2018-2019学年山东省菏泽市高三(上)期末数学试卷(文科)(b卷)(解析版)

2018-2019学年山东省菏泽市高三（上）期末数学试卷（文科）
（B卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
1．（5分）若集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则集合M∪N真子集的个数是（）A．7B．8C．15D．16
2．（5分）sin15°+cos165°的值为（）
A．B．C．D．
3．（5分）已知，，且，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．或
4．（5分）若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是（）A．6B．7C．8D．9
5．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S2+S4＝3S3，a1＝2，则a6＝（）A．﹣13B．﹣12C．12D．13
6．（5分）已知实数a，b满足等式2017a＝2018b，下列关系式不可能成立的是（）A．0＜a＜b B．a＜b＜0C．o＜b＜a D．a＝b
7．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1．直径为4的球的体积为V2，则V1：V2＝（）
A．1：4B．1：2C．1：1D．2：1
8．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是（）A．2B．2C．4D．2
9．（5分）为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
10．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在1个零点，则a的取值范围是（）
A．[﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣∞，﹣1）D．[﹣1，+∞）11．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
12．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM＝x，x∈[0，
1]，给出以下四个命题：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②当且仅当x＝时，四边形MENF的面积最小；
③四边形MENF周长L＝f（x），x∈[0，1]是单调函数；
④四棱锥C′﹣MENF的体积V＝h（x）为常函数；
以上命题中假命题的序号为（）
A．①④B．②C．③D．③④
二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题卡上)
13．（5分）曲线y＝2lnx在点（1，0）处的切线方程为．
14．（5分）圆（x﹣2）2+y2＝4关于直线y＝x对称的圆方程是．
15．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD 的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16．（5分）中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：
①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；
②函数f（x）＝ln（x2）可以是某个圆的“优美函数”；
③函数y＝1+sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数y＝2x+1可以同时是无数个圆的“优美函数”；
⑤函数y＝f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形．
其中正确的命题是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）解关于的不等式：ax2+（1﹣a）x﹣1＞0（a＜0）．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a cos C＝（2b﹣c）cos A．
（1）求角A的大小；
（2）求sin B+cos C的取值范围．
19．（12分）如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝．
（1）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）若异面直线AD与BE所成角的正切值为，求三棱锥C﹣ADE的体积．
20．（12分）已知数列{a n}的首项为a1＝1，且a n+1＝2（a n+1）（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝n﹣1，求数列{}的前n项和T n．
21．（12分）已知以椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形为等腰直角三角形，直线x+y+1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）矩形ABCD的两顶点C、D在直线y＝x+2上，A、B在椭圆C上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+﹣1，a∈R．
（1）当a＞0时，若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为，求a的值；
（2）设函数g（x）＝x+，当a＝﹣1时，若区间[1，e]上存在x0，使得g（x0）＜m[f （x0）+1]，求实数m的取值范围．（e为自然对数底数）
2018-2019学年山东省菏泽市高三（上）期末数学试卷（文
科）（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
1．【解答】解：∵集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，
∴集合M∪N＝{1，2，3}，
∴集合M∪N真子集的个数为：23﹣1＝7．
故选：A．
2．【解答】解：sin15°+cos165°＝sin15°﹣cos15°＝sin（45°﹣30°）﹣cos（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°﹣cos45°cos30°﹣sin45°sin30°
＝﹣﹣﹣＝，
故选：B．
3．【解答】解：；
∴
＝
＝0；
∴；
又；
∴的夹角为．
故选：C．
4．【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，
可得x M＝9，则M到y轴的距离是：9．
故选：D．
5．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S2+S4＝3S3，a1＝2，
∴2a1+d+4a1+6d＝3（3a1+3d），即3×2+2d＝0，解得d＝﹣3．
则a6＝2﹣5×3＝﹣13．
故选：A．
6．【解答】解：分别画出y＝2017x，y＝2018x，
实数a，b满足等式2017a＝2018b，
可得：a＞b＞0，a＜b＜0，a＝b＝1．
而0＜a＜b成立．
故选：A．
7．【解答】解：由三视图判断几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，且圆柱与圆锥的底面圆直径为4，高为2，
∴V1＝π×22×2﹣π×22×2＝π，
V2＝×π×23＝π；
∴＝．
故选：B．
8．【解答】解：∵lg2x+lg8y＝lg2，∴lg（2x•8y）＝lg2，∴2x+3y＝2，∴x+3y＝1．
∵x＞0，y＞0，∴＝＝2+＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．
故选：C．
9．【解答】解：函数y＝sin2x的图象，变换为函数＝的图象，只需向右平移个单位，
所以为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将函数的图象，向左平移个
单位．
故选：D．
10．【解答】解：g（x）＝f（x）+x+a存在1个零点等价于
函数y＝f（x）的图象与直线y＝﹣x﹣a有且仅有一个交点，
由图可知：函数y＝f（x）的图象与直线y＝﹣x﹣a
有且仅有一个交点时，﹣a＞1，即a＜﹣1，
故a的取值范围是a＜﹣1，
故选：C．
11．【解答】解：F为右焦点，设其坐标为（c，0），
令x＝c，则代入y＝±x可得y＝±，
∵△OAB的面积为，
∴＝，
∴＝，
∴e＝
故选：D．
12．【解答】解：①连结BD，B'D'，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF⊥平面BDD'B'，所以①正确．
②连结MN，因为EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定
的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x＝时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．
③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当
x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L＝f（x）不单调．所以③错误．
④连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF为底，以M，N
分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V＝h（x）为常函数，所以④正确．
所以四个命题中③假命题．
所以选C．
二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题卡上)
13．【解答】解：∵y＝2lnx，
∴y′＝，
当x＝1时，y′＝2
∴曲线y＝2lnx在点（1，0）处的切线方程为y＝2x﹣2．
故答案为：y＝2x﹣2．
14．【解答】解：圆心（2，0）关于直线y＝x对称的点为（1，）∴圆（x﹣2）2+y2＝4关于直线y＝x对称的圆方程是（x﹣1）2+（y﹣）2＝4，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2＝4．
15．【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，
设长方体的三边为a，b，c，则由题意得：ab＝4，ac＝4，bc＝4，
解得：a＝2，b＝2，c＝2，
所以球的直径为：＝2
所以球的半径为，
所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为＝8π
故答案为：8π．
16．【解答】解：①对于任意一个圆O，其过圆心的对称轴由无数条，所以其“优美函数”
有无数个；
②函数f（x）＝ln（x2）的定义域为R，值域为（0，∞）不可以是某个圆的“优
美函数”；
③函数y＝1+sin x，根据y＝sin x的图象可知可以将圆分成优美函数，图象可以延伸，
所以可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数y＝2x+1只要过圆心，即可以同时是无数个圆的“优美函数”；
⑤函数y＝f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形，
不对，有些中心对称图形不一定是“优美函数”，比如“双曲线”；
故答案为：①③④．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：ax2+（1﹣a）x﹣1＞0可得（ax+1）（x﹣1）＞0，
即（x+）（x﹣1）＜0，
当﹣＜1时，即a＜﹣1时，不等式的解为﹣＜x＜1，
当﹣＞1时，即﹣1＜a＜0，不等式的解为1＜x＜﹣，
当﹣＝1时，即a＝﹣1时，不等式的解集为空集，
故当a＜﹣1时，不等式的解集为（﹣，1），
当﹣1＜a＜﹣1时，不等式的解为（1，﹣），
当a＝﹣1时，不等式的解集为空集．
18．【解答】解：（1）∵a cos C＝（2b﹣c）cos A．
由正弦定理可得，sin AosC＝（2sin B﹣sin C）cos A，
从而可得，，
即
∵B∈（0，π），
∴sin B≠0，
∴cos A＝，
∵A∈（0，π），
A＝；
（2）∵sin B+cos C＝sin B+cos（）＝sin B﹣
＝＝，
由A＝可知B∈（0，π），
∴，
sin（B﹣），
因此．
故sin B+cos C的取值范围（]．
19．【解答】证明：（1）∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE．∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC．
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C．
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC，
∵DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．
解：（2）∵四边形DCBE为平行四边形，∴DC∥BE，
∴∠ADC是异面直线AD与BE所成角（或所成角的补角），
∵异面直线AD与BE所成角的正切值为，
∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．
∵在Rt△ABE中，AB＝2，EB＝DC＝，
∴tan∠ADC＝＝＝，解得AC＝，
∵△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，
∴AC⊥BC，∴BC＝＝，
∵AC⊥BC，DC⊥BC，AC∩BC＝C，
∴BC⊥平面ACD，∴E到平面ACD的距离为BC＝，
∴三棱锥C﹣ADE的体积：
V C﹣ADE＝V E﹣ADC＝＝＝．
20．【解答】证明：（1）数列{a n}的首项为a1＝1，且a n+1＝2（a n+1）（n∈N*）．所以：a n+1＝2a n+2，
整理得：a n+1+2＝2（a n+2），
所以：，
所以：数列{a n+2}是以a1+2＝3为首项，2为公比的等比数列．
则：，
当n＝1时，首项符合通项，
故：．
（2）由于：b n＝n﹣1，
所以：设c n＝＝，
所以：T n＝c1+c2+…+c n＝①
②，
①﹣②得：，
整理得：，
解得：．
21．【解答】解：（1）由题意知，以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆长半轴长为半径的圆的方程为（x﹣c）2+y2＝a2，
圆心到直线x+y+1＝0的距离，①
∵以椭圆C的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形为等腰直角三角形，
所以，b＝c，，代入①式得b＝c＝1，．
因此，所求椭圆的方程为；
（2）设直线AB的方程为y＝x+m，代入椭圆C的方程，整理得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，由△＞0，得，
设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则，．
，易知，
则由知，
所以，由已知可得，即，
整理得41m2+30m﹣71＝0，解得m＝1或，
所以，直线AB的方程为y＝x+1或．
22．【解答】解：（1）f′（x）＝（x＞0），
当天0＜a≤1时，f′（x）＞0在（1，3）恒成立，
f（x）在（1，3）递增，
故f（x）min＝f（1）＝a﹣1，令a﹣1＝，解得：a＝＞1，
当1＜a＜3时，令f′（x）＝0，解得：x＝a，
故f（x）在[1，a）递减，在（a，3]递增，
故f（x）min＝f（a）＝lna＝，解得：a＝，
当a≥3时，f′（x）＜0在（1，3）恒成立，
f（x）在（1，3）递减，
故f（x）min＝f（3）＝ln3+﹣1＝，解得：a＝4﹣3ln3＜2（舍），
综上：a＝．
（2）令h（x）＝x+﹣m[f（x）+1]＝x+﹣mlnx+，
则h′（x）＝，
欲使在区间上[1，e]上存在x0，使得g（x0）＜mf（x0），
只需在区间[1，e]上h（x）的最小值小于零．
令h'（x）＝0得，x＝m+1或x＝﹣1．
当m+1≥e，即m≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，
则h（x）的最小值为h（e），
∴h（e）＝e+﹣m＜0，解得m＞，
∵＞e﹣1，∴m＞；…（9分）
当m+1≤1，即m≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，
则h（x）的最小值为h（1），
∴h（1）＝1+1+m＜0，解得m＜﹣2，∴m＜﹣2；
当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，
h（x）在[1，m+1]上单调递减，在（m+1，e]上单调递增，
则h（x）的最小值为h（m+1），
∵0＜ln（m+1）＜1，∴0＜mln（m+1）＜m，
∴h（m+1）＝2+m﹣mln（m+1）＞2，此时h（m+1）＜0不成立．
综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．。