九年级数学上册第二十二章二次函数单元复习试题(含答案) (91)

九年级数学上册第二十二章二次函数单元复习试题（含答案）
如图，已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,0)M ，直线y x m =+与该二次函数的图象交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(3,4)，点B 在y 轴上．(,0)P a 是x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别与直线AB 和二次函数的图象交于D ，E 两点．
（1）求m 的值及这个二次函数的解析式；
（2）若点P 的横坐标2a =，求ODE ∆的面积；
（3）当0<<3a 时，求线段DE 的最大值；
（4）若直线AB 与二次函数图象的对称轴交点为N ，问是否存在点P ，使以M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 1m =，221y x x =-+；(2)ODE 2S =；(3) DE 的最大值为94
；(4)
存在，点P 的坐标为()20，
或(302+)或(32
，0) 【解析】
【分析】 (1)根据直线y x m =+ 经过点A(3，4)求得m=1，根据二次函数图象的顶点
坐标为M(1，0)，且经过点A(3，4)即可求解；
(2)先求得点E 的坐标，点D 的坐标，根据三角形面积公式即可求解；
(3)由题意得()()
2121D a a E a a a +-+，，，，则239()24
DE a =--+，根据二次函数的性质即可求解；
(4)分两种情况：D 点在E 点的上方、D 点在E 点的下方，分别求解即可．
【详解】 (1)∵直线 y x m =+经过点()34A ，
， ∴43m =+，
∴1m =，
∵二次函数图象的顶点坐标为()1
0M ，， ∴设二次函数的解析式为：2(1)y a x =-
∵抛物线经过()34A ，
， ∴24(31)a =-，
解得：1a =，
∴二次函数的解析式为：22(1)21y x x x =-=-+；
(2)把2x =代入221y x x =-+ 得1y =，
∴点E 的坐标为()21
，， 把2x =代入1y x =+得3y =，
∴点D 的坐标为(2，3)，
∴312DE =-=，
∴ODE 1122222
P S DE x =⨯⨯=⨯⨯=； (3)由题意得()()2121D a a E a a a +-+，，，，
∴()()2121DE a a a =+--+
239()24a =--+，∴当32a =(属于03a << 范围)时，DE 的最大值为94
； (4) 满足题意的点P 是存在的，理由如下：
∵直线AB ：1y x =+，
当1x =时，2y =，
∴点N 的坐标为(1，2)，
∴2MN =，
∵要使四边形为平行四边形只要DE MN =，
∴分两种情况：
①D 点在E 点的上方，则
()()
221213DE a a a a a =+--+=-+， ∴232a a -+=，
解得：1a =(舍去)或2a =；
②D 点在E 点的下方，则
23DE a a =-，
∴232a a -=，
解得：a =
综上所述，满足题意的点P 是存在的，点P 的坐标为()20，
或(302)或
(32
-，0) ． 【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
107．如图在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图像经过点()0,4A -、()2,0B 交反比例函数m y x
=()0x >的图像于点()3,C a ，点P 在反比例函数的图像上，横坐标为n ()03n <<，//PQ y 轴交直线AB 于点Q ，D 是y 轴上任意一点，连接PD 、QD ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求DPQ 面积的最大值．
【答案】（1）624,y x y x
=-=
；（2）4. 【解析】
【分析】 （1）利用点()0,4A -、()2,0B 求解一次函数的解析式，再求C 的坐标，再求反比例函数解析式；
（2）设6,,P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
则(),24,Q n n -再表示PQ 的长度，列出三角形面积与n 的函数关系式，利用函数的性质可得答案．
【详解】
解：（1）设直线AB 为,y kx b =+
把点()0,4A -、()2,0B 代入解析式得：
420b k b =-⎧⎨+=⎩
解得：24
k b =⎧⎨=-⎩ ∴ 直线AB 为24,y x =-
把()3,C a 代入得：2342,a =⨯-=
()3,2,C ∴
把()3,2C 代入：,m y x
= 236m ∴=⨯=，
6,y x
∴= （2）设6,,P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
//PQ y 轴， 则(),24,Q n n - 由0＜n ＜3，
()666242424,PQ n n n n n n
∴=--=-+=-+ 16242DPQ S n n n ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭
()222314,n n n =-++=--+
即当1n =时， 4.DPQ S ∴=最大
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
108．如图，抛物线y=-x 2+mx+n 与x 轴交于A,B 两点，y 与轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D 。

已知A(-1,0),C(0,3)
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上是否存在P 点，使⊿PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；
点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ， ①求直线BC 的解析式
②当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求四边形CDBF
的最大面积及此时点E的坐标
【答案】（1）y=﹣1
2x2+3
2
x+2；（2）P1（3
2
，4），P2（3
2
，5
2
），P3（3
2
，
﹣5
2）；（3）①y=﹣1
2
x+2．②S四边形CDBF的面积最大=13
2
；E（2，1）
【解析】
试题分析：（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出m、n的值即可；（2）如图1中，分两种情形讨论①当PD=DC时，当CP=CD时，分别写
出点P坐标即可．
（3）先求出BC的解析式，设出点E的横坐标为a，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
试题解析：（1）∵抛物线y=-1
2
x2+mx+n经过A（-1，0），C（0，2）．
解得：
3 {2
2
m
n
＝
＝
，
∴抛物线的解析式为：y=-1
2
x2+3
2
x+2；
（2）如图1，
∵y=-1
2
x2+3
2
x+2，
∴y=-1
2
（x-3
2
）2+25
8
，
∴抛物线的对称轴是直线x=3
2．
∴OD=3
2．
∵C（0，3），
∴OC=23
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=5
2
．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=DP2=DP3．
作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1（5
3
，4），P2（3
2
，5
3
），P3（3
2
，-5
3
）；
（3）当y=0时，0=-1
2x2+3
2
x+2
∴x1=-1，x2=4，∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
2
{
04
b
k b
+
＝
＝
，
解得：
1 {2
2
k
b
-
＝
＝
，
∴直线BC的解析式为：y=-1
2
x+2．
如图2，
过点C作CM⊥EF于M，设E（a，-1
2a+2），F（a，-1
2
a2+3
2
a+2），
∴EF=-1
2
a2+3
2
a+2-（-1
2
a+2）=-1
2
a2+2a（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=1
2
BD•OC+1
2
EF•CM+1
2
EF•BN，
=1 2×
5
2
×2+
1
2
a（-1
2
a2+2a）+1
2
（4-a）（-1
2
a2+2a），
=-a2+4a+5
2
（0≤x≤4）．
=-（a-2）2+13
2
∴a=2时，S 四边形CDBF 的面积最大=
132
， ∴E （2，1）． 109．抛物线y ＝2x 2+bx +c 经过（﹣3，0），（1，0）两点
（1）求抛物线的解析式，并求出其开口方向和对称轴
（2）用配方法求出该抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y ＝2x 2+4x ﹣6，开口向上，对称轴为直线x ＝﹣1；（2）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣8）．
【解析】
【分析】
（1）将（﹣3,0）、（1,0）代入解析式求出b 、c 值即可求得解析式；再根据二次函数的性质即可得开口方向与对称轴
（2）将二次函数配方成顶点式后便可求得其顶点坐标
【详解】
解：（1）将点（﹣3，0）、（1，0）代入解析式
可得：1830b c -+=
2+b+c=0，
解得：46b c ==-，,，
则抛物线解析式为y ＝2x 2+4x ﹣6，开口向上，对称轴为直线x ＝312-+＝﹣1；
（2）∵y ＝2x 2+4x ﹣6
＝2（x 2+2x ）
＝2（x 2+2x +1﹣1）﹣6
＝2（x +1）2﹣8，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣8）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的基本性质，掌握其最基本的性质（对称轴、顶点式的求法等）是解此题关键
110．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 、C 在坐标轴上，点A 的坐标为(4，0)．点C 的坐标为(0，3)．将矩形OABC 绕点O 逆时针旋转得到矩形OEFG ，点B 的对应点F 恰好落在y 轴正半轴上．将矩形OEFG 沿y 轴向下平移，当点E 到达x 轴上时，运动停止．设平移的距离为m ，两矩形重叠面积为S ．
（1）求点E 的坐标；
（2）求S 与m 的函数关系式，并直接写出m 的取值范围．
【答案】（1）点E 的坐标1216,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）S ＝2225810(02)243336(25)8m m m m m ⎧-++<≤⎪⎪⎨⎪-<≤⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）过E 作EH ⊥x 轴于H ，根据已知条件得到OA ＝4，OC ＝3，根据旋转的性质得到OE ＝OA ＝4，EF ＝OC ＝3，根据勾股定理即可得到结论；
（2）分两种情况讨论即可．
【详解】
解：（1）过E 作EH ⊥x 轴于H ，
∵点A 的坐标为（4，0）．点C 的坐标为（0，3），
∴OA ＝4，OC ＝3，
∵将矩形OABC 绕点O 逆时针旋转得到矩形OEFG ，
∴OE ＝OA ＝4，EF ＝OC ＝3，
∴OF
5，
∴EH ＝345
⨯＝125， ∴OH
＝165， ∴点E 的坐标：1216,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
； （2）如图2，当F '在BC 上方时，即m 2≤时，
6EFO S =，
∵EF F K '
∴C F K OFE ∠=∠'
∵FEO F CK ∠∠'= ∴()()22229F CK FEO F C m S S EF ''-==， ∴()()
22222693F CK m m S '-⨯-=⨯=，
同理可得出，
238
O OL S m '=，
∴()
22222325810S 6382433
m m m m ⨯-=--=-++； 如图（3）当F '在线段CO 上时，即2m 5<≤时， ∵23
8O OL S m '=， ∴2
3S 68m =-，
∴S=22
25810
(02)
243336(25)
8m m m m m ⎧-++<≤⎪⎪⎨⎪-<≤⎪⎩．
【点睛】
本题是一道关于矩形旋转的题目，注意用到的知识点是矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，二次函数解析式，理解题意，综合利用以上知识点是解此题的关键．。