2023-2024学年湖南省长沙市德成学校高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年湖南省长沙市德成学校高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列说法正确的有（ ）
①1
2
∈Q ；②√3∈N ∗；③﹣1∈N ；④2+√2∈Q ；⑤2
4
∉Z ．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．设集合A ＝{x |2x ﹣3＜0}，则下列结论正确的是（ ） A ．1∈A ，且2∈A
B ．1∉A ，且2∉A
C ．1∈A ，且2∉A
D ．1∉A ，且2∈A
3．命题“∃a ∈[0.1]，a 4+a 2＞1”的否定是（ ） A ．∃a ∉[0，1]，a 4+a 2＞1 B ．∃a ∈[0，1]，a 4+a 2≤1 C ．∀a ∈[0，1]，a 4+a 2＞1
D ．∀a ∈[0，1]，a 4+a 2≤1
4．已知不等式x 2+ax +4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是（ ） A ．﹣4≤a ≤4
B ．﹣4＜a ＜4
C ．a ≤﹣4或a ≥4
D ．a ＜﹣4或a ＞4
5．“a ＜2且b ＜2”是“a +b ＜4”的（ ）条件． A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（﹣∞，1]
C ．（1，+∞）
D ．[1，+∞）
7．已知0＜a ＜1，则1
a +
41−a
的最小值是（ ）
A ．4
B ．8
C ．9
D ．10
8．不等式ax 2﹣bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜1}，则函数y ＝ax 2+bx +c 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列各组函数不是同一函数的是（ ） A ．f(x)=
x 2−x
x
，g(x)=x −1 B ．f （x ）＝x +1，g （x ）＝x +x 0
C ．f(x)=x ，g(x)=√x 33
D ．f(x)=√x −2⋅√x +2，g(x)=√x 2−4
10．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则a +1
a ＞
b +1
b
B ．若m ＞n ＞0，则m+1n+1＜
m n
C ．如果c ＞a ＞b ＞0，那么
a c−a ＞
b c−b
D ．a ≥b ＞﹣1，则
a
a+1
≥
b
b+1
11．下列命题中，真命题的是（ ） A ．∀x ∈R ，都有x 2﹣x ≥x ﹣1
B ．∃x ∈（1，+∞），使得x +
4
x−1
=6 C ．任意非零实数a ，b ，都有b
a +
a b
≥2 D ．函数y =x 2+2+
1
x 2+2
最小值为2 12．已知函数f （x ）＝x 2﹣4x 在[0，m ]上的值域为[﹣4，0]，则实数m 的值可以是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知集合A ＝{x |0＜x ＜4，x ∈N }的真子集有 个． 14．集合A ＝{a 2+a ﹣2，1﹣a ，2}，若4∈A ，则a ＝ ．
15．已知函数f （x ）的定义域为{x |1≤x ≤3}，则函数y ＝f （2x ﹣1）的定义域为 ．
16．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组有多少人 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f(x)=√x +3+1
x+2
． （1）求函数的定义域； （2）求f （﹣3）的值． 18．（12分）解下列不等式： （1）2x 2+5x ﹣3＜0； （2）﹣3x 2+6x ﹣2≤0； （3）4x 2+4x +1＞0．
19．（12分）设集合U＝{x|x≤5}，A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|﹣1≤x≤4}，求：
（1）A∪B；
（2）∁U A∪B；
（3）∁U A∪∁U B．
20．（12分）已知集合A＝{x|x2+x﹣2≤0}，B＝{x|1﹣m≤x＜1+m}．
（1）若A∪B＝B，求实数m的取值范围；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax2+ax﹣1．
（1）若f（2）＝1，求实数a的值；
（2）若x∈R，f（x）＜0恒成立，求：实数a的取值范围．
22．（12分）做一个体积为48m3，高为3米的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周每平方米为50元，问长与宽取什么数值时用总造价最低，最低是多少？
2023-2024学年湖南省长沙市德成学校高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列说法正确的有（ ）
①1
2
∈Q ；②√3∈N ∗
；③﹣1∈N ；④2+√2∈Q ；⑤2
4
∉Z ．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解：由12
是有理数，可知①正确；根据√3不是正整数，可知②错误； 根据﹣1不是自然数，可知③错误；根据2+√2不是有理数，可知④错误； 根据2
4
=1
2不是整数，可知⑤正确，综上，正确的说法有2个．
故选：B ．
2．设集合A ＝{x |2x ﹣3＜0}，则下列结论正确的是（ ） A ．1∈A ，且2∈A
B ．1∉A ，且2∉A
C ．1∈A ，且2∉A
D ．1∉A ，且2∈A
解：因为A ＝{x |2x ﹣3＜0}，x ＝1满足2x ﹣3＜0，x ＝2不满足2x ﹣3＜0，所以1∈A ，且2∉A ． 故选：C ．
3．命题“∃a ∈[0.1]，a 4+a 2＞1”的否定是（ ） A ．∃a ∉[0，1]，a 4+a 2＞1 B ．∃a ∈[0，1]，a 4+a 2≤1 C ．∀a ∈[0，1]，a 4+a 2＞1
D ．∀a ∈[0，1]，a 4+a 2≤1
解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“∃a ∈[0，1]，a 4+a 2＞1”的否定是“∀a ∈[0，1]，a 4+a 2≤1”． 故选：D ．
4．已知不等式x 2+ax +4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是（ ） A ．﹣4≤a ≤4
B ．﹣4＜a ＜4
C ．a ≤﹣4或a ≥4
D ．a ＜﹣4或a ＞4
解：不等式x 2+ax +4＜0的解集为空集，则Δ＝a 2﹣16≤0， 解得﹣4≤a ≤4，所以a 的取值范围是{a |﹣4≤a ≤4}． 故选：A ．
5．“a ＜2且b ＜2”是“a +b ＜4”的（ ）条件． A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：若a ＜2且b ＜2，则a +b ＜4，故充分性满足；
但是由a +b ＜4推不出a ＜2且b ＜2，例如a ＝0，b ＝3，故必要性不满足； 所以“a ＜2且b ＜2”是“a +b ＜4”的充分不必要条件． 故选：C ．
6．关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，1）
B ．（﹣∞，1]
C ．（1，+∞）
D ．[1，+∞）
解：关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a ＜(2
x −x)max ，x ∈[1，4]； 设f （x ）=
2
x
−x ，x ∈[1，4]，则函数f （x ）在x ∈[1，4]单调递减， 且当x ＝1时，函数f （x ）取得最大值f （1）＝1； 所以实数a 的取值范围是（﹣∞，1）． 故选：A ．
7．已知0＜a ＜1，则1
a +
41−a
的最小值是（ ）
A ．4
B ．8
C ．9
D ．10
解：∵0＜a ＜1，∴1a
+41−a
=（1
a +
4
1−a
）[a +（1﹣a ）]=1−a
a +4a
1−a +5≥2√4+5＝9，
当且仅当1−a a
=
4a 1−a
，即a =1
3时取等号，
∴1
a +
41−a
的最小值是9，
故选：C ．
8．不等式ax 2﹣bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜1}，则函数y ＝ax 2+bx +c 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
解：根据题意，ax 2﹣bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜1}，
则方程ax 2﹣bx +c ＝0的两个根为x ＝﹣2和x ＝1，且a ＜0， 则有{
−2+1=
b
a (−2)×1=c a a ＜0，变形可得{
b =−a
c =−2a ，
故函数y ＝ax 2+bx +c ＝ax 2﹣ax ﹣2a ＝a （x ﹣2）（x +1），
是开口向下的二次函数，且与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）和（2，0）， C 选项的图象符合， 故选：C ．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列各组函数不是同一函数的是（ ）
A ．f(x)=x 2−x x
，g(x)=x −1
B ．f （x ）＝x +1，g （x ）＝x +x 0
C ．f(x)=x ，g(x)=√x 33
D ．f(x)=√x −2⋅√x +2，g(x)=√x 2−4
解：对于A ，f(x)=x 2−x
x
=x −1(x ≠0)，g （x ）＝x ﹣1，x ∈R ，两个函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B ，f （x ）＝x +1，x ∈R ，g （x ）＝x +x 0＝x +1（x ≠0），两个函数的定义域不同，不是同一函数； 对于C ，f （x ）＝x ，x ∈R ，g(x)=√x 33
=x ，x ∈R ，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D ，f(x)=√x −2⋅√x +2，x ∈[2，+∞），g(x)=√x 2−4，x ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）， 两个函数的定义域不同，不是同一函数． 故选：ABD ．
10．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则a +1
a ＞
b +1
b
B ．若m ＞n ＞0，则m+1n+1＜
m n
C ．如果c ＞a ＞b ＞0，那么
a c−a ＞
b c−b
D ．a ≥b ＞﹣1，则
a
a+1
≥
b
b+1
解：对A ，令a ＝3，b =1
3，则a +1
a =
b +1
b ，选项A 错误； 对B ，∵
m+1n+1
−
m n
=
n−m n(n+1)
＜0，∴
m+1n+1
＜
m n
，选项B 正确．
对C ，∵c ＞a ＞b ＞0，∴﹣a ＜﹣b ＜0，∴0＜c ﹣a ＜c ﹣b ，∴0＜1
c−b ＜1
c−a ，
又a＞b＞0，∴a
c−a ＞
b
c−b
，选项C正确．
对D，a≥b＞﹣1，则a+1≥b+1＞0，a（1+b）＝a+ab≥b+ab＝b（1+a），
则a
1+a ≥
b
1+b
，选项D正确．
故选：BCD．
11．下列命题中，真命题的是（）
A．∀x∈R，都有x2﹣x≥x﹣1B．∃x∈（1，+∞），使得x+4
x−1
=6
C．任意非零实数a，b，都有b
a +
a
b
≥2D．函数y=x2+2+
1
x2+2
最小值为2
解：对于选项A，∀x∈R，都有x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，所以x2﹣x≥x﹣1恒成立．故为真命题．
对于选项B，当x＝2时，x+
4
x−1
=6，故为真命题．
对于选项C，当a＝1，b＝﹣1时，b
a +
a
b
=−2≤2，故为假命题．
对于选项D，y=x2+2+
1
x2+2
≥2√(x2+2)⋅
1
x2+2
=2，当且仅当x2+2=
1
x2+2
，此时无解，故等号
不成立，所以为假命题．
故选：AB．
12．已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的值可以是（）A．1B．2C．3D．4
解：f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
当x∈（﹣∞，2）时，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增，
故当x＝2时，f（x）取得最小值﹣4，
又f（0）＝f（4）＝0，
故要想f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则要m∈[2，4]，
故实数m的值可以是2，3，4．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知集合A＝{x|0＜x＜4，x∈N}的真子集有7个．
解：由已知得A＝{x|0＜x＜4，x∈N}＝{1，2，3}，
故A的真子集个数为：23﹣1＝7．
故答案为：7．
14．集合A＝{a2+a﹣2，1﹣a，2}，若4∈A，则a＝2．
解：若4∈A，则a2+a﹣2＝4或1﹣a＝4，
当a2+a﹣2＝4时，a2+a﹣6＝0，解得：a＝﹣3或2，
若a＝﹣3，则1﹣a＝4，与互异性矛盾，舍去；
若a＝2，则1﹣a＝﹣1，满足题意；
当1﹣a＝4时，即a＝﹣3，此时a2+a﹣2＝4，与互异性矛盾，舍去；
综上a＝2．
故答案为：2．
15．已知函数f（x）的定义域为{x|1≤x≤3}，则函数y＝f（2x﹣1）的定义域为{x|1≤x≤2}．解：∵函数y＝f（x）的定义域为{x|1≤x≤3}，
∴1≤2x﹣1≤3，解得：1≤x≤2，
即函数y＝f（2x﹣1）的定义域是为{x|1≤x≤2}．
故答案为：{x|1≤x≤2}．
16．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组有多少人5．
解：设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的人数为x，
因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为0，画出韦恩图，如图所示：由图可知：20﹣x+6+5+x+4+9﹣x＝39，解得x＝5，
所以同时参加数学和化学小组有5人．
故答案为：5．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数f(x)=√x +3+1
x+2． （1）求函数的定义域； （2）求f （﹣3）的值．
解：（1）由题意可得，{x +3⩾0x +2≠0，
解不等式可得{x |x ⩾﹣3且x ≠﹣2}， 故函数的定义域为{x |x ⩾﹣3且x ≠﹣2}； （2）f （﹣3）＝﹣1． 18．（12分）解下列不等式： （1）2x 2+5x ﹣3＜0； （2）﹣3x 2+6x ﹣2≤0； （3）4x 2+4x +1＞0．
解：（1）由2x 2+5x ﹣3＜0，得（x +3）（2x ﹣1）＜0，得−3＜x ＜1
2， 所以不等式2x 2+5x ﹣3＜0的解集为{x|−3＜x ＜1
2}． （2）由﹣3x 2+6x ﹣2≤0得3x 2﹣6x +2≥0，得x 2−2x +2
3
≥0， 得(x −1)2≥1
3，得x −1≤−√3
3或x −1≥√3
3，即x ≤3−√33或x ≥3+√3
3
， 所以原不等式的解集为{x|x ≤
3−√33或x ≥3+√3
3
}． （3）由4x 2+4x +1＞0得（2x +1）2＞0，所以x ≠−1
2
． 所以原不等式的解集为{x|x ≠−1
2
，x ∈R}．
19．（12分）设集合U ＝{x |x ≤5}，A ＝{x |1≤x ≤5}，B ＝{x |﹣1≤x ≤4}，求： （1）A ∪B ； （2）∁U A ∪B ； （3）∁U A ∪∁U B ．
解：（1）由并集定义知：A ∪B ＝{x |﹣1≤x ≤5}； （2）∵∁U A ＝{x |x ＜1}， ∴（∁U A ）∪B ＝{x |x ≤4}；
（3）∵∁U A ＝{x |x ＜1}，∁U B ＝{x |x ＜﹣1或4＜x ≤5}， ∴（∁U A ）∩（∁U B ）＝{x |x ＜﹣1}．
20．（12分）已知集合A ＝{x |x 2+x ﹣2≤0}，B ＝{x |1﹣m ≤x ＜1+m }． （1）若A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围；
（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：（1）由x 2+x ﹣2≤0得﹣2≤x ≤1，故A ＝{x |﹣2≤x ≤1}， 因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，故{1−m ≤−21+m ≥1，解得m ≥3，
因此实数m 的取值范围是[3，+∞）；
（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，则B 是A 的真子集， ①当B ＝{x |1﹣m ≤x ＜1+m }＝∅时，1﹣m ≥1+m ，解得m ≤0，符合题意； ②当B ≠∅时，1﹣m ＜1+m ，即m ＞0，
由A ＝{x |﹣2≤x ≤1}，可得{1−m ≥−21+m ≤1，解得m ≤0，结合m ＞0得m ∈∅．
综上，实数m 的取值范围是（﹣∞，0]． 21．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+ax ﹣1． （1）若f （2）＝1，求实数a 的值；
（2）若x ∈R ，f （x ）＜0恒成立，求：实数a 的取值范围．
解：（1）∵f （x ）＝ax 2+ax ﹣1，f （2）＝1，∴f （2）＝4a +2a ﹣1＝1，解得 a =1
3
．
（2）当a ＝0时，f （x ）＜0恒成立；当a ＜0且Δ＝a 2+4a ＜0时，解得﹣4＜a ＜0；当a ＞0时，f （x ）＜0不恒成立．
∴实数a 的取值范围为（﹣4，0]．
22．（12分）做一个体积为48m 3，高为3米的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周每平方米为50元，问长与宽取什么数值时用总造价最低，最低是多少？
解：设长方体底面的长为am ，宽为bm ，显然a ，b ＞0，则3ab ＝48，故b =16
a ，总造价为y 元， 则y =2(3a +48
a )×50+16×40=300(a +16
a )+640≥300×2√a ⋅16
a +640=3040，当且仅当a =
16
a
，即a ＝b ＝4时等号成立， ∴当底面的长与宽均为4米时总费用最少，最少为3040元．。