高三数学下学期入学考试2月月考试题理word版本

四川省绵阳市2017届高三数学下学期入学考试（2月月考）试题 理
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知复数z
3 4i （ i 是虚数单位），则复数
1z
i
+的虚部为（） A ．
12B.72 C.12- D.12
i - 2、已知命题9:0,6;p x x x
∀≠+≥命题002:,log 1x
q x R ∃∈=-则下列判断正确的是（ ）
A ． p 是真命题B.q 是假命题
C. p (q )是真命题
D. ( p ) q 是真命题
3、“123a a a <<”是“数列{}n a 为递增数列”的（）条件 A ．充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要
D.既不充分也不必要
4、空间四边形 OABC 中 OB ＝OC 且 AOB AOC 60 ，则 cos OA , BC 的 值
为 ( )
A ．B.
1
2
C. 2
D.2
5、设、是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右两个焦点，若双曲线右支
上存在一点P ，使22()0OP OF F P +=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（
A 1
C. D.
1
2
6、15
1372275
()22,(),(),log 57
x
x
f x a b c --=-===，则()f a 、()f b 、()f c 的大小顺序是
A ．()f b <()f a <()f c B. ()f c <()f b <()f a C.()f c <()f a <()f b D.
()f b <()f c <()f a
7、已知矩形 ABCD 中AB= 6, AD =2 ,点 P 为边 AB 上一动点,则当∠DPC 最大时,线段 AP 的长为（）
A ．或B. 3或3
8、函数 f (x ) =A sin(2x )ϕ+(0,0)2
A π
ϕ<<
>部分图象如图所示，
且 f (a ) =f (b ) =0，对不同的12,x x ∈ [a , b ] ，若 f (x 1 ) =f (x 2 ) ， 有 f (12x x +) =1，则 f (x ) （ ）
A ．在5(,)66ππ-
上是增函B.在5(,)66ππ-上是减函数 C.在7(,)1212ππ上是增函D. 在7(,)1212
ππ上是减函数
9、函数 f (x ) (1)
log 1(0x a
a -+>且1)a ≠ 图象过定点 (
b , f (b )) ，则24(3)x x b -+的展开
式中 x 的系数是（ ） A ．240- B. 96- C. D.
10、△ABC 中 AB =2, AC =3, ∠BAC=，点 D 为 BC 的三等分点（靠近点 C ）即2BD DC =，则AD BC 的取值范围为 A ．240- B. 96- C. D.
11、设连续正整数的集合 I = {1, 2,3, ,119,120} ，若T 是I 的子集且满足条件：当 xT 时， 5xT ，则集合T 中元素的个数最多是（ ） A ．B. C. 100D.
12、已知2
1,01
()3,1x x x f x x --≤<⎧=⎨≥⎩
，若存在210,x x >≥使得12()()f x f x =，则12()x f x 的取值范围为（ ） A ．1[,0)4- B. 2[,0)9- C. 12[,]49-- D. 1
[,2)3
二．填空题: 本大题共 4 小题，每小题 5 分
13、过抛物线 y 2
=8x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点，交直线 x =2 于点P ，
,(,)PA AF PB BF R λμλμ==∈，则_____λμ+=。

14、若变量 x , y 满足约束条件222210
10x y x y x y ⎧+--+≤⎪⎨--≤⎪⎩，则 z =2x +y 最小值为___________。

15、三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒
∠=∠=，则异面直线
AB 1 与 BC 1 所成角的余弦值为_______。

三．解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分 12 分）绵阳农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品 种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日 的每天昼夜温度与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下数据：
绵阳农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数 据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验．
(1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率；
(2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日这两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4
日的数据，求y关于x的线性回归方程y bx a；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 1 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
18、（本小题满分 12 分）已知各项都是正数的正项数列 {a n } 满足：a1 1 ，
a n21 a n1 a n2 a n, n N，数列{
b n}的前 n 项和为 S n， S n9(13)n2, n N.
(1)求数列{a n } ，{b n } 的通项公式；
(2)设c n a n b n，n N，求数列{c n } 的前n项和T n .
19. （本小题满分 12 分）三棱锥A BCD中，BCD是正三角形，BD AC，AC BD2，
AB AD ，点 O 为 BD 中点.
(1)求证：OA面BCD；
(2)求二面角B AC D的平面角的余弦值.
20 、（本小题满分 12 分）已知椭圆C :
22
22
x y
a b
+1(a b 0) 的焦距为 2 ，点
2
Q0) 在直线l : x 3 上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，P为直线l上一动点，过点P作直线l与椭圆相切于点A，求POA 面积S的最小值.
21、（本小题满分 12 分）已知函数f (x)
1
()ln(0) a x
a x a
x a a
+-->
(1)求函数f (x) 的单调区间和极值；
(2)证明：当a[1
2
, 2] 时，函数f (x) 没有零点.（提示： ln 2 0.69 ）
请考生在22、23题中任选一题作答。

作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为2314x t
y t
=+⎧⎨=+⎩，圆 C 的极坐
标方程为)4
π
ρθ=+
(1)求直线 l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程；
(2)设曲线 C 与直线 l 交于 A , B 两点，若 P 点的直角坐标为 (2,1) ，求
PA PB -的值。

23、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数()32f x x x =-+-，记()f x 的最小值为k ， （1）解不等式 f (x ) m ；(m R ) （2）是否存在正数 a , b 同时满足：21
2,9a b k a b
+=+=？并说明理由
2017年春季高2017届 2月入学理科数学答案
一．选择题：每小题5分，共60分
二．填空题:每小题5分，共20分 13、; 14、; 156; 16、3
A π=. 三．解答题: 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）
解：（1）恰好是不相邻的2天数据的概率是2543
1.5
C -
=………………………4分 （2）由数据得：
3
1
1126133212261014i i
i x y
==⨯+⨯+⨯=∑；
1(111312)123x =++=，1
(263226)283y =++=，3312281008x y ⋅=⨯⨯=；
3
1
1
3101410086n
i i i i i i x y nx y x y x y ==∴-⋅=-⋅=-=∑∑.
3
22221
111312434i i x ==++=∑，2
23312432x =⨯=；
3
2
2
2
21
1
34344322n
i
i
i i x n x x x ==∴-⋅=-⋅=-=∑∑.
3
1
1
3
2
2
221
1
36
32
3n i i
i i
i i n
i i i i x y n x y x y x y
b x n x
x x
====-⋅⋅-⋅⋅∴=
=
=
=-⋅-⋅∑∑∑∑；283128a y bx =-=-⨯=-. 故关于的线性回归方程38y x =-.………………………10分 (3)当10x =时38310822,22231y x ∧
=-=⨯-=-≤;
当8x =时3838816,16161y x ∧
=-=⨯-=-≤,故得到的线性回归方程是可靠的． ……12分 18、（本小题满分12分） 解：（1）n a n =，2
23
n n b -=
，N n *
∈. ………………………4分
（2）2
12(),N 3
n n n n c a b n n -*=⋅=∈. 1012212342()33333n n n
T --=+++++
01221
112312()333333n n n n n T ---=+++++ 21
1112332[3]13313
n n n n T ---⋅
∴=+-- , 22723223n n n T -+∴=-⨯………………………12分 19. （本小题满分12分）
证明：（1）连结OC ，BCD ∆是正三角形，则BD OC ⊥ 又BD AC ⊥，AC
OC C =，BD ∴⊥
面AOC ，
OA ⊂面AOC ，BD OA ∴⊥，
AB AD ⊥
，点为BD 中点，2BD =.
1,OA AB AD ∴===
在AOC ∆中，1,2OA OC AC ==
=
2221(3)2+=即222OA OC AC +=，OA OC ∴⊥，
OA BD ⊥，OA OC ⊥，BD
OC O = OA ∴⊥面BCD .………………………6分
（2）法一：由（1）知,,OC OD OA 两两互相垂直，以点为原点，,,OC OD
OA 分别为,,x y z 轴
的正方向建立如图空间直角坐标系，则(0,0,1),(0,1,0),(0,1,0)A B C D -，
(CA ∴=，(1,0)CB =-，(CD =，
设平面ABC 的法向量1111(,,)n
x y z =
，则由1100n CA n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，得11
110
z y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取
1(1,n =；
设平面ADC 的法向量2222(,,)n x y z =，则由2200n CA n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，得22220
z y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
，取
1(1,3,n =； 1212121
cos ,7
||||n n n n n n ⋅∴<>=
=；
而二面角B AC D --平面角为钝角，故二面角B AC D --平面角的余弦值为1
7
-
.…12分 法二：BAC DAC ∆≅∆，过点作
BM AC ⊥交AC 于点，连结MD ，则B M D ∠为B AC D --平面角
.设AB 中点，2CN =
，由AB CN
AC BM ⋅=⋅得2
BM =， 在BMD ∆中，22BM DM BD ==
=，由余弦定理得1cos 7
BMD ∠=-. 故二面角B AC D --平面角的余弦值为1
7
-.………………………12分 20、（本小题满分12分）
解：（1）椭圆2222:1(
0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，1c ∴=，又点2
Q 在直线:3
l x =上，2
3a ∴=，2
2b ∴=.故椭圆的标准方程是22
132
x y +=.………………………4分 （2）由题意直线的斜率存在,设直线的方程为y kx m =+,设0(3,)P y ,11(,)A x y .
由22
236
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(23)6360k x kmx m +++-=,相切22
24(23)0k m ∆=+-= 2223k m ∴+=,且1122
32,23
23km m
x y k k
-=
=++，03y k m =+. 则||
OP =
又OP 方程:03y y x =
,点到直线OP 的距离d =
01111|||3|22OPA S OP d y x y ∆∴=
=-22
132|(3)3|22323km m k m k k -=+⨯-⨯++ 223(32)||223m k km k ++=+223()3
||||2
2
m m km k m m +===+ 2223k m +=,m ∴=
当m =
,OPA S ∆3
|2
k =,||k >>，0k >,
OPA S ∆∴3
(2
k =
+
令3()(
2f k k =()k R ∈，则33()(122f k '==
由()0f k '=得k =,()f k 在(,k ∈-∞上单减,在()k ∈+∞单增,
min ()(f k f ∴==即当的斜率为,POA ∆
同理当m =,OPA S ∆3
(2
k =-+，
当的斜率为3时,POA ∆面积的最小值
综上：POA ∆………………………12分 21、（本小题满分12分）
解：（1）22
11()()ln [(1)ln ]a x a f x a x x a x x a a a x =+--=+--，所以22
(1)()'()x x a f x ax
+-=.（0x >）
所以当2
(0,)x a ∈时'()0f x <，当2
(,)x a ∈+∞时'()0f x >. 所以函数()f x 的单调递增区间为2
(,)a +∞，单调减区间为2
(0,)a .
当2
x a =时，()f x 取得极小值2
2
221()[1(1)ln ]f a a a a a
=
+--.………………………5分 （2）法一：由（1）：当2x a =时()f x 取得极小值,亦即最小值.2222
1()[1(1)ln ]f a a a a a
=+--，
又122a ≤≤，所以2
144
a ≤≤． 设1()1(1)ln (4)4g x x x x x =+--≤≤，则1'()l n g x x x =-，2
1()0x
g x x --''=<，所以'()g x 在
1
[,4]4
上单调递减，且'(1)0g >，'(2)ln 0g =，所以'()g x 有唯一零点(1,2)m ∈，使得
()g x 在1[,)4m 上单增，在(,4]m 上单减，又由于156ln 2()044
g -=>，(4)56ln 20g =->,所以()0g x >恒成立.从而22221()[1(1)ln ]0f a a a a a
=+-->恒成立，则()0f x >恒成立. 所以当1[,2]2
a ∈时，函数()f x 没有零点.………………………12分 法二：当2x a =时()f x 取得极小值,亦即最小值.2221()[12(1)ln ]f a a a a a
=+--，（122
a ≤≤） 设221()12(1)ln (2)2g x x x x x =+--≤≤，则1'()2(2ln )g x x x x
=-，21()2(2ln 2)g x x x ''=---，3(1)(1)()4x x g x x
+-'''=⨯，所以()g x ''在1[,1)2上单调递减，在(1,2]上单调递增，又(1)60g ''=-<，
所以()g x '在1
[,2]2上单调递减，而(1)20g '=>，1(2)2(4ln 2)02
g '=-<，故0(1,2)x ∃∈使0()0g x '=且()g x 在01[,)2x 上单调递增，在0(,2]x 上单调递减，又156ln 2()024
g -=>且(2)56ln 20g =->，所以()0g x >恒成立.从而22221()[1(1)ln ]0f a a a a a
=+-->恒成立，则()0f x >恒成立. 综上：当1[,2]2
a ∈时，函数()f x 没有零点. ………………………12分 22、（本小题满分10分）
解：（1）直线方程：4533
y x =-；圆的直角坐标方程：22440x y x y +--=或写成22(2)(2)8x y -+-=.………………………5分
（2）点(2,1)P 在直线上，且在圆内，把2314x t y t =+⎧⎨=+⎩化成标准参数方程325415x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，将325415x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入22440x y x y +--=得28
705t t --=，设两实根为12,t t ，则12128,70,5
t t t t +==-<即12,t t 异号，所以12228||||||||.5
PA PB t t t t -=-=+=…………10分 23、（本小题满分10分）
解：（1）25(3)()321(23)52(2)x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-<⎩
，
当1m >时，()f x m <解为55(,)22
m m -+；当1m ≤时，()f x m <解为.…………5分 （2）()32|(3)(2)|1f x x x x x =-+-≥-+-=，当且仅当(3)(2)0x x --≥即23x ≤≤时取等号，故1k =.
假设存在正数,a b ,则由21a b +=得
212122()(2)559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当22b a a b
=时取等号，又21a b +=，故当13a b ==时2121,9a b a b
+=+=同时成立. 综上：存在正数,a b ：13a b ==同时满足：2121,9a b a b
+=+=.…………………10分。