中考数学考点大串讲(北师大版)：特殊平行四边形(易错40题4种题型)(解析版)

专题01特殊平行四边形（易错40题4种题型）
一、菱形的性质与判定1．
（2023春·江苏常州·八年级校考期中）如图，菱形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，过点D 作DH AB 于点H ，连接OH ，若50BCD ，则DHO 的度数为（）
A ．20°
B ．25°
C ．27°
D ．40°
【答案】B 【分析】先根据菱形的性质得OD OB AB CD BD AC ，，，则利用DH AB 得到90DH CD DHB ，，所以OH 为Rt DHB 的斜边DB 上的中线，得到OH OD OB ，利用等腰三角形的性质得HDB DHO ，然后利用等角的余角相等即可求出DHO 的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴OD OB AB CD BD AC ，，，11502522
DCO BCD
，∵DH AB ，
∴90DH CD DHB ，，
∴OH 为Rt DHB 的斜边DB 上的中线，
∴OH OD OB ，
∴HDB DHO ，
∵DH CD ，
∴90HDB BDC ，
∵BD AC ，
∴90BDC DCO ，
∴HDO DCO ，
∴25DHO DCA ，
故选：B ．
【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．
（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AC 中点，若3EF ．则菱形ABCD 的周长为（）
A ．9
B ．12
C ．18
D ．24
【答案】D 【分析】利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可．
【详解】解：∵E ，F 分别是AB ，AC 中点，
∴EF 是ABC 的中位线，
∴26BC EF ，
∴菱形的周长为：4624 ；
故选：D ．
【点睛】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等腰第三边的一半，是解题的关键．
3．
（2023春·江苏南通·八年级统考期中）如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，张老师要求学生利用所学知识作出一个菱形．甲、乙两位同学的作法如下：
甲：如图2，分别作A 与B 的平分线AE 、BF ，分别交BC 于点E ，交AD 于点F ，则四边形ABEF 是菱形．
乙：如图1，连接AC ，作AC 的中垂线交BC 、AD 于点E 、F ，则四边形AECF 是菱形．
则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（
）A ．甲、乙均正确B ．甲、乙均错误
C ．仅甲正确
D ．仅乙正确【答案】A 【分析】首先证明(ASA)AOM CON ≌，可得MO NO ，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定判定四边形ANCM 是平行四边形，再由AC MN ，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出ANCM 是菱形；四边形ABCD 是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB AF ，所以四边形ABEF 是菱形．
【详解】解：甲的作法正确；
∵四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC ∥，
DAC ACN ，
MN ∵是AC 的垂直平分线，
AO CO ，
在AOM 和CON 中，
MAO NCO AO CO AOM CON
，(ASA)AOM CON △≌△，
MO NO ，
四边形ANCM 是平行四边形，
AC MN ∵，
四边形ANCM 是菱形；
乙的作法正确；
AD BC ∥∵，
12 ，67 ，
BF ∵平分ABC ，AE 平分BAD ，
23 ，56 ，
13 ，57 ，
AB AF ，AB BE ，
AF BE ，
AF BE ∥∵，且AF BE ，
四边形ABEF 是平行四边形，
AB AF ∵，
平行四边形ABEF 是菱形；
故选：A ．
【点睛】本题考查的是作图 复杂作图，熟知平行四边形的性质及菱形的判定定理是解答此题的关键．
4．
（2023春·江苏镇江·八年级校考阶段练习）菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为
，面积为．
【答案】2024【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得4OA ，3OB ，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积．
【详解】解：如图所示，
菱形ABCD 中，86A C B D ，，
∴114322
OA AC OB BD AC BD ，，⊥，∴225AB OA OB ，
∴此菱形的周长是：5420 ，
面积是：168242
，故答案为：20，24．
【点睛】此题主要考查了菱形的基本性质，勾股定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．
5．
（2023春·江苏泰州·八年级校联考期中）在菱形ABCD 中，有一内角为60 ，且较短对角线长为2，则菱形的周长是
．
【答案】8
【分析】根据已知可得较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，从而可求得菱形的边长，根据周长求出周长即可．
【详解】解：菱形有一个内角为60 ，
则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，
∴可得边长为2，
则菱形周长为8．
故答案为8．
【点睛】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度不大，关键熟练掌握若菱形有一个内角为60 ，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形．
6．
（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，四边形ABCD 为菱形，72ABC ，延长BC 到点E ，在DCE 内作射线CM ，使得18ECM ，过点D 作DF CM ，垂足为F ，若6DF ，则BD 的长为．
【答案】12
【分析】连接AC 交BD 于点H ，证明DCH DCF ≌ ，得出DH 的长度，再根据菱形的性质得出BD 的长度．
【详解】解：如图，连接AC 交BD 于点H ，
由菱形的性质得727290ADC ABC DCE DHC
，，，又∵18ECM ，
∴54DCF ，
∵DF CM ，
∴90CFD ，
∴36CDF ，
又∵四边形ABCD 是菱形，
∴BD 平分ADC ，
∴36HDC ，
在CDH △和CDF 中，
===CHD CFD HDC FDC DC DC
，∴ AAS CDH CDF ≌，
∴6DH DF ，
∴212DB DH ．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出HDC FDC 是这个题最关键的一点．
7．
（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，ABD △中，ABD ADB ．
(1)作点A 关于BD 的对称点C ；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）所作的图中，连接BC ，连接AC ，交BD 于点O ．
①求证：四边形ABCD 是菱形；
②取BC 的中点E ，连接OE ，若13,102E BD O
，求点E 到AD 的距离．【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②点E 到AD 的距离是120
13
【分析】（1）根据点关于直线的对称点的画法，过点A 作BD 的垂线段并延长一倍，得对称点C ；（2）①根据菱形的判定即可求解；②过B 点作BF AD 于F ，根据菱形的性质，勾股定理得到
51213OB OA AD ，，，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：点C 即为所求；
（2）解：①证明：∵ABD ADB ，
∴AB AD ，
∵C 是点A 关于BD 的对称点，
∴CB AB CD AD ，，
∴AB BC CD AD ，
∴四边形ABCD 是菱形；
②过B 点作BF AD 于F ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴152
AC BD OB BD ，＝，∵E 是BC 的中点，OA OC ，
∴213BC OE ，
∴2212
OC BC OB ∴12OA ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴13AD ，
∵1122
ABD S BD AO AD BF V ∴101213BF ，
∴120
13
BF ∵BE AD ∥故点E 到AD 的距离是
12013．【点睛】此题主要考查了基本作图以及轴对称变换的作法、菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，得出BC ，AC 的长是解题关键．
8.（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，AB AC ，D 是BC 的中点，点E ，F 在射线AD 上，且DE DF ．
(1)求证：四边形BECF 是菱形；
(2)若4AD BC ，AE BE ，求菱形BECF 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)菱形BECF 的面积为6．
【分析】（1）先由等腰三角形“三线合一”的性质得到BD CD AD BC ，，再结合已知即可证明结论；（2）设DE x ，根据题意，求出4BE x ，2BD ，再根据勾股定理列出方程求解，最后计算菱形的面积即可．
【详解】（1）证明：∵AB AC ，D 是BC 的中点，
∴BD CD AD BC ，，
∵DE DF ，
∴四边形BECF 是菱形；
（2）解：设DE x ，
∵4AD BC ，AE BE ，BD CD ，
∴4AE BE x ，2BD ，
AD BC ∵，
90BDE ，
在Rt BDE △中，222BD DE BE ，
即2222(4)x x ，
解得32x
，∴32
DE ，∴菱形BECF 的面积1324622
BC DE ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定定理和性质定理，勾股定理，菱形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．
（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD CD ．
(1)作ADC 的平分线交BC 于点E （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
；(2)在（1）的条件下，连接AE ．请判断四边形ADCE 的形状，并给出证明过程．
【答案】(1)详见解析
(2)四边形ADCE 是菱形．理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作出图形即可；
（2）先证明CD CE ，再证明四边形ADCE 是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立．
【详解】（1）解：如图即为所求作的图形；
；
（2）解：四边形ADCE 是菱形．理由如下：
∵DE 平分ADC ，
∴ADE CDE ，
∵AD BC ∥，
∴ADE CED ，
∴CDE CED ，
∴CD CE ，
∵AD CD ，
∴AD CE ，
又∵AD CE ，
∴四边形ADCE 是平行四边形，
∴四边形ADCE 是菱形．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．
（2023·江苏盐城·校考三模）只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图1，
已知, AOB OA OB ．点E 在OB 边上，其中四边形AEBF 是平行四边形，请你在图中画出AOB 的平分线．
(2)如图2．已知E 是菱形ABCD 中AB 边上的中点，请作出AD 边上的中点F ．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）由等腰三角形三线合一，可知AOB 的角平分线过线段AB 的中点，由平行四边形的性质可知，AB 的中点即为平行四边形对角线的交点，过O 与AB 的中点的射线即为所求，作图即可，如图1；（2）由菱形的性质，三角形的三条中线交于一点即重心，作ABD △的中线DE ，AG ，交点为重心O ，连接BO 并延长交AD 于F ，F 即为所求，如图2．
【详解】（1）解：如图1，连接AB 、EF 交于点C ，过O C 、作射线OD ，OD 即为所求；
（2）解：如图2，连接AC ，BD ，AC 与BD 交于点G ，连接DE ，DE 与AC 交于点O ，连接BO 并延长交AD 于F ，F 即为所求；
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的性质，角平分线，中线、重心等知识．熟练掌握等腰三角形三线合一，三角形的三条中线交于一点是解题的关键．
二、矩形的性质与判定
11．
（2023春·江苏常州·八年级校考期中）如图，在ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点F 是线段DE 上的一点．连接AF ，BF ，90AFB ，且10AB ，18BC ，则EF 的长是（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，
∴DE 是ABC 的中位线，
∵18BC ，
∴192
DE BC ，∵90AFB ，10AB ，∴152DF AB
，∴954EF DE DF ，
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
12．
（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，O 是矩形ABCD 的对称中心，M 是AD 的中点．若85BC OB ，，则OM 的长为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【分析】首先由O 是矩形ABCD 的对称中心，利用直角三角形斜边中线的性质可求得AC 的长，然后由勾股定理求得AB 的长，即CD 的长，又由M 是AD 的中点，可得OM 是ACD 的中位线，进而求得答案．
【详解】解：∵O 是矩形ABCD 的对称中心，
∴O 是AC 的中点，90ABC ，
∵5OB ，
∴210AC OB ，
∴22221086AC BC CD AB ，
∵M 是AD 的中点，
∴OM 是ACD 的中位线，
∴132
OM CD ．故选：C ．
【点睛】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC 的长是关键．
13．
（2018·江苏·校考一模）如图，在矩形ABCD 中，8AB ，4BC ，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D ¢处，则重叠部分AFC △的面积为（）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到DCA BAC ，由折叠的性质得到DCA D CA ，得到CAF D CA ，根据等腰三角形的判定定理得到FA FC ，根据勾股定理求出AF ，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
AB CD ∥，
DCA BAC ，
由折叠的性质可知，DCA D CA ，
CAF D CA ，
FA FC ，
在Rt BFC △中，222BF BC CF ，即2224(8)AF AF ，
解得，5AF ，
则AFC △的面积11541022
AF BC ，
故选C ．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．
（2023秋·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考开学考试）若矩形两对角线的夹角为60 ，且对角线长为6，则该矩形的长是
．
【答案】33
【分析】先画图，由题意可知四边形ABCD 是矩形，6AC ，60AOB ，根据矩形性质可知OA OB ，90ABC ，证AOB 是等边三角形，即可求出AB 的长，再利用勾股定理求出BC 的长即可．【详解】解：如图所示，在矩形ABCD 中，60AOB ，6AC ，
∵四边形ABCD 是矩形，
132
OB OA AC ，90ABC ，又60AOB ∵，
AOB 是等边三角形，
3AB AO ，
在Rt ABC △中，由勾股定理得，
22226333BC AC AB =-=-=，
故答案为：33．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的性质及勾股定理．利用矩形的性质及已知条件得出AOB 是等边三角形是解题的关系．
15．
（2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ，D 、E 、F 分别是边AB AC BC 、、的中点，连接EF CD 、．若54EF BC ，，则CD 的长为．
【答案】5
【分析】先证明EF 是ABC 的中位线，得到210AB EF ，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出答案．
【详解】解：∵E 、F 分别是边AC BC 、的中点，
∴EF 是ABC 的中位线，
∴210AB EF ，
∵D 是边AB 的中点，90ACB ，
∴152
CD AB ，故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线等于第三边长的一半是解题的关键．
16．（2023春·江苏镇江·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，903A AD ，，BD 平分ABC ，且BD CD ，点P 为BC 边中点，4DP ，则BCD △的面积为．
【答案】12
【分析】如图所示，过点D 作DE BC 于E ，由角平分线的性质得到3DE AD ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到28BC DP ，由此根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D 作DE BC 于E ，
∵903A AD ，，BD 平分ABC ，DE BC ，
∴3DE AD ，
∵BD CD ，点P 为BC 边中点，4DP ，
∴28BC DP ，
∴11381222
BCD S BC DE △，故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的矩形相等是解题的关键．
17．
（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）如图，O 是菱形ABCD 对角线AC 与BD 的交点，10cm CD ，6cm OD ；过点C 作CE DB ∥，过点B 作BE AC ∥，CE 与BE 相交于点E ．
(1)求OC 的长；
(2)求证：四边形OBEC 为矩形；
(3)求矩形OBEC 的面积．
【答案】(1)8cm
(2)见解析
(3)2
48cm 【分析】（1）利用菱形的性质得到AC BD ，在直角OCD 中，利用勾股定理即可求解；
（2）先证明四边形OBEC 是平行四边形，再由90COB ，即可证明平行四边形OBEC 是矩形；（3）利用矩形的面积公式即可直接求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，
AC BD ，
直角OCD 中，22221068cm OC CD OD ；
（2）证明：CE DB ∥∵，BE AC ∥，
四边形OBEC 为平行四边形，
又AC BD ^∵，即90COB ，
平行四边形OBEC 为矩形；
（3）解：OB OD ∵，
28648cm OBEC S OB OC 矩形．【点睛】本题考查了菱形的性质以及矩形的判定，勾股定理，理解菱形的对角线的关系是关键．18．
（2023春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图，在ABC 中，AB AC ，D 是BC 中点、F 是AC 中点，AN 是ABC 的外角MAC 的平分线，延长DF 交AN 于点E ．连接CE ．
(1)求证：四边形ADCE 是矩形；
(2)若3AB BC ，求四边形ADCE 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)四边形ADCE 的面积为934
．【分析】（1）根据AN 是ABC 的外角MAC 的平分线，推得12
MAE MAC ，再由B ACB ，得B MAE =，则AN BC ∥，根据AD BC ，得出四边形ADCE 为矩形；
（2）由（1）知四边形ADCE 是矩形，由条件可证明ABC 为等边三角形，求出CD 和AD 长，则四边形ADCE 的面积可求出．
【详解】（1）证明：∵AN 是ABC 的外角MAC 的平分线，
∴12
MAE MAC ，∵+MAC B ACB =，AB AC ，
∴B ACB ，
∴B MAE =，
∴AN BC ∥，
∵D 是BC 中点、F 是AC 中点，
∴FD AB ∥，
∴四边形ABDE 为平行四边形，
∴AE BD ，
∵D 是BC 中点，
∴BD CD ，
∴AE CD ，
∴四边形ADCE 为平行四边形，
∵AB AC ，D 是BC 中点，
∴AD BC ，
∴AD AE ，
∴=90DAE ，
∴四边形ADCE 为矩形；
（2）解：由（1）知四边形ADCE 是矩形，
∵3AB BC ，AB AC ，
∴ABC 是等边三角形，
∴3AB BC AC ，
∵D 是BC 中点，
∴90ADC ，32
BD CD
，∴22332AD AC CD ==，∴四边形ADCE 的面积为3933324
CD AD ==．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
19．
（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知2,4A （），4,2B （）．C 是第四象限内的一个格点，由点C 与线段AB 组成一个以AB 为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
(1)填空：C 点的坐标是，ABC 的面积是；
(2)将ABC 绕点C 旋转180°得到111A B C △，连接1AB 、1BA ，则四边形11AB A B 的形状是何特殊四边形？．
(3)请探究：在y 轴上是否存在这样的点P ，使四边形ABOP 的面积等于ABC 面积的2.5倍？若存在，请直接写出点P 的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 11 ，
，4(2)矩形
(3) 04 ，
【分析】（1）根据题意点C 坐标为 11 ，
，如图1，即可解答．（2）如图2，由已知可得四边形11AB A B 是平行四边形，然后根据等腰三角形的性质得到对角线相等，即可得到所求四边形是矩形．
（3）先判断存在，由（1）可得6ABO S ，再讨论P 在y 轴正、负半轴四边形ABOP 是否成立，即可解答．
【详解】（1）根据题意点C 坐标为 11 ，
，如图1，
111333*********
ABC S V ，故答案为： 11 ，
，4．（2）如图2，
∵将ABC 绕点C 旋转180°得到111A B C △，
∴1A 、C 、A 在同一直线上，1B 、C 、B 在同一直线上，1
AC AC ，1B C BC ，∴四边形11AB A B 是平行四边形，
∵AC BC ，
∴11A A B B ，
∴平行四边形11AB A B 是矩形．
故答案为：矩形．
（3）存在．
由（1）知4ABC S ，则10ABOP S 四边形，同（1）中的办法得164426ABO S ；
当P 在y 轴负半轴时，1064APO ABO ABOP S S S 四边形--===，高为2，那么底边长为4，所以 04P ，
，当P 在y 轴正半轴不能形成四边形ABOP ，
故点P 的坐标为 04 ，
．【点睛】本题考查了旋转的性质，坐标与图形的性质，矩形的判定，熟练掌握对角线平分且相等的四边形为矩形是矩形的重要判断定理．
20．
（2023春·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD 中，6cm AB ，10cm AD ，点P 在AD 边上以每秒1cm 的速度从点A 向点D 运动，
点Q 在BC 边上，以每秒4cm 的速度从点C 出发，在CB 之间往返运动，两个动点同时出发，当点P 到达点D 时停止（同时点Q 也停止运动），设运动时间为t 秒 0t ．
(1)用含t 的式子表示线段的长度：PD ______cm ，
(2)当0 2.5t 时，运动时间t 为______秒时，以A 、P 、Q 、B 为顶点的四边形是矩形．
(3)当510t 时，以P 、D 、Q 、B 为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t ；若没有，请说明理由．
【答案】(1)
10t (2)2
(3)存在203
t 或8t 使得以P 、D 、Q 、B 为顶点的四边形是平行四边形【分析】（1）先根据题意求出AP ，再由PD AD AP 即可求出答案；
（2）根据矩形的性质得到AP BQ ，由此建立方程求解即可；
（3）利用平行四边形的性质得到 PD QB ，由此可建立方程 101045t t 或 1047.5t t ，解方程即．
【详解】（1）解；由题意得cm AP t ，
∴ 10cm PD AD AP t ，
故答案为； 10t ；
（2）解：∵以A 、P 、Q 、B 为顶点的四边形是矩形，
∴AP QB ，
∴104t t ，
解得2t ，
故答案为：2；
（3）解；假设存在以P 、D 、Q 、B 为顶点的四边形是平行四边形，
∴ PD QB ，
∴ 101045t t 或 1047.5t t ，
解得203
t 或8t ，
∴存在203
t 或8t 使得以P 、D 、Q 、B 为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，正确根据题意列出方程求解是解题的关键．
21．
（2023春·江苏南通·八年级统考期中）如图，四边形ABCD 和四边形EBGF 都是正方形，点A 在EG 上，若2210AE AG ，则正方形ABCD 的面积为（）
A ．5
B ．10
C ．20
D ．50
【答案】A 【分析】连接CG ，根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质可得ACG 是直角三角形，由勾股定理得222CG AG AC ，则22210AE AG AC ，再由正方形的性质和勾股定理得25AB ，即可得出结论．
【详解】解：连接CG ，
∵四边形ABCD 和四边形BGFE 都是正方形，
AB CB ，BE BG ，90
ABC BCD EBG BGF ，45EGB GEB ，ABC ABG EBG ABG ，
即CBG ABE ，
(SAS)CBG ABE △≌△，
CG AE ，45CGB AEB ，
454590AGC EGB CGB ，
ACG 是直角三角形，
222CG AG AC ，
222AE AG AC ，
2210AE AG ∵，
210AC ，
∵四边形ABCD 是正方形，
AB BC ，90ABC ，
22210AB BC AC ，
25AB ，
25ABCD S AB 正方形．
故选：A ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和，证明三角形全等是解题的关键．
22．
（2023春·江苏南通·八年级统考期中）如图，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG 于点E ．BF AG 于点F ，已知4BF ，6DE ，则线段EF 的长为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【分析】证明BAF ADE △≌△，得BF AE ，AF DE ，进而可以解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，BF AG ，DE AG ，
DA AB ，90BAF DAE DAE ADE ，
BAF ADE ，
在BAF △和ADE V 中，
90AFB DEA BAF ADE AB DA
，(AAS)BAF ADE △≌△，
BF AE ，AF DE ，
642EF AF AE DE BF ．
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质，证明BAF ADE △≌△是解答本题的关键．
23．
（2023春·江苏南京·八年级统考期末）如图，正方形ABCD 边长为6，2AF BE ，M 、N 分别是ED 和
BF 的中点，则MN 长为（）
A ．5
B ．23
C ．52
D ．522
【答案】A 【分析】取AB 中点H ，AD 的中点P ，连接HN 并延长交CD 于点G ，连接PM 并延长交H G 于点Q ，根据正方形ABCD 边长为6，2AF BE 得90A ，6AB BC CD DA ，则4DF ，4AE ，根据M 、N 分别是ED 和BF 的中点，得HN 是BAF △的中位线，PM 是DAE 的中位线，,HN AF PM AE ∥∥，1HN ，2PM ，根据,HN AF PM AE ∥∥得90BHQ A ，90DPM A ，即90AHQ ，90APM ，则四边形AHQP 是矩形，即3AH PQ ，3AP HQ ，即四边形AHQP 是正方形，根据3PQ ，2PM 得1QM ，根据3HQ ，1HN 得2NQ ，根据四边形AHQP 是正方形得90PQH ，运用勾股定理即可得．
【详解】解：如图所示，取AB 中点H ，AD 的中点P ，连接HN 并延长交CD 于点G ，连接PM 并延长交H G 于点Q ，
∵正方形ABCD 边长为6，2AF BE ，
∴6AB BC CD DA ，90A ，
∴624DF AD AF ，624AE AB EB ，
∵M 、N 分别是ED 和BF 的中点，
∴,HN AF PM AE ∥∥，
∴HN 是BAF △的中位线，PM 是DAE 的中位线，
∴112HN AF ，122
PM AE ，∵,HN AF PM AE
∥∥∴90BHQ A ，90DPM A ，
∴18090AHQ BHQ ，18090APM DPM ，
∴四边形AHQP 是矩形，
∴132AH PQ AB ，132
AP HQ AD ，∴四边形AHQP 是正方形，
∵3PQ ，2PM ，
∴321QM
PQ PM ，∵3HQ ，1HN ，
∴312NQ HQ HN ，∵四边形AHQP 是正方形，
∴90PQH ，
∴2222215MN NQ MQ ，
故选：A ．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线，勾股定理，矩形的判定，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线．
24．
（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，5CE ，F 为DE 的中点，若CEF △的周长为18，则OF 的长为．
【答案】72
/3.5【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和CEF △的周长，求出,CF EF 的长，进而求出DE 的长，勾股定理求出CD 的长，进而求出BE 的长，利用三角形的中位线定理，即可得解．
【详解】解：5,CE CEF ∵ 的周长为18，
18513CF EF ．
F ∵为DE 的中点，
DF EF ．
90BCD ∵，
12
CF DE ，11322EF CF DE
，213DE EF ，
2212CD DE CE ．
∵四边形ABCD 是正方形，
12BC CD ，O 为BD 的中点，
OF 是BDE 的中位线，
11171252222
OF BE BC CE ．故答案为：72
．【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
25．（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）如图，四边形EFGH 的四个顶点E 、F 、
G 、H 分别在正方形ABCD 的AB 、BC 、CD 、DA 上滑动，在滑动的过程中，始终有EH BD FG ∥∥，且EH FG ，四边形EFGH 的周长为62a ，那么正方形ABCD 的周长为．
【答案】12a
【分析】先证明AEH △，CFG △都是等腰直角三角形，证明AEH CFG △≌△得AE AH FC CG ，根据2EH AE ，2EF EB ，得2EF EH AB 由此即可解决问题．
【详解】解：EH FG ∥∵，且EH FG ，
四边形EFGH 是平行四边形，
又∵四边形ABCD 是正方形，
AB BC CD DA ，45ABD ，90A C ABC
EH BD ∥∵，
45AEH ABD AHE ，
同理45GFC FGC ，
在AEH △和CFG △中，
A C AEH CFG EH FG
， AAS AEH CFG △≌△，
AE CF AH CG ，
BE EF ，
2EH AE ∵，2EF BE ，
2()2EH EF AE EB AB ，
32EH EF a ∵，
3AB a ，
正方形周长为12a ．
故答案为：12a ．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解题关键是利用三角形全等，学会利用特殊三角形的边之间的关系解决问题，属于中考常考题型．
26．
（2021春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图，正方形ABCD ，以AD 为边作等边ADE V ，则AEB 的度数为．
【答案】15
【分析】如图，由等边三角形，正方形性质可推证AB AE ，9060150BAE ，由三角形内角和定理可知1(180)152
AEB ABE BAE Ð=Ð=°-Ð=°．【详解】解：如图，等边ADE V 中，AE AD ，60DAE
正方形ABCD 中，AB AD ，90BAD
∴AB AE ，9060150BAE
∴11(180)(180150)1522
AEB ABE BAE Ð=Ð=
°-Ð=°-°=°；故答案为：15 ．
【点睛】本题考查正方形、等边三角形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，掌握相关性质是解题的关键．
27．
（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）已知：如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，且BE BC EF BD ，，垂足为E ，交DC 于点F ．
求证：DE CF ．
【答案】见解析
【分析】证明DEF 是等腰直角三角形，DE EF ，再利用HL 证明Rt Rt BEF BCF ≌△△，推出CF EF ，据此即可证明结论成立．
【详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴45BDC ，
∵EF BD ，
∴DEF 是等腰直角三角形，
∴DE EF ，
连接BF ，
∵EF BD ，四边形ABCD 是正方形，
∴90BEF BCF ，
∵BE BC ，BF BF ，
∴ Rt Rt HL BEF BCF ≌△△，
∴CF EF ，
∴DE CF ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
28．
（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把ADE V 顺时针旋转至ABF △的位置．
(1)旋转中心是________点，旋转角度是_______度，则AEF △是_______三角形；
(2)若四边形AECF 的面积为362DE ，，求EF 的长．
【答案】(1)A ，90，等腰直角
(2)45
【分析】（1）直接利用旋转的性质结合等腰直角三角形的判定方法即可得答案；
（2）根据旋转的性质可得ADE ABF ≌，则ADE ABF S S ，以此可推出四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 面积，因此正方形的边长为6，根据勾股定理可求出AE ，由（1）知AEF △是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出EF ．
【详解】（1）解：由题意可知，旋转中心是点A ，
∵四边形ABCD 为正方形，把ADE V 顺时针旋转至ABF △的位置，
∴90DAB DAE BAF AE AF ，，，
∴90DAE EAB BAF EAB EAF ，
∴旋转角是90 ，AEF △是等腰直角三角形；
故答案为：A ，90，等腰直角．
（2）解：∵把ADE V 顺时针旋转至ABF △的位置，
∴ADE ABF ≌，
∴ADE ABF S S ，
∴36ABF ADE ABCD AECF ABCE ABCE S S S S S S △△正方形四边形四边形四边形，
∴6AD AB ，
在Rt ADE △中，62AD DE ，，由勾股定理得222262210AD AD DE ，
由（1）知，AEF △是等腰直角三角形，
∴2245EF AE AF ．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
29．
（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有
差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 的长分别为a ，b （a b ），我们把a b
定义为菱形的“神似度”．
(1)当菱形的“神似度”=_________时，菱形就是正方形；
(2)当60BAD 时，求菱形ABCD 的“神似度”．
【答案】(1)1
(2)3
【分析】（1）根据正方形的判定判断即可；
（2）连接AC 和BD ，交于点O ，设AB x ，判断ABD △是等边三角形，结合勾股定理求出DO 和AO ，从而得到AC 和BD ，即可求出“神似度”．
【详解】（1）解：由题意可得：
当AC BD 时，菱形为正方形，
∴1a b
；（2）连接AC 和BD ，交于点O ，设AB x ，
在菱形ABCD 中，AB AD ，
∵60BAD ，
∴ABD △是等边三角形，
∴BD x ，12
BO DO x ，
∴2232AO AD DO x
，∴3AC x ，
∴33a
AC x b BD x ，即菱形ABCD 的“神似度”为3．
【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的性质，解题的关键是灵活运用菱形的性质求出线段的长．
30．
（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，正方形OABC 的顶点B 的坐标为 22 ，， ，0D m 为x 轴上的一个动点(2)m ，以BD 为边作正方形BDEF ，点E 在第四象限．
(1)线段CD 的长为_______（用m 的代数式表示）
．(2)试判断线段AD 与CF 的数量关系，并说明理由；
(3)设正方形BDEF 的对称中心为M ，直线CM 交y 轴于点G ．随着点D 的运动，点G 的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G 的坐标；若发生变化，请说明理由．
【答案】(1)2
m (2)AD CF ，见解析
(3)不变， 02G ，
【分析】（1）利用坐标、坐标与图形的性质即可求解；
（2）证明 SAS ABD CBF ≌可得结论．
（3）过点F 作FH CB 交CB 的延长线于点H ，过点M 作MN x 轴．证明 AAS BCD FHB ≌△△，推出
2CD BH m ，2BC FH ，求得222m m M
，，进而可得MN CN ，即可证明OCG 是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】（1）解：∵ 22B ，
， ，0D m ，∴2OC ，OD m ，
∴2CD m ，
故答案为：2m ；
（2）解：AD CF ．。