2020-2021高中数学第四册教师用书：11.1.1空间几何体与斜二测画法含解析

2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：11.1.1空间几何体与斜二测画法
含解析
第十一章立体几何初步
11．1空间几何体
11．1。

1空间几何体与斜二测画法
[课程目标］1。

了解空间几何体的表示形式，进一步提高对空间几何体结构特征的认识；2.理解并掌握用斜二测画法画直观图；3。

掌握斜二测画法的规则．
知识点一空间几何体
[填一填]
如果我们只考虑一个物体占有的空间的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体．
[答一答]
1．空间几何体的本质是什么？
提示:（1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．
(2）数学上的几何体是一个抽象的概念，研究它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等．
知识点二平面图形直观图的斜二测画法
［填一填]
(1)立体几何中，用来表示空间图形的平面图形,称为空间图形的直观图．
(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：
①画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。

画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′＝45°（或135°)，它们确定的平面表示水平面．
②画线:已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
③取长度:已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段,长度为原来长度的一半．
④成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线．
［答一答]
2．斜二测画法中“斜"和“二测”分别指什么?
提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．
3．相等的角或线段在直观图中仍然相等吗?
提示:不一定相等，如正方形的边长和内角分别相等,但是它的直观图是平行四边形，相邻两边边长不相等,相邻两内角也不相等．
知识点三空间几何体直观图的画法
[填一填］
（1)在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y 轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴）．(2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴,且z′轴垂直于x′轴．
图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行（或重合）的线段，且长度不变．
连接有关线段．
(3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除)．
[答一答]
4．画直观图时，如何区别实线和虚线？
提示:直观图是一个平面图形，我们用它表示空间图形，为了增强空间感,画图要分实线和虚线，其中被面挡住的部分要画成虚线．看得见的部分要画成实线．
5．空间几何体的直观图唯一吗?
提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同．
1．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行
的线段上,这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上,确定这类顶点一般过此点作与轴平行的直线，将此点转到与轴平行的线段上来．
2．要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中建立平面直角坐标系，尽量利用原有线段或图形的对称轴画坐标轴，图形的对称中心作为坐标原点,让尽可能多的顶点在坐标轴上．
类型一水平放置的平面图形直观图的画法
［例1]画出水平放置的正五边形的直观图．
[分析]用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，首先要在平面图形上建立平面直角坐标系，坐标系建立的是否恰当，会直接影响到图形的直观性．一般地，要充分利用图形的特征（如对称性)来建立坐标系．
[解]画法：(1)如图（a）所示，在已知正五边形ABCDE中,取中心O为原点，对称轴F A为y轴，过点O与y轴垂直的直线为x轴，分别过B、E作GB∥y轴，HE∥y轴,与x轴分别交于点G、H.
（2）如图（b）所示，以点O′为中点，画对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°。

在x′轴上取G′H′＝GH,分别过点G′、H′在x′轴的上方作G′B′∥y′轴，使G′B′＝错误!GB；作H′E′∥y′轴,使H′E′＝错误! HE；在y′轴的点O′上方取O′A′＝错误!OA，在点O′下方取O′F′＝错误! OF，并且以点F′为中心,作C′D′∥x′轴，且使C′D′＝CD.
（3)连接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′，并加以整理，所得五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图,如图(c)所示．
用斜二测画法画直观图时,抓住“一斜二测”.一斜指轴成45°或135°，二测指已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，即横不变；已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，即纵减半,在作图时要注意在原图上建立恰当的直角坐标系，以使整个作图变得简便。

［变式训练1]画出如图水平放置的直角梯形的直观图．
解：(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x 轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示．(2）在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝错误!OD，过点D′作x轴的平行线l,在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC。

连接B′C′。

如图(2)所示．
（3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图（3）所示．
类型二空间几何体直观图的画法
[例2]用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD。

A′B′C′D′的直观图．
[解］画法:(1）画轴．如图（1），画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O，使∠xOy＝45°,∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN,使MN＝2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1 cm。

分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B,C，D,四边形ABCD就是正方体的底面ABCD。

（3)画侧棱．过A，B，C,D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4）成图．顺次连接A′,B′，C′,D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线）,就得到正方体的直观图（如图（2）)．
利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则:①画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感,被挡住的部分通常用虚线表示．②画法规
则可简记为:两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变,平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．③画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴．
［变式训练2]画水平放置的圆锥的直观图．
解：画法：（1）画轴：如图，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz＝90°；
(2）画圆锥的底面:在x轴上以O为中点取直径AB，过AB画适当椭圆作底面；
（3）画圆锥的顶点：在Oz上截取点P，使得PO等于圆锥的高；
（4)成图:连接P A、PB,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得圆锥的直观图．
类型三直观图的还原与计算
[例3]如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝错误!C1D1＝2,A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．
［解]如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2。

在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC,即得到了原图形．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3,直角腰的长度AD＝2，
所以面积S＝错误!×2＝5。

1。

由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可。

[变式训练3]（1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO 的面积是(C）
A。

错误! B.错误!
C.错误!D．2错误!
解析：因为题图中等腰直角三角形直角边长为1,因此面积为
错误!,又直观图与原平面图形面积比为错误!4，所以原图形的面积为错误!，故选C.
（2)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm,C′D′＝2 cm，则原图形是菱形．（填四边形的形状)．
解析:如图所示，在原图形OABC中,应有OA＝O′A′＝6 cm，OD＝2O′D′＝2×2错误!＝4错误!cm,CD＝C′D′＝2 cm，∴OC＝错误!＝错误!＝6(cm），∴OA＝OC，又CB綉OA，故四边形OABC是菱形．
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为（D）
A．90°，90°B．45°，90°
C．135°，90°D．45°或135°，90°
解析：根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°。

2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确
的是图中的（C)
解析：正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为21。

3．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(C)
解析：在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的错误!，并注意到∠xOy＝∠90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C。

4．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为5错误!cm2.
解析：该矩形直观图的面积为错误!×5×4＝5错误!.
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