部编版2020学年高二数学下学期月考试题 文人教版新版

2019学年高二数学下学期月考试题 文
附参考公式及数据：
1
2
1
()()
,()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑$y bx =-$$ａ
，2
2()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++
一、选择题：（共12小题，每小题5分，每小题只有一个答案，涂在答卷指定位置上） 1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin 2sin a B A =则角B 为（**）； A.
3π B.6π C.4
π
D.56π
2.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =，
3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(**)
A.$0.4 2.3y x =+
B.$2 2.4y x =-
C.$29.5y x =-+
D.$0.3 4.4y x =-+ 3.在平面上，若两个正三角形的边长之比1：2，则它们的面积之比为1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1：2，则它的体积比为（**） A.1:2 B.1:4 C.1:6 D.1:8
4.在极坐标系中，圆1C :1=ρ与圆2C :09sin 8cos 62
=+--θρθρρ的位置关系为（**） A.相交 B.相离 C.相外切 D.相内切 5.在一次对性别与说谎是否相关的调查中，得到如表数 据：根据表中数据，得到如下结论中正确的一项是(**) A.在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关 B.在此次调查中有
99%的把握认为是否说谎与性别有关 C.在此次调查中有90%的把握认为是否说谎与性别有关
D.在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关
6.在平面直角坐标系中，方程3210x y -+=所对应的直线经过伸缩变换//132x x
y y
⎧=⎪
⎨⎪=⎩后，
得到的直线方程为（**）
A.3410x y -+=
B.310x y +-=
C.910x y -+=
D.410x y -+=
7.直线为参数）
t t y t x (,45,
23⎩
⎨
⎧-=+=的斜率为(**) A.4- B.2- C.2 D.4 8.椭圆4cos (5sin x y ϕ
ϕϕ
=⎧⎨=⎩为参数）的离心率为（**）
A.
35 B.45 C.34 D.15
9.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西0
75距塔68海里的M 处，
下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为(**)
A.1762 海里/小时
B.34 6 海里/小时
C.1722 海里/小时
D.34 2 海里/小
时
10.“2
c =”是“点
到直线0x c +
+=的距离为3”的(**)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件 11.正弦函数是奇函数，2
()sin(1)f x x =+是正弦函数，因此2
()sin(1)f x x =+是奇函数，以上推理（**）
A.大前提错
B.小前提错
C.结论正确
D.全不正确 12.已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆为参数）
θθθ(,
sin 32,
cos 31⎩⎨⎧+=+-=y x 相交于,A B 两点， 且AC BC ⊥，则实数a 的值为（**）.
A.6
B.0
C.6或0
D.3或6 二、填空题：（每小题5分，共4小题，把答案写在答卷上）
13.已知向量(2,3),(3,)a b m =-=r r
，且a b ⊥r r ，则m = *** .
14.在数列{}n a 中，11a =，*12()2n
n n
a a n N a +=
∈+，猜想数列{}n a 的通项公式为 *** .
15.在平面直角坐标系中,动点P 到点(1,0)A -的距离是到点(1,0)
B 倍， 则动点P 的轨迹方程是 *** .
16.有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②用相关指数2
R 来刻画回归的效果，2
R 值越大，说明模型的拟合效果越好．③
比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．
④在线性回归分析中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强. 其中正确说法的序号是 ***
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.(本小题满分10分)
已知等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =，且3a ,45
2
a +，11a 成等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设1
1
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18.(本小题满分12分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2
4(cos sin )6ρρθθ=+-.若以
极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． (Ⅰ)求圆C 的参数方程；
(Ⅱ)在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上一动点，试求x y +的最大值，
并求出此时点P 的直角坐标．
19.(本小题满分12分)(Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为
112,(2
x t t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩为参数） ，椭圆C 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨
=⎩ (θ为参数)． 设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长． (Ⅱ)已知圆C 的参数方程为1cos ,1sin x y α
α
=-+⎧⎨
=+⎩(α为参数)，当圆心C 到直线40kx y ++=的
距离最大时，求k 的值.
20.（本小题满分12分）某大学为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用男女分层抽样的方法，收集三百位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时），根据这三百个样本数据，每周平均体育运动时间超过4个小时的占百分之七十五， 且其中有六十位女生，每周平均体育运动时间不超过4小时的男生有四十五人. （I ）请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表；
（II ）判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时
间与性别有关”.
每周平均体育运动时间与性别列联表
21.(本小题满分12分） 2.5PM 是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗
粒物)，为了探究车流量与 2.5PM 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与 2.5PM 浓度的数据如下表：
(Ⅰ)(Ⅱ)若周六同一时段车流量是200万辆，试根据(1)求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的
浓度为多少，是否为重度污染（PM2.5平均值在150～250微克/立方米为重度污染）？
22.(本小题满分12分）已知函数x e
kx x f 2
)(=，其中R k ∈且0≠k .
(Ⅰ)求函数)(x f 的单调区间；
(Ⅱ)当1=k 时，若存在0>x ，使ax x f >)(ln 成立，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 答案
B A D
C
D C B A A B
B
C
二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 2 ； 14. *2
()1
n a n N n =
∈+ ； 15.22610x y x +-+= ； 16. ①②③ . 1.B 解：在△ABC 中，由
a sinA ＝
b sinB
，可得asinB ＝bsinA ，又由asin2B ＝3bsinA ，得2asinBcosB ＝3bsinA ＝3asinB ，所以cosB ＝
32，得B ＝π6
. 2. A 由变量x 与y 正相关知C 、D 均错，又回归直线经过样本中心(3,3.5)，代入验证得A
正确，B 错误．故选A.
3. D
4. C
5. D 由于观测值2
30(6978)0.0024
13171416k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯很小，两变量没有关系
的概率接近1，因此，在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关．故选D. 6. C 7. B 8. A 9. A 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MN
sin120°
，
∴MN ＝68×32＝34 6.∴v ＝MN 4＝1726(海里/小时)．故选A.
10. B 解:若点3)到直线30x c +
+=的距离为3，2
2
1331(3)
c ++=+，
解得2c =或10c =-，故“2c =”是“点3)到直线30x y c ++=的距离为3”的充分不必要
条件，选B.
11. B 12. C 圆C 的的圆心为（-1,2），半径为3,又直线0x y a -+=与圆C 交于A,B 两点，且AC BC ⊥,则三角形ACB 是等腰直角三角形，所以圆心C 到直线0x y a -+=的距离322d =
.22123221(1)
a --+=+-，整理得：33a -=解得：0a =或6a =.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. (本小题满分10分）
解: (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知0d >，
因为3a ,452a +
，11a 成等比数列，所以243115
()2
a a a +=， 所以27(3)(12)(110)2
d d d +=++, 即24436450d d --=,…………3分 解得32d =
或1522
d =-(舍去), 所以数列{}n a 的通项公式为:31
22
n a n =- …………5分 (Ⅱ)由31
22n a n =
-得11n n n b a a +=
4411()(31)(32)33132n n n n ==--+-+………7分 所以41111111111
[()()()()(]3255881134313132)n T n n n n =-+-+-++-+----+K 4112()323232
n
n n =
-=
++ …………10分 18. (本小题满分12分） 解: (Ⅰ)因为ρ2
＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6，
所以x 2
＋y 2
＝4x ＋4y －6，x 2
＋y 2
－4x －4y ＋6＝0，
即(x －2)2
＋(y －2)2
＝2为圆C 的直角坐标方程．…………3分
所求的圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2＋2cos θ，
y ＝2＋2sin θ
(θ为参数)．…………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得x ＋y ＝4＋2(sin θ＋cos θ)＝4＋2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4.…………9分 当θ＝π
4
，即点P 的直角坐标为(3,3)时，…………11分
x ＋y 取得最大值为6. …………12分
19.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)椭圆C 的普通方程为2214y x +=.将直线l
的参数方程112,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22
14y x += 化简得27160t t +=,…………3分 解得1216
0,7
t t ==-
,由t 的几何意义知,1t 和2t 分别为A 和B 对应的参数所以1216
7
AB t t =-=
. …………6分 (Ⅱ) 圆C 的直角坐标方程为2
2
(1)(1)1x y ++-=，∴圆心C (1,1)-，…………8分
又直线40kx y ++=过定点A (0,4)-，故当CA 与直线40kx y ++=垂直时， 圆心C 到直线的距离最大，…………10分
11
5,,55
AC k k k =-∴-=∴=-Q …………12分
20. (本小题满分12分）解：（Ⅰ）列联表数据如表：
每周平均体育运动时间与性别列联表
…………4分 （Ⅱ）结合列联表数据及观测值公式可算得观测值
2300(456030165)100
(8752252109021)
4.762 3.841......10k ⨯⨯-⨯==
⨯⨯⨯≈>分
分
因此能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” …………12分
21.(本小题满分12分）
解：(Ⅰ)由条件可知，51154010855i i x x ====∑，511420
8455
i y ===∑…………2分
5
1()()(8)(6)(6)(4)006484144i
i
i x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯=∑…………3分
5
2
222221
()
(8)(6)068200i
i x x =-=-+-+++=∑…………4分
1
2
1
()()
144
0.72200
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--==
=-∑∑$，…………6分 y bx =-$$ａ
840.72108 6.24=-⨯=…………8分 故y 关于x 的线性回归方程为0.72 6.24y x Λ
=+ …………9分 (Ⅱ)当x ＝200时，0.72200 6.24150.24y Λ
=⨯+= …………11分
所以可以预测此时PM2.5的浓度约为150.24微克/立方米，已达到重度污染．……12分 22.(本小题满分12分）解：(Ⅰ)定义域为R ，x
e x kx x
f )
2()(/--=
，……1分
若0<k ，由0)(/
>x f ，得0<x 或2>x ，由0)(/
<x f ，得当20<<x ；……2分 若0>k ，由0)(/
<x f ，得0x <或2x >，由0)(/
>x f .得02x << ……3分 所以当0<k 时，
函数)(x f 的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)；……4分 当0>k 时，
函数)(x f 的单调递减区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递增区间是(0,2)．……6分
(Ⅱ)当1=k 时，2(),0x x f x x e =>且存在，由ax x f >)(ln ，得2ln .x x
a x
-< ……8分
设2ln ().x x g x x -=
0>x ，则/2
22ln (),0x g x x x
-=>，……9分 所以，当/
()0g x >时，0x e << ，当/
()0g x <时，x e >， ……10分 所以()g x 在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， 故max 2
()()1g x g e e
==
-， ……11分 所以实数a 的取值范围是2,
1e ⎛⎫
-∞- ⎪⎝
⎭
. ……12分。