2018-2019学年宁夏石嘴山市平罗中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2018-2019学年宁夏石嘴山市平罗中学高一上学期期中
数学试题
一、单选题
1． 设集合{}213A x x ＜=+，{}
32B x x =-＜＜，则A B I 等于 （ ） A ．{}
31x x -<< B ．{}
12x x <<
C ．{}
3x x >-
D ．{}
1x x <
【答案】A
【解析】先化简集合A ，再根据并集的定义，求出A ∪B 【详解】
A ＝{x |2x +1＜3}＝{x |x ＜1}，
B ＝{x |﹣3＜x ＜2}， ∴A ∩B ＝{x |﹣3＜x ＜1} 故选：A ． 【点睛】
本题考查交集及其运算，解题的关键是理解交集的定义，熟练掌握交的运算求交集． 2．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．7个 B ．5个
C ．3个
D ．8个
【答案】A
【解析】根据集合的补集判断集合的个数，进而求得集合的真子集个数． 【详解】
由题可知，集合A 有三个元素．所以A 的真子集个数为：32-1=7个．选A 【点睛】
集合中子集的个数为2n ，真子集的个数为2n -1，非空真子集的个数为2n -2 3．下列各组函数中()f x 和()g x 表示相同的函数的是（ ）.
A ．2()lg f x x =，()2lg g x x =
B ．()f x x =，()g x =
C ．()1(f x x R =∈且0x ≠)，()||
x
g x x = D ．()f x x =，()g x =【答案】D
【解析】判断两函数是否定义域相同且解析式一样，即可得解.
解：A ．2()f x lgx =的定义域为{|0}x x ≠，()2g x lgx =的定义域为{|0}x x >，定义域不同，不是相同函数；
2.(),()||B f x x g x x x ===，解析式不同，不是相同函数；
C ．()1(f x x R =∈且0)x ≠，1
0()10
x x g x x x >⎧=
=⎨-<⎩，解析式不同，不是相同函数； D ．()f x x =的定义域为R ，33()g x x x ==的定义域为R ，解析式和定义域都相同，是相同函数． 故选：D ． 【点睛】
考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同． 4．函数
的定义域为（ ）
A ．[，3）∪（3，+∞）
B ．（-∞，3）∪（3，+∞）
C ．[，+∞）
D ．（3，+∞） 【答案】A
【解析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】 因为函数，
解得且
；
函数的定义域为
, 故选A ．
【点睛】
定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域由不等式
求出.
5．下列函数中，是偶函数，且在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）. A ．3y x =- B ．24y x =-+
C ．1
y x
=
D ．||y x =
【答案】D
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
解：根据题意，依次分析选项：
对于A ，3y x =-，是一次函数，为非奇非偶函数，不符合题意，
对于B ，2
4y x =-+，为二次函数，是偶函数，但在区间(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于C ，1
y x
=
为反比例函数，是奇函数，不符合题意； 对于D ，,0,0x x y x x x ⎧==⎨-<⎩
…
，为偶函数，且在区间(0,)+∞上为增函数，符合题意；
故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性、奇偶性，属于基础题．
6．设，
，则 （ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】先分析得到，再比较b,c 的大小关系得解.
【详解】 由题得
.
,
所以.
故选：D 【点睛】
本题主要考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7．已知函数()()()
2log 030x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是 （ ） A ．9 B ．9-
C ．
1
9
D ．19
-
【解析】根据分段函数的解析式，求得1
()24
f =-，进而求解
14f f ⎡⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的值，得到答案。

【详解】
104>Q
，则211
()log 244
f ==-， 又20-<Q ，则2
11=(2)349f f f -⎡⎤⎛⎫-== ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦
， 故答案选C 【点睛】
本题考查分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解。

8．函数()2
23f x x x =--+在[]5,2-上的最小值和最大值分别为（ ）.
A ．-12，5
B ．-12，4
C ．-12，-4
D ．-14，6
【答案】B
【解析】根据题意求出函数2
()23f x x x =--+的对称轴为1x =-，开口朝下，判断对称轴[]5,21x -=-∈内． 【详解】
解：函数2
()23f x x x =--+的对称轴为1x =-，开口朝下
对称轴[]5,21x -=-∈内，
()f x ∴在1x =-处取得最大值为(1)4f -=，
()f x 在5x =-处取得最小值为(5)12f -=-，
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，函数图形特征，属于基础题．
9． log a
2
13<，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，23）U （1，+∞） B ．（2
3
，+∞）
C ．（2
,13
） D ．（0，23）U （23，+∞）
【解析】log a 213<101
22log log 10223333
a a
a a a a a a a ><<⎧⎧⎪⎪
⇒⇒⇒<<⎨⎨<>⎪⎪⎩⎩或或 ，选A.
点睛：在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论．
10．若()()2
212f x x a x =+-+在区间（4，+∞）上是增函数，那么实数的取值
范围是 ( ) A ．3a >- B ．3a ≥- C ．[1,2] D ．3
[,2]2
-
【答案】B
【解析】二次函数f （x ）=x 2+2（a-1）x+2是开口向上的二次函数， 对称轴为x=1-a ，
∴二次函数f （x ）=x 2+2（a-1）x+2在[1-a ，+∞）上是增函数， ∵在区间（4，+∞）上是增函数， ∴1-a≤4， 解得：a≥-3． 故选B ．
11．函数()()
2
ln 1f x x 的图像大致是=+（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】【详解】
由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A. 【考点定位】
12．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在()0,∞+内是减函数，又(2)0f -=，
则不等式
()
0f x x
<的解集为（ ） A ．(2,0)(2,)-+∞U B ．(,2)(0,2)-∞-⋃ C ．(2,0)(0,2)-U D ．(,2)(2,)-∞-+∞U
【答案】D
【解析】根据函数的单调性和奇偶性画出()f x 的草图，由此求得()
0f x x
<的解集. 【详解】
由于函数为定义在R 上的奇函数，其在()0,∞+上递减，()20f -=，所以函数在
(),0-∞上递减，且()20f =，而()00f =，由此画出()f x 的图像如下图所示.不等
()
0f x x
<等价于()()00x f x x ⋅<≠，也即是x 和对应的函数值异号，由图像可知，原不等式的解集为(,2)(2,)-∞-+∞U . 故选：D.
本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
二、填空题
13．423log 16log 3.log 2-____________. 【答案】1
【解析】利用对数运算性质、换底公式即可得出． 【详解】
解：423log 16log 3.log 2-=2
423log 4log 3log 2⋅-32
221123
lg lg lg lg =-
⋅=-=． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了对数运算性质、换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．函数33x y a -=+恒过定点________ 【答案】（3,4）.
【解析】当x ＝3时，f(3)＝a 3－3＋3＝4，∴f(x)必过定点(3，4)． 15．已知幂函数2
26
()(57)m f x m m x -=-+在区间(0,)+∞上单调递增，则实数m 的值
为__________． 【答案】3.
【解析】分析：利用2571m m -+=求得m 的值，利用区间()0,+∞上单调递增验证排除即可.
详解：由函数()()
22
6
57m f x m m x
-=-+为幂函数，
故有2571m m -+=，
又幂函数在区间()0,+∞单调递增，故有260m ->， 所以3m =．
故本题正确答案为3．
点睛：本题主要考查幂函数的定义域性质，意在考查综合可用所学知识解决问题的能力，所以简单题.
,x []
x [][]3.143-1.082==，，
函数[](),f x x x =-则下列命题正确中的是__________ （1）函数()f x 的最大值为1； （2）函数()f x 是增函数； （3）方程1
()02
f x -
=有无数个根； （4）函数()f x 的最小值为0. 【答案】③④
【解析】先理解函数f （x ）＝x ﹣[x ]的含义，再针对选项对该函数的最值、单调性以及周期性进行分析、判断正误即可． 【详解】
解：对于①，由题意可知f （x ）＝x ﹣[x ]∈[0，1），∴函数f （x ）无最大值，①错误； 对于④，由f （x ）的值域为[0，1），∴函数f （x ）的最小值为0，④正确； 对于③，函数f （x ）每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数， 所以方程f （x ）1
02
-
=有无数个根，③正确； 对于②，函数f （x ）在定义域R 上是周期函数，不是增函数，②错误； 综上，正确的命题序号是③④． 故答案为：③④． 【点睛】
本题考查新定义的函数性质与应用问题，也考查了分析问题与解答问题能力，是中档题．
三、解答题
17．计算下列各式的值:
（1）1
22
23
0983( 2.5)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；
（2）4log 2
35log 81lg 20lg 54log 1++++.
【答案】(1)
12
；（2）8 【解析】（1）利用指数运算性质即可得出． （2）利用对数运算性质即可得出． 【详解】
解：（1）1
22
2
3
0983( 2.5)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12231(2)
2
3
3221233⨯
⨯
-⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
3441299
=
--+ 12
=
． （2）4log 2
35log 81lg 20lg 54log 1++++
()43log 3lg 20520=+⨯++
410020lg =+++
8=．
【点睛】
本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18．已知全集U =R ，集合{A=4x x <-，或}1x >，{}
312B x x =-≤-≤， （1）求A B I ､()U A B U ð；
（2）若集合{}
2121M x k x k =-≤≤+是集合B 的子集，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）{}|13A B x x =<I …，(){|43}U A B x x =-U 剟ð；（2）1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
. 【解析】（1）求出集合B 的等价条件，结合补集，交集，并集的定义进行求解即可． （2）结合子集定义转化为不等式关系进行求解． 【详解】
解：（1）∵{
A=4x x <-，或}1x >，{|312}B x x =--剟
， {}|23B x x ∴=-剟，
{}|13A B x x ∴=<I …，{|41}U A x x =-剟ð， 则(){|43}U A B x x =-U 剟
ð； （2）若集合{|2121}M x k x k =-+剟
是集合B 的子集 因为()21212k k +--=，故集合M 蛊
则213212k k +⎧⎨--⎩……得1
12k k ⎧⎪⎨-⎪⎩
……，得1
12k -剟，即实数k 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．
本题主要考查集合的基本运算，结合子集的关系进行转化是解决本题的关键． 19．已知函数()31log 1x
f x x
+=-. （1）求函数的定义域.
（2）判断函数()f x 的奇偶性，并证明. 【答案】（1）()1,1-；（2）奇函数，证明见解析. 【解析】（1）根据题意，由函数的解析式可得101x
x
+>-，解可得x 的取值范围，即可得答案；
（2）根据题意，分析函数的定义域可得其定义域关于原点对称，又由3
311()log log ()11x x
f x f x x x
-+-==-=-+-，分析可得结论． 【详解】
解：（1）根据题意，31()log 1x f x x
+=-，必有101x
x +>-， 解可得：11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-； （2）函数()f x 为奇函数， 证明：31()log 1x
f x x
+=-，其定义域为()1,1-，关于原点对称， 且3
311()log log ()11x x
f x f x x x
-+-==-=-+-， 则函数()f x 为奇函数． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性的判断以及函数定义域的计算，关键是掌握对数函数的性质，属于基础题．
20．已知函数()||,()f x x x m x R =-∈，且(1)0f =.
（2）在如图给定的直角坐标系内作出函数()f x 的草图(不用列表)，并由图象写出函数()f x 的单调区间｡（注:每一格代表一个单位）.
【答案】（1）1m =，()22(1)(1)
x x x f x x x x ⎧-=⎨-+<⎩…，（2）图象见解析，单调递增区间：1,2⎛⎤-∞
⎥⎝⎦，[)1,+∞，单调递减区间：1
,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． 【解析】（1）根据条件()10f =，求m 的值即可，从而写出函数()f x 的解析式． （2）根据函数解析式作出函数图象，根据函数图象判断函数的单调区间即可．
【详解】
解：（1）()10f =Q ，()||,()f x x x m x R =-∈
|1|0m ∴-=， 即1m =；
22(1)()1(1)
x x x f x x x x x x ⎧-∴=-=⎨-+<⎩…．
（2）22(1)()1(1)
x x x f x x x x x x ⎧-=-=⎨-+<⎩Q … 作出函数图象如图：
由函数图象可得函数的单调区间：
单调递增区间：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦，[)1,+∞ 单调递减区间：1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．
【点睛】
本题主要考查分段函数的应用，考查学生的视图和用图能力，属于基础题． 21．已知函数()21ax b f x x +=
+是定义在[]1,1-上的奇函数，且1(1)2f =， （1）确定,a b 的值｡
（2）用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；
（3）解不等式()()10f t f t -+<.
【答案】（1）1a =，0b =；（2）证明见解析；（3）10,
2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）由(0)0f =，解得b 的值，再根据1(1)2f =
，解得a 的值，从而求得()f x 的解析式．
（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.
（3）由不等式(1)()0f t f t -+<，可得(1)()f t f t -<-，可得关于t 的不等式组，由此求得t 的范围
【详解】
解：（1）因为函数()21ax b f x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且1(1)2
f =， 依题意得()()00112f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，
即2
0101112b a b ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
，得10a b =⎧⎨=⎩， 2()1x f x x
∴=+； （2）证明：任取1211x x -<<<，
则
12()()f x f x - 1222
1211x x x x =-++ 12122212()(1)(1)(1)
x x x x x x --=++， 1211x x -<<<Q
∴120x x -<，2110x +>，2210x +>
又1211x x -<<Q ，
1210x x ∴->，
12()()0f x f x ∴-<，
()f x ∴在(1,1)-上是增函数；
（3）(1)()()f t f t f t -<-=-，
()f x Q 在(1,1)-上是增函数，
111111t t t t -<<⎧⎪∴-<-⎨⎪-<-<⎩
， 解得：102t <<
． 即10,2t ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题．
22．已知函数()()log 1x a f x a =-（01a a >≠且）.
（1）当1a >时，求关于x 的不等式()()1f x f <的解集；
（2）当2a =时，若不等式()2()log 12
x f x m -+>对任意[]13
x ∈，恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}
01x x << （2）()2log 3-∞-，
【解析】（1）由1a >，利用复合函数单调性法则，判断()f x 单调性，进而求解不等式；
（2）由2a =，化简不等式，取新函数()g x ，()g x m >对任意[]13x ∈，恒成立，转化
为min ()g x m >，即可求解m 取值范围.
【详解】
（1）当1a >时，则函数()f x 定义域：令10x a ->，(0,)x ∴∈+∞
()()log 1x a f x a =-，令1x t a =-，则log a y t =
外层函数单调递增，内层函数单调递增，则函数()f x 单调递增，
()()1f x f <，01x ∴<<
则不等式()()1f x f <的解集是{}01x x <<
（2）当2a =时，令()222g(x)=()log 12=log (21)log (12)x x x f x -+--+
221g(x)=log 21
x x -∴+22=log (1)21x -+ ()g x 在[]13x ∈，上单调递增，
因()g x m >对任意[]13x ∈，恒成立
min ()g x m ∴>，2log 3m ∴<-
所以m 取值范围()2log 3-∞-，
【点睛】
（1）利用单调性解不等式，函数单调递增，若12()()f x f x <，则12x x < （2）函数恒成立问题，当()g x m >恒成立，只需保证min ()g x m >即可.。