+x ，解得3≥x .
所以不等式8)4()(≥++x f x f 的解集为{}35|≥-≤x x x 或； ……… 5分 （II ）)(||)(a b f a ab f >即|||1|b a ab ->-，
||1,||1a b <<，∴)2()12(|||1|222222b ab a ab b a b a ab +--+-=---
0)1)(1(22>--=b a ，∴22|1|||ab a b ->-
可得|||1|b a ab ->-
故所证不等式成立。

…………………10分。