高考数学压轴专题《平面向量及其应用》难题汇编百度文库

一、多选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A ．对于向量,,a b c ，有()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅
B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底
C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件
D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则
0λμ+=
2．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点
时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．4,33⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()2,3
D ．8
,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
3．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且
AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1A
B CE ⋅=- B ．0OE O
C +=
C ．3OA OB OC ++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为
76
4．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b
C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立
D ．在ABC 中，
sin sin sin +=+a b c
A B C
5．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）
A ．
B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解
C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解
D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解
6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A ．已知A 、
B 、
C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=
D ．已知()1
2a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ<
7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =
30A =︒，则B =（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．135︒
D ．150︒
8．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥
B ．2a b +=
C ．2a b -=
D ．,60a b =︒
9．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同
D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上
10．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)-
B ．(6,15)
C ．(2,3)-
D ．(2,3)
11．（多选题）下列命题中，正确的是（ ） A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+； B ．若0a b ⋅=，则00a b ==或； C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ⋅≤ D ．若,a b 共线，则||||a b a b ⋅=±
12．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=
B ．a b ⊥
C ．()
4a b b +⊥
D ．1a b ⋅=-
13．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
14．下列说法中错误的是( )
A ．向量A
B 与CD 是共线向量,则A ，B ，
C ，
D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =
D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 15．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+- C ．OA OD AD -+
D ．NQ QP MN MP ++-
二、平面向量及其应用选择题
16．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足1
2
BD DC =
，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）
A ．m n +是定值，定值为2
B ．2m n +是定值，定值为3
C ．
11m n +是定值，定值为2 D ．21m n
+是定值，定值为3 17．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若
lg lg lg sin lg 2a c B -==-，且0,2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则ABC 的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
18．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()
20BC OB OC OA ⋅+-=，则
ABC 一定为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
19．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
20．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为
S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）
A ．43
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
21．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且
27
sin BAD ∠=
，则CD 等于（ ）
A 23
B 3
C 33
D 43
22．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin
sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫
⎪=++ ⎪⎝⎭
，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心
B ．内心
C ．外心
D ．垂心
23．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC =（ ）
A ．500米
B ．1500米
C ．1200米
D ．1000米
24．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230
OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．不能确定
25．已知向量(2
2cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数
()y f x =的性质的描述正确的是( )
A ．关于直线12
x π
=对称
B ．关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．周期为2π
D ．()y f x =在,03π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是增函数
26．题目文件丢失！
27．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．
3
π
B ．
23
π C ．
56
π D ．
6
π 28．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －
12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋1
2
b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
29．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若
(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）
A ．316
- B ．
316 C ．
12
D ．12
-
30．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）
①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且
()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则
ABC ∆为锐角三角形．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
31．在ABC ∆中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ） A ．
73
B ．
27
3
C ．2
D 21 32．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2
A A
B
C C A B +-+=--+
，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +>C ．612abc ≤≤
D ．1224abc ≤≤
33．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()
20c a c b ⋅--=，则b c ⋅的最大值为（ ） A ．
5
4
B ．2
C ．
174
D ．4
34．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2a
B c
=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
35．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ） A 7B ．3
C 11
D 19
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、多选题 1．BCD 【分析】
．向量数量积不满足结合律进行判断 ．判断两个向量是否共线即可 ．结合向量数量积与夹角关系进行判断 ．根据向量线性运算进行判断 【详解】
解：．向量数量积不满足结合律，故错误， ．， 解析：BCD 【分析】
A ．向量数量积不满足结合律进行判断
B ．判断两个向量是否共线即可
C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断
D ．根据向量线性运算进行判断 【详解】
解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，
B ．
12
57
-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，
C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180︒，此时0m n <成立，
当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ︒<︒，则m 与n 不一定反向共线，即“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件成立，故C 正确，
D ．由23CD CB =得22
33
CD AB AC =-，
则23λ=
，23
μ=-，则22
033λμ+=-=，故D 正确
故正确的是BCD ， 故选：BCD ． 【点睛】
本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．
2．AD 【分析】
设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设，则，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：
解析：AD 【分析】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ， 当点P 靠近点1P 时，121
2
PP
PP =， 则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，
解得432
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以4,23P ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 当点P 靠近点2P 时，122PP PP =， 则()()24124x x y y ⎧=-⎪
⎨
-=-⎪⎩
，
解得833
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 故选：AD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，
解析：BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，123
(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -， 设123
(0,),3),(1,),(,3
O y y BO y DO y ∈==-，BO ∥DO ， 所以2313y y =-，解得：3
2
y =
， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；
3
22
OA OB OC OE OC OE ++=+==
，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；
1
(,33
ED =，(1,BC =，
ED 在BC 方向上的投影为12
7326BC BC
ED +⋅==，所以选项D 正确.
故选：BCD 【点睛】
此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.
4．ACD 【分析】
对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中
解析：ACD 【分析】
对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R C
R B C
+=+＝左边，故该选项正确.
【详解】
对于A ，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；
对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2
π
，∴a ＝b 或a 2+b 2
＝c 2，故该选项错误；
对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；
对于D ，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C
R B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.
故选：ACD. 【点睛】
本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5．ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于，因为为锐角且，所以三角
解析：ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当
sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；
对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.9c B b c ===<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；
对于C ，因为B 为锐角且 sin 432
c B b =⨯=>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；
对于D ，因为B 为锐角且sin 42c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.
6．AC 【分析】
根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】
解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共
解析：AC 【分析】
根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】
解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以
A 、
B 、
C 共线，即A 正确；
由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；
设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而
2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；
()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a 与b 不能共线，即4λ≠-，所以()
(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；
故选：AC ．
【点睛】
本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题． 7．BC
【分析】
用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.
【详解】
解：根据正弦定理得： ，
由于，所以或.
故选：BC.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.
解析：BC
【分析】
用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项.
【详解】 解：根据正弦定理sin sin a b A B =得：
1sin 2sin 1b A B a ===，
由于1b a =
>=，所以45B =或135B =.
故选：BC.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题. 8．AC
【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.
【详解】
，且,平方得，即，可得，故A 正确；
，可得，故B 错误；
，可得，故C 正确；
由可得，故D 错误;
故选：AC
【点睛】
解析：AC
【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.
【详解】
1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A 正确；
()
22222a b a b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()2
2222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确； 由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误;
故选：AC 【点睛】 本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题. 9．C
【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简； 对C ，根据向量相等的定义判断；
对D ，根据向量共线的定义判断.
【详解】
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A
解析：C
【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简a b a b +=+；
对C ，根据向量相等的定义判断；
对D ，根据向量共线的定义判断.
【详解】
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；
B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=，
则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b
方向不一定相同，B 错误；
C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；
D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误.
故选：C
【点睛】
本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.
10．ABC
【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.
【详解】
第四个顶点为，
当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为；
当时，，
解得
解析：ABC
【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.
【详解】
第四个顶点为(,)D x y ，
当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，
解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；
当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，
解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；
当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，
解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．
∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．
故选:ABC .
【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.
11．ACD
【分析】
利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；
当时，，故选项B 错误；
因为，故选项C 正确；
当共线同向时，，
当共线反
解析：ACD
【分析】
利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；
当a b ⊥时，0a b ⋅=，故选项B 错误； 因为||cos ||||a b a b a b θ⋅=≤，故选项C 正确；
当,a b 共线同向时，||||cos 0||||a b a b a b ⋅==，
当,a b 共线反向时，||||cos180||||a b a b a b ⋅=︒=-，所以选项D 正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.
12．CD 【分析】 分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】 分析知，，与的夹角是.
由，故B 错误，D 正确； 由，所以，故A 错误；
由，所以，故C 正确.
故选：CD 【点睛】
解析：CD 【分析】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.
由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；
由()222
21243a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；
由()()2144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()
4a b b +⊥，故C 正确. 故选：CD
【点睛】
本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 13．AD
【解析】
【分析】
由条件可得，再两边平方即可得答案.
【详解】
∵P 是所在平面内一点，且，
∴，
即，
∴，
两边平方并化简得，
∴，
∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故
解析：AD
【解析】
【分析】
由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案.
【详解】
∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，
∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=，
即||||CB AC AB =+，
∴||||AB AC AC AB -=+，
两边平方并化简得0AC AB ⋅=，
∴AC AB ⊥，
∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是钝角三角形，等边三角形，
故选：AD.
【点睛】
本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.
14．AD
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B
解析：AD
【分析】
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确；
若,a b b c ==，则a c =，故C 正确；
温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误.
故选：AD
【点睛】
本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.
15．ABCD
【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可.
【详解】
;
;
;
.
故选：ABCD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
解析：ABCD
【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可.
【详解】
0AB BC CA AC CA ++=+=;
()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=;
()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;
0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
二、平面向量及其应用选择题
16．D
【分析】
过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，结合题设条件和三角形相似可得出21312AM n n n AB n n ==--+，再根据
AM mAB =可得231n m n =-，整理可得213m n +=，最后选出正确答案即可.
【详解】
如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，由AN nAC =可得1AC AN n
=，所以11AE AC EM CN n ==-，由12BD DC =可得12BM ME =，所以21312
AM n n n AB n n ==--+，因为AM mAB =，所以231n m n =
-， 整理可得213m n
+=.
故选：D .
【点睛】
本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
17．C
【分析】
化简条件可得
2sin a B c ==，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】 lg lg lg sin 2a c B -==-，
2sin 2
a B c ∴==.0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 4
B π∴=.
由正弦定理，得sin sin 2
a A c C ==，
3
sin cos sin 422C A C C C π⎫⎛⎫∴==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， 化简得cos 0C =.
()0,C π∈，
2
C π∴=， 则4A B C π
π=--=
， ∴ABC 是等腰直角三角形.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.
18．C
【分析】
由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案.
【详解】
由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，
所以()
0BC AB AC ⋅+=，
取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=.
所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥，
故AB AC =，ABC 是等腰三角形.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
19．B
【分析】
先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心.
【详解】
由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，
则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-=
即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，
即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，
则点P 为三角形ABC 的垂心.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．A
【分析】
由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan 2
C ，从而求得tan C ．
【详解】
∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22
ab C a b ab c ⨯
⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，
又222sin 2sin cos 1222
a b c ab C ab C C ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan
2242tan 1231tan 2
C
C C ⨯===---， 故选：A ．
【点睛】 本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．
21．A
【分析】
首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值.
【详解】
AB =
3==，
222cos 22AB BC AC B AB BC +-∴===⋅， 又因为角B 是三角形的内角，所以6B π
=，
90BAC ∴∠=，
sin 7BAD ∠=
，cos 7
BAD ∴∠==，
sin cos 7DAC BAD ∴∠=∠=
， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD B AD BAD ⋅=
∠， 在ADC 中，由正弦定理可得sin sin DC C AD DAC
⋅=∠，
(
)1DC DC ⨯=
，解得：DC =. 故选：A
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题
型. 22．A 【分析】
设sin sin a B b A CH ==，则()
m
CP a b CH
=+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案； 【详解】 如图，
sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =+
+，()
m
CP a b CH
=+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，
∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.
故选：A. 【点睛】
本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用. 23．D 【分析】
作出图形，过点S 作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，依题意可求得SE 在BDS ∆中利用正弦定理可求BD 的长，从而可得山顶高BC ． 【详解】
解：依题意，过S 点作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，
30SAE ∠=︒，1000AS =米，sin30500CD SE AS ∴==︒=米，
依题意，在Rt HAS ∆中，453015HAS ∠=︒-︒=︒，sin15HS AS ∴=︒， 在Rt BHS ∆中，30HBS ∠=︒，22000sin15BS HS ∴==︒，
在Rt BSD ∆中，
sin75BD BS =︒2000sin15sin75=︒︒2000sin15cos15=︒︒1000sin30=⨯︒500=米， 1000BC BD CD ∴=+=米，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题． 24．C 【分析】
根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果. 【详解】
由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ∆的外心， 又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ∆的重心， 所以点O 既是123PP P ∆的外心，又是123PP P ∆的重心， 故可判断该三角形为等边三角形， 故选：C 【点睛】
本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题. 25．D 【详解】
()
22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12
x π
=
时,sin(2)sin
163x π
π
+
=≠±,∴f (x )不关于直线12
x π
=
对称；
当512x π=时,2sin(2)116x π
++= ,∴f (x )关于点5(
,1)12
π对称； f (x )得周期22
T π
π==， 当(,0)3
x π
∈-
时,2(,)6
26x π
ππ
+
∈-
,∴f (x )在(,0)3
π
-上是增函数． 本题选择D 选项.
26．无
27．D 【分析】
根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可． 【详解】
∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得2
2
a b
a b +=-，即2222
||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ，
则0a b ⋅=，由2a b b +=，
平方得2
2
2
||24||a b a b b ++⋅=，得2
2
3a b =，即3a b =则2a b b +=，
22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），
则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||3
223a b a b cos a b a b b
θ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6
π
θπθ≤≤∴=
， ，
故选D. 【点睛】
本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 28．D 【分析】
本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案． 【详解】
①如图可知AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋12CB ＝－CA －1
2
BC ＝－b －
1
2
a ，故①正确． ②BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋1
2
CA ＝a ＋
1
2
b ，故②正确． ③CF ＝CA ＋AE ＝CA ＋12AB ＝b ＋1
2
(－a －b ) ＝－
12a ＋1
2
b ，故③正确． ④AD ＋BE ＋CF ＝－DA ＋BE ＋CF ＝－(DC ＋CA )＋BE ＋CF
＝－(
12a ＋b )＋a ＋12b －12a ＋1
2b ＝0，故④正确． 故选D. 【点睛】
本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量． 29．A 【分析】
利用平面向量的线性运算，将DE 用AB 和AD 表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出
λμ⋅的值.
【详解】
E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()
111
244
AE AO AC AB AD ===+， ()
113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=
+-=-，1
4λ∴=，34
μ=-.
因此，133
4416
λμ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】
本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题. 30．B 【解析】 【分析】
利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数. 【详解】
逐一考查所给的命题：
①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误； ②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确； ③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=， 即()0CB AB AC ⋅+=； 又因为AB AC CB -=， 所以()()0AB AC AB AC -⋅+=， 即||||AB AC =，
所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；
④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误． 综上可得，正确的命题个数为2.
故选：B . 【点睛】
本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 31．C 【分析】 化简得到2
2
AM AB AC λ
μ
=+
，根据1AM =得到221λμλμ+-=，得到λμ+的最大
值. 【详解】
()
1222
AM AE AF AB AC λμ
=
+=+， 故2
2
22224cos1201222AM AB AC λμλμλμλμλμ⎛⎫=+=++⨯︒=+-= ⎪⎝⎭
故()()()22
2
2
2
3134
λμλμλμλμλμλμ=+-=+-≥+-
+，故2λμ+≤. 当1λμ==时等号成立. 故选：C . 【点睛】
本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力. 32．A 【分析】
由条件()()1sin 2sin sin 2A A B C C A B +-+=--+
化简得出1sin sin sin 8
A B C =，设ABC ∆的外接圆半径为R ，根据12S ≤≤求得R 的范围，然后利用不等式的性质判断即
可.
【详解】
ABC ∆的内角A 、B
、C 满足()()1
sin 2sin sin 2
A A
B
C C A B +-+=--+， 即()()1
sin 2sin sin 2A A B C A B C +-+++-=，
即()()1
sin 2sin sin 2
A A
B
C A B C +--++-=⎡⎤⎣⎦， 即()1
2sin cos 2sin cos 2
A A A
B
C +-=，
即()()1
2sin cos 2sin cos 2
A B C A B C -++-=，
即()()1
2sin cos cos 4sin sin sin 2
A B C B C A B C --+==⎡⎤⎣⎦，
1
sin sin sin 8
A B C ∴=，
设ABC ∆的外接圆半径为R ，则
2sin sin sin a b c
R A B C
===， []2111
sin 2sin 2sin sin 1,2
224
S ab C R A R B C R ==⨯⨯⨯=∈，2R ∴≤≤
338sin sin sin abc R A B C R ⎡∴=⨯=∈⎣，C 、D 选项不一定正确；
对于A 选项，由于b c a +>，()8bc b c abc ∴+>≥，A 选项正确；
对于B 选项，()8ab a b abc +>≥，即()8ab a b +>成立，但()ab a b +>成立. 故选：A. 【点睛】
本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 33．C 【分析】
不妨设(2,0)b =，(2cos 2sin )a αα=,，[0,2]απ∈，(,)c x y =，则求c b ⋅的最大值，即求x 的最大值，然后将问题转化为关于y 的方程
22sin (cos 2)2cos 0y y x x ααα-+-++=有解的问题，最后求出x 的最值即可. 【详解】
根据题意，不妨设(2,0)b =，(2cos 2sin )a αα=,，[0,2]απ∈，(,)c x y =， 则2b c x ⋅=，所以求b c ⋅的最大值，即求x 的最大值，
由()()
20c a c b ⋅--=可得2
220c a c b c a b -⋅-⋅+⋅=， 即22sin (cos 2)2cos 0y y x x ααα-+-++=，
因为关于y 的方程有解，所以2
2
sin 44(cos 2)8cos 0x x ααα∆=-++-≥，
令cos (11)t t α=-≤≤，则22
44(2)810x x t t t -+++-≤，
所以
2222
t t x ++≤≤
，
(13)m m =≤≤2(2)17
8
m --+=
，
当2m =2(2)1717
88
m --+==，
所以178x ≤
，所以17
4
b c ⋅≤，
所以b c ⋅的最大值为174
， 故选：C. 【点睛】
思路点睛：该题考查了平面向量的数量积的问题，解题思路如下： （1）先根据题意，设出向量的坐标； （2）根据向量数量积的运算律，将其展开； （3）利用向量数量积的坐标公式求得等量关系式；
（4）利用方程有解，判别式大于等于零，得到不等关系式，利用换元法求得其最值，在解题的过程中，关键点是注意转化思想的应用，属于难题. 34．A 【分析】
利用余弦定理化角为边，得出c b ABC =， 是等腰三角形． 【详解】
ABC ∆中，c cos 2a B c =，由余弦定理得，222
2a c b cosB ac
+-=
， ∴222
22a a c b c ac +-= 220c b ∴-= ，
∴c b ABC =，是等腰三角形． 【点睛】
本题考查余弦定理的应用问题，是基础题． 35．A 【分析】
根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】
因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒，
所以2
2
2
4424697a a b b a b =-⋅+=-+=-，则27a b -=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。