【试题】江苏省2016届高三高考前热身训练数学试题Word版含答案

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江苏省2016届高三高考前热身训练
数学试题
第I卷(必做题160分)
一、填空题：本题共14个小题，每小题5分，共70分。

1.设集合，则等于▲ ．
答案：
2.若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为▲ ．
答案： 3
3.平面向量的夹角为▲ ．
答案： 2
4. 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为▲ ．
答案：
5. 下面是一个算法的伪代码，其运行的结果为▲ ．
答案：25
6. 已知直线平面，直线平面，有下列四个命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则.
以上命题中，正确命题的序号是▲ ．
答案：①③
7.已知双曲线的一个实轴端点恰与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为▲ ．
答案：
8. 已知数列满足，则的值为▲ ．
答案：
9.已知函数的最大值为M,最小值为，则= ▲ ．
答案：2
10. 在中，角A,B,C所对的边分别是，若，且则的面积等于▲ ．
答案：
11. 已知函数f（x）及g（x）（x∈D），若对于任意的x∈D，存在x0，使得f（x）≥f（x0），
g（x）≥g（x0）恒成立且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”，已知函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R），g（x）=是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间[，2]上的最大值为▲ ．
答案：2
12. 已知定义在上的函数，则方程的实数解的个数是▲ .
答案：6
13．在平面直角坐标系中，若动点到两直线：和：的距离之和为，则的最大值为 ▲ ． 答案： 解：由题意得：
（1）此时的最大值为；（2）此时的最大值为10； （3）此时的最大值为10；（4）此时的最大值为.
14. 设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为 ▲ . 答案：3
三、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （本小题满分14分）
已知函数（其中），若的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 （I ）求的单调递加区间；
（II ）在中角A 、B 、C 的对边分别是满足恰是的最大值，试判断的形状. 解：(Ⅰ)因为………………………3分 的对称轴离最近的对称中心的距离为 所以，所以，所以
………………………………5分 解 得：
所以函数()f x 单调增区间为[,
]()6
3
k k k Z π
π
ππ-
++∈……………………6分
(Ⅱ) 因为(2)cos cos b a C c A -=⋅，由正弦定理， 得(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=⋅ 因为sin()sin()sin 0A C B B π+=-=>
2sin cos sin B C B =，所以sin (2cos 1)0B C -=
所以1cos 2C =
0C π<<，所以3C π
=……………………9分 所以203B π<< 4023
B π
<<
根据正弦函数的图象可以看出，()f B 无最小值,有最大值max 1y =， 此时262B π
π
-
=
，即3B π
=
,所以3
A π
=
所以ABC ∆为等边三角形…………………………12分
17. （本小题满分14分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，AC BD AC CD AB ,,//⊥与BD 交于点,O 且平面 ⊥PAC 平面E ABCD ,为棱PA 上一点.
A
B
C
D
E
F M
N
G
第17题图
N
T
M
H
G
F E
D
C
B
A
（1）求证：;OE BD ⊥
（2）若,2,2EP AE CD AB ==求证：//EO 平面.PBC （1）因为平面PAC
⊥底面ABCD ，
平面PAC
底面ABCD AC =，
BD AC ⊥， BD ⊂平面ABCD ，
所以BD ⊥平面PAC ， 又因为OE ⊂平面PAC ，
所以BD OE ⊥．……………………7分
（2）因为//AB CD ，2AB CD =，AC 与BD 交于O ，
所以::1:2CO OA CD AB ==，
又因为2AE EP =，所以::CO OA PE EA =，
所以//EO PC ，又因为PC ⊂平面PBC ，EO ⊄平面PBC ， 所以//EO 平面PBC ．……………………14分 17. （本小题满分14分）
某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中60AD m =，40AB m =，且EFG ∆中，90EGF ∠=，经测量得到10,20AE m EF m ==．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G 作一直线交,AB DF 于N M ,，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设()DN x m =． （1）将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数； （2）当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并 求出最大面积．
（1）作GH ⊥EF ，垂足为H ，
因为DN x =，所以40,60NH x NA x =-=-，因为
,NH NA
HG AM
= 所以406010x x AM --=
，所以6001040x AM x
-=- ………………2分 过M 作//MT BC 交CD 于T ， 则MBCDW
MBCT MTDN S
S S =+1
(40)60(60)2
AM x AM =-⨯++⨯，
所以600101(60)(60010)
(40)6040240x x x y x x
-+-=-
⨯+⨯
--
()x
x ---=4060524002
…………………、……………7分 由于N 与F 重合时，30AM AF ==适合条件，故(]0,30x ∈,………、……8分
（2）()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+--=---=404040040524004060524002
x x x x y ，…………10分
所以当且仅当x
x -=
-40400
40，即(]30,020∈=x 时，y 取得最大值2000，…13分
所以当20DN m =时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为22000m ．………14分 18. （本小题满分16分）
已知()()00,1,0,A x B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足23OP OA OB =+.
（I ）求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；
（II ）一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程；
（III ）直线2:1l x ty =+与曲线C 交于A 、B 两点，()10E -，，试问：当t 变化时，是否存在一直线2l ，使ABE ∆的面积为23？若存在，求出直线2l 的方程；若不存在，说明理由 解
: (Ⅰ)
因为23OP OA OB =+
即0000(
,)2(,0))(2)x y x y x ==
所以002,x x y ==
所以001,23
x x y y =
= 又因为
||1AB =,所以22
001x y +=
即:22
1())12x y +=,即22143
x y += 所以椭圆的标准方程为22
143
x y +=…………………………4分 (Ⅱ) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+
联立直线1l 和椭圆方程22214
3y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
得: 22
(34)1640k x kx +++=
由0∆>,得21
4
k >()*
设112,2(,),()P x y Q x y
则1212
22
164
,3434k x x x x k k +=-
=++ (1) 以PQ 直径的圆恰过原点 所以OP OQ ⊥,0OP OQ •= 即12120x x y y +=
也即1212(2)(2)0x x kx kx +++=
即2
1212(1)2()40k x x k x x ++++=
将(1)式代入,得222
4(1)32403434k k
k k +-+=++ 即222
4(1)324(34)0k k k +-++=
解得24
3
k =
,满足（*
）式，所以k =…………………………………8分
(Ⅲ)由方程组22114
3x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22
(34)690t y ty ++-=*
设112,2(,),()A x y B x y ,则12122269
,03434
t y y y y t t +=-⋅=-<++
所以
122
34
y y t -===+ 因为直线:1l x ty =+过点(1,0)F
所以ABE ∆
的面积122211
222
3434
ABE
S EF y y t t ∆=-=⨯⨯=++ 234t =+令则2
23
t =-
不成立 不存在直线l 满足题意……………………………………13分
19．（本题满分16分）
已知各项均为正数的两个无穷数列{}n a 、{}n b 满足*
1112()n n n n n a b a b na n N ++++=∈．
（Ⅰ）当数列{}n a 是常数列（各项都相等的数列），且11
2
b =时，求数列{}n b 通项公式； （Ⅱ） 设{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，求证：数列{}n a 有无穷多个，而数列{}
n b 惟一确定；
（Ⅲ）设2*
12()1n n n n a a a n N a ++=∈+，21
n n i i S b ==∑，求证：2
26n S n <<． 解：（1）因为数列{}n a 是常数列，且*
1112()N n n n n n a b a b na n ++++=∈， 所以*
12()N n n b b n n ++=∈…①，
因此*
12(1)(,2)N n n b b n n n -+=-∈≥…②， ①-②得*
112(,2)N n n b b n n +--=∈≥，……………2分
这说明数列{}n a 的序号为奇数的项及序号为偶数的项均按原顺序构成公差为2的等差数列， 又112b =
，122b b +=，所以23
2
b =，
因此2111(1)2(21)22n b n n -=
+-⋅=--，231(1)2222n b n n =+-⋅=-， 即*
1()2
N n b n n =-∈. …………………………………4分
（2）设{}n a ，{}n b 的公差分别为1212,(0)d d d d ≠，
将其通项公式代入*
1112()N n n n n n a b a b na n ++++=∈
得111211121211[()]()()[()]2()d n a d nd b nd a d n b d n nd a +-++++-=+，它是n 的恒等
式，所以1211112121
111112
1222,
2222,
20,0,
d d d b d a d d d a a b b d a d d d =⎧⎪+-=⎪⎨--=⎪⎪≠⎩解得1112,1,1,d a b d =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此1,.n n a na b n =⎧⎨=⎩……………7分
由于1a 可以取无穷多非零的实数，故数列{}n a 有无穷多个，数列{}n b 惟一确定.……8分 （3）因为2*121
()1
N n n n a a n a ++=
∈+，且0n a >， 所以22
12011
n n n n n n n n a a a a a a a a ++-=
-=>++，即1n n a a +<，………………………10分 所以1111112n n n n n n n n n a b a b na a b a b +++++++=<+，得12n n b b n ++>，
因
此
212342121
()()()n n i n n i S b b b b b b b -===++++⋅⋅⋅++∑221232(21)2n n >⨯+⨯+⋅⋅⋅+-=．
又由*
1112()N n n n n n a b a b na n ++++=∈得11(2)n n n n a b n b a ++=-，而0n a >，所以2n b n <．
因此22
1
2(122)2(12)42n
n i i S b n n n n
n ==
<++⋅⋅⋅+=+=+∑，…………14分
所以22
(2,42)n S n n n ∈+．所以2
2246n
S n n
<
<+≤．……………………………16分
20.（本小题满分16分） 已知函数()ln a
f x x x x
=--
，a ∈R ． （1）当0a =时，求函数()f x 的极大值； （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）当1a >时，设函数()(1)11
a
g x f x x x =-+-+
-，若实数b 满足：b a >且 ()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求证：45b <<． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞． （1）当0a =时，()ln f x x x =-，1
()1f x x
'=
-，令()0f x '=得1x =． ………1分
列表：
所以()f x 的极大值为(1)1f =-． …………………………………………3分
(2) 222
1()1a x x a
f x x x x
-++'=-+=． 令()0f x '=，得20x x a -++=，记14a ∆=+．
（ⅰ）当1
4
a -≤时，()0f x '≤，所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分
（ⅱ）当1
4
a >-时，由()0f x '=得12x x = ①若1
04
a -<<，则120x x >>，
由()0f x '<，得20x x <<，1x x >；由()0f x '>，得21x x x <<．
所以，()f x 的单调减区间为，)+∞，单调增区间为
； …………………………………………………………7分
②若0a =，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；
③若0a >，则120x x >>，
由()0f x '<，得1x x >；由()0f x '>，得10x x <<．
()f x 的单调减区间为)+∞，单调增区间为． ……9分
综上所述：当1
4a -≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；
当1
04
a -<<时，()f x 的单调减区间为，)+∞，
单调增区间为；
当0a ≥时，()f x 单调减区间为)+∞，单调增区间为
． ………………………………………………………10分 （3）()ln(1)g x x =-（1x >）．
由(
)()1
b
g g a b =-得1ln ln(1)1a b =--． ∵1a b <<， ∴11b a -=-(舍)，或(1)(1)1a b --=．
∵21(1)(1)(1)a b b =--<-，∴2b >． …………………………………12分 由()2()2
a b
g b g +=得，
因为
11
2
a b -+-， 所以（*）式可化为1
ln(1)2ln [(1)(1)]2
b a b -=-+-，
即211
1[1]21b b b -=+--（）． ………………………………………………14分
令1(1)b t t -=>，则211
[()]2t t t
=+，整理，得4324210t t t -++=，
从而32(1)(31)0t t t t ----=，即32310t t t ---=．
记32()31,1h t t t t t =--->．2()361h t t t '=--，令()0h t '=
得1t =（舍）
，1t =+
所以，()h t (3)0,(4)0h h <>，所以34t <<，从而45b <<． ………………………………………………16分
第Ⅱ卷(附加题 40分)
21.已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程． 解：设A =NM ，则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， ………………3分 设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ， 则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',
1'.2
x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ………………7分
又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=，即218y x =．……………10分
22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为4
π
θ=
，曲线C
的参数方程为sin x y θθ
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩（θ为参数）.
（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；
（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于,A B 两点，若8
||||3
MA MB •=，求点M 轨迹的直角坐标方程.
【解析】（1）直线:l y x =，曲线2
2:12
x C y +=. （2）设点00(,)M x y 及过点M
的直线为0102:2
x x t
l y y t ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
（t 为参数）. 由直线1l 与曲线C
相交可得：222
000032202
t x y ++++-=， 8||||3
MA MB •=2200228|
|332
x y +-⇒=，即：22
0026x y +=， 2226x y +=表示一椭圆，
取y x m =+代入2
212
x y +=，得：2234220x mx m ++-=， 由0∆≥
得m ≤≤，
故点M 的轨迹是椭圆2
2
26x y +=
夹在平行直线y x =±.
23.某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，.经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为
89，第二道工序检查合格的概率为9
10
，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器.
（I ）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；
（II ）若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为
ξ，求ξ的分布列和每月的盈利期望.
解: (Ⅰ) 设恰有两台仪器完全合格的事件为A ,每台仪器经两道工序检验完全合格的概率为p
894
=9105
P =⨯…………………………………2分
所以2222334448
()(1)()(1)55125
P A C p p C =-=-=…………………5分
(Ⅱ) 每月生产的仪器完全合格的台数可为3,2,1,0四种 所以赢利额ξ的数额可以为15,9,3,3-……………………7分
当15ξ=时,333464
(15)()5
125
P C ξ===
当9ξ=时,2234148
(9)()55125P C ξ===
当3ξ=时,1234112
(3)()55125
P C ξ===
当3ξ=-时,03311
(3)()5125P C ξ=-==………………………………10分
每月的盈利期望644812157
1593(3)10.141251251251255
E ξ=⨯+⨯+⨯+-==
所以每月的盈利期望值为10.14万元……………12分
24．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
如图，已知定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ 至点M ，使12
PQ QM =，且0PR PM ⋅=．
（1）求动点M 的轨迹C 1；
（2）圆C 2： 22(1)1x y +-=，过点(0，1)的直线l 依次交C 1于A ，D 两点（从左到右），交C 2于B ，C 两点（从左到右），求证：AB CD ⋅为定值．
（1）法一：设M (x ，y )，P (x 1，0)，Q (0，y 2)，则由1
0,2
PR PM PQ QM ⋅==及R (0，－3)，
得
111
22()(3)0,1,211.22
x x x y x x y y y ⎧
⎪--+-=⎪
⎪-=⎨⎪
⎪=-⎪⎩化简，得24x y =． ……………………4分 所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线． ……………………5分 法二：设M (x ，y )．
由12PQ QM =，得 (,0),(0,)23
x y P Q -．
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11文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 所以，3(,3),(,)22
x x PR PM y =-=． 由0PR PM =，得 3(,3)(,)022x x y -⋅=，即23304
x y -=．化简得 24x y =．……4分 所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线． …………………5分
（2）证明：由题意，得 AB CD AB CD ⋅=⋅，⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F ． 设11(,)A x y ，22(,)D x y ，则1111AB FA FB y y =-=+-=． ……………………7分 同理 2CD y =．
设直线的方程为 (1)x k y =-． 由2(1),1,4
x k y y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得221(1)4y k y =-，即2222(24)0k y k y k --+=． 所以，121AB CD AB CD y y ⋅=⋅==． ……………………………………10分
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