2019年第8章第45讲直线的斜率与直线的方程精品教育.ppt

本题是一个生活实际问题，解法不只一
种．像上面这样利用直线方程来解决是比较
好的一种方法．因为要使得占地面积尽可能
地大，线段AB上不取点是不现实的，而线段 AB所在的直线方程可以用截距式很方便地写 出，P点的横、纵坐标x、y满足 x ＋ y ＝1 ，就可以消去一个未知量了，何3乐0 而2不0为呢？
【变式练习3】 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范 围； (3)若直线l与x轴的负半轴交于A点，与y轴的正 半轴交于B点，O是坐标原点，△AOB的面积为 S，求S的最小值，并求此时直线l的方程．
【变式练习2】 已知直线l过点M(1,1)，且与x轴的正半轴 交于A点，与y轴的正半轴交于B点，O是 坐标原点．求： (1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方 程； (2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的 方程．
【解析】1依题意，设直线l的方程为 x ＋ y＝1(a 0，b 0)，
基本不等式与直线方 程的综合问题
【例2】设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的 方程；
(2)若 a>－1，直线 l 与 x、y 轴分别交于 M、N 两点， 求△OMN 面积取最大值时，直线 l 的方程．
【解析】(1)当直线 l 经过坐标原点时，该直线在两 坐标轴上的截距都为 0，此时 2＋a＝0，解得 a＝－2， 此时直线 l 的方程为 x－y＝0；
【解析】1 证明：将直线l的方程化为
(x＋2) k＋(1－y)＝0
令
x 1
2 y
0 ,
0
解得
x

y

2 1
即直线l过定点(－2,1)．
(2)将直线l的方程化为：y＝kx＋2k＋1.
欲使直线l不经过第四象限，
必须
k 0 2k 1

,即k 0

0.
所以实数k的取值范围是[0，＋)．
又|a|＝|b|， 故当 a＝b 时，1a＝1，所以 a＝b＝1， 则直线 l 的方程为 x＋y－1＝0； 当 a＝－b 时，7a＝1，所以 a＝7，b＝－7， 则直线 l 的方程为 x－y－7＝0.
本节内容主要从两个方面考查： 一是如何利用题目给出的条件求直线方程， 多用待定系数法，需要仔细审题，判明设直线方 程的哪一种形式更为方便，并且要分类讨论，考 虑周全，以免漏解； 二是直线方程的应用，包括用直线方程解决 实际问题，也包括给出一个含参数的直线方程， 根据条件讨论参数的取值范围等．
所以 MA 2 ＋ MB 2＝2＋(k 2＋ 1 ) 2＋2 k 2 1 ＝4，
k2
k2
当且仅当k 2 = 1 ，即k＝－1时， k2
MA 2 ＋ MB 2 取得最小值4.
所直线l的方程为y－1＝(－1) (x－1)，
即x＋y－2＝0.
直线方程的应用
【例3】 某 房 地 产 公 司 要 在 荒 地 ABCDE( 如 图)上划出一块长方形地面(不改变 方 位 ) 建 造 一 幢 商 业 住 宅 ． 已 知 BC ＝70 m，CD＝80 m，DE＝100 m， EA＝60 m，问如何设计才能使住宅 楼占地面积最大？并求出最大面积 (精确到1 m2)．
2x1－y1－2＝0 则xx12＋＋xy22＝＋63＝0
y1＋y2＝0
，解得x1＝131 或x2＝37
，
y1＝136
y2＝－136
所以 k＝kAB＝－3713－6－131136＝8，
所以所求的直线方程为 8x－y－24＝0.
本题考查直线方程的基础知识和基本方法，主 要考查点斜式和两点式．第(1)问已知直线过一定点， 倾斜角又是已知直线的倾斜角的一半，用三角函数 公式可以把它们的斜率联系起来，故而想到设点斜 式方便一些．应该注意的是，倾斜角是另一直线的 倾斜角的一半，并不意味着斜率也是一半！本小题 方法较多．第一种方法是：设点A(x，y)在l1上，则点 A关于点P的对称点B(6－x，－y)在l2上，代入l2的方 程，联立求得交点，从而求得直线方程．
故 S△OMN＝21×2a＋＋a1×(2＋a)＝12×a＋12＋a＋2a1＋1＋1 ＝21×[(a＋1)＋a＋1 1＋2] ≥21×[2 a＋1×a＋1 1＋2]＝2， 当且仅当 a＋1＝a＋1 1，即 a＝0 或 a＝－2(舍去)时等 号成立．此时直线 l 的方程为 x＋y－2＝0.
(1) 截 距 相 等 ， 包 括 过 原 点 的 情 形 ； (2) 应 用基本不等式求最值一定要注意条件的验证．
【解析】如图建立直角坐标系，
则A0, 20，B 30, 0．
故线段AB所在的直线方程为
x ＋ y ＝1. 30 20 设线段AB上一点P的坐标为(x，y)，则y＝20－ 2 x.
3 由P分别向CD、DE作垂线，垂足分别为F、G，则得到长
方形PFDG，其边长分别为(100－x)m和[80－(20－ 2 x)]m, 3
当直线 l 不经过坐标原点，即 a≠－2 时，由直线在 两坐标轴上的截距相等可得：2a＋＋a1＝2＋a，解得 a＝0， 此时直线 l 的方程为 x＋y－2＝0.
所以，直线 l 的方程为 x－y＝0 或 x＋y－2＝0.
(2)由直线方程可求得 M(2a＋＋a1，0)、N(0,2＋a)，又因 为 a>－1，
2 设直线l的斜率为k.
由题意知k 0.因为直线l过点M 1,1，
所以直线l的方程为y－1＝k ( x－1)．
当y＝0时，得A点的坐标是(1－ 1 ，0)； k
当x＝0时，得B点的坐标是(0,1－k )
因为
MA
2
＝(1－1＋
1 k
)2＋1＝1＋
1 k2
MB |2 ＝1＋(1－1＋k)2＝1＋k 2，
即3x－y－6＝0.
4.一条直线 l 过点 P(1,4)，分别交 x 轴，y 轴的正半 轴于 A、B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积最小时直 线 l 的方程为 4x＋y－8＝0 .
【解析】设 l：ax＋by＝1(a，b>0)． 因为点 P(1,4)在 l 上， 所以a1＋4b＝1.由 1＝1a＋b4≥2 a4bab≥16， 所以 S△AOB＝12ab≥8. 当a1＝4b＝21，即 a＝2，b＝8 时取等号． 故直线 l 的方程为 4x＋y－8＝0.
5.过点(4，－3)的直线 l 在两坐标轴上的截距的绝对 值相等，求直线 l 的方程．
【解析】(1)当直线 l 过原点时，它在 x 轴、y 轴上 的截距都是 0.
故满足条件的直线方程是 3x＋4y＝0. (2)当直线 l 不过原点时，方程可设为ax＋by＝1. 因为直线 l 过点(4，－3)，所以4a－b3＝1.
(2)方法 1：设点 A(x，y)在 l1 上，
由题意知xy＋ ＋22xyBB＝ ＝30
，所以点 B(6－x，－y)，
解方程组26x－－x＋y－－2＝y0＋3＝0 得yx＝＝113316
，k＝113316－－30＝8.
所以所求的直线方程为 y＝8(x－3)，即 8x－y－24＝0.
所以有x x2
y y
1 0 ，解得 50
x

y

9 4
故直线必经过定点(9，－4)．
2.若直线2mx＋3y＋1＝0的倾斜角 [ ， ]，则
实数m的取值范围是___[ －__32_，_－__2_3_] __. 6 4
【解析】因为 [ ， ]，所以 3 k＝tan 1，
则长方形PFDG的面积
S＝(100－x)[80－(20－ 2 x)] 3
＝－ 2 x2＋ 20 x＋6000 33
＝－ 2 (x－5)2＋6000＋50 (0 x 30)．
3
3
所以，当x＝5，y＝50 时，其面积最大，为6017 m2. 3
即当P(5，50)时，长方形的面积最大，为6017 m2. 3
ab 则 OA ＝a，OB ＝b.
因为直线l过点M 1,1，所以 1 ＋1＝1，
ab 所以 OA ＋ OB ＝a＋b＝(a＋b)( 1 ＋1)
ab
＝2＋b ＋ a 2＋2 b a＝4，
ab
ab
当且仅当 b a ，即a＝b＝2时，OA ＋ OB 取得最小值4. ab
所以直线l的方程为x＋y－2＝0
【变式练习1】
过点 M(2,4)作两条互相垂直的直线，分别交 x、y 的 正半轴于 A、B，若四边形 OAMB 的面积被直线 AB 平分， 求直线 AB 方程．
【解析】设方程为ax＋by＝1(a>0，b>0) 所以 A(a,0)、B(0，b)． 因为M→A⊥M→B，所以(a－2)·(－2)＋(－4)·(b－4)＝0⇒a ＝10－2b， 因为 a>0,0<b<5，AB 方程的一般式为 bx＋ay－ab＝0， 所以 M 到 AB 的距离 d＝|2b＋a42＋a－b2ab|，
所以△MAB 的面积 S1＝21d|AB| ＝21|2b＋4a－ab| ＝|b2－8b＋20|＝b2－8b＋20， 而△OAB 的面积 S2＝21ab＝5b－b2， 因为直线 AB 平分四边形 OAMB 的面积，
b＝4 所以 S1＝S2，可得a＝2
或b＝52 a＝5
，
故所求 AB 方程为 x＋2y－5＝0 和 2x＋y－4＝0.
2
2k
2k
2k
当且仅当2k＝ 1 ，即k＝1 时，上式等号成立．
2k
2
所以此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
1.m 为 任 意 实 数 时 ， 直 线 (m － 1)x ＋ (2m － 1)y ＝m－5必经过定点__(_9_，__－__4_)____.
【解析】由直线得：m(x＋2y－1)＋(－x－y＋5)＝0，
所以 k2－8k＝0，解得 k＝0 或 k＝8. 又因为当 k＝0 时，xA＝1，xB＝－3，此时xA＋2 xB＝1－2 3 ≠3，所以 k＝0 舍去， 所以所求的直线方程为 y＝8(x－3)，即 8x－y－24＝0.
方法 3：设点 A(x1，y1)在 l1 上，点 B(x2，y2)在 l2 上，
方法 2：设所求的直线方程 y＝k(x－3)，
则y2＝x－kxy－－32k＝0
，解得xA＝3kk－－22 yA＝k－4k2
；
y＝kx－3k
xB＝3kk＋－13
由x＋y＋3＝0 ，解得yB＝－k＋61k
.
因为 P(3,0)是线段 AB 的中点，所以 yA＋yB＝0，即k－4k2 ＋－ k＋61k＝0，
64
3
即 3 － 2m 1，所以－ 3 m － 3 .
3
3
2
2
3.已知直线l被坐标轴截得线段中点是(1，－ 3)，则直线l的方程是____3_x_－__y_－__6_＝__0____.
【解析】直线l与坐标轴的交点坐标为2, 0、(0，－6)，
故由截距式可求直线l的方程是 x ＋ y ＝0， 2 6
3显然k存在且不为0.当y＝0时，x＝－1 2k ；
k
当x＝0时，y＝1＋2k.由题意，x＝－1k2k 0，所以k 0. y＝1＋2k 0
所以 OA ＝1 2k ，OB ＝1＋2k. k
所以S＝1 OA OB ＝ 4k 2 4k 1＝2k＋ 1 ＋2 2 2k 1 ＋2＝4
求直线的方程
【例1】 求分别满足下列条件的直线 l 的方程．
(1)直线 l 过点 P(1,2)，倾斜角是直线 l1：3x＋4y＋5 ＝0 的倾斜角的一半；
(2)过点 P(3,0)作一直线，使它夹在两直线 l1：2x－y －2＝0 与 l2：x＋y＋3＝0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分．
【解析】(1)设直线 l 的斜率为 k，倾斜角为 α. 设直线 l1：3x＋4y＋5＝0 的倾斜角为 β， 则 tanβ＝－43，且 β＝2α. 由 tanβ＝tan2α＝1－2tatannα2α＝－43，得 tanα＝－13或 3. 若 tanα＝－31，则 90°<α<180°， 从而 180°<β<360°，不合题意，所以 k＝tanα＝3. 又直线 l 过点 P(1,2)，由点斜式得直线 l 的方程为 y －2＝3(x－1)，即 3x－y－1＝0.