河北省秦皇岛市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

河北省秦皇岛市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试
数学试卷
一、单选题
1．若复数3i 2i
a ++是纯虚数，则实数a=（ ） A ．32- B ．32 C ．6- D ．6
2．已知p ：0a b >> q ：
2211a b <，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取100名学生，收集了他们一周内的课外阅读时间：
这100名学生的一周内课外阅读时间的70%分位数是（ ）
A ．4.5
B ．5
C ．5.5
D ．6
4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()1,2P -，则cos2=α（ ）
A ．15
B ．15
- C ．35 D ．35
-
5．已知(1,1),4a b a b =--=r r r r ，则b r 在a r 上的投影向量为（ ）
A ．()11-，
B ．(
C ．()1,1-
D ．
6．已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为1:3
侧面积为（ ）
A ．16
B ．10
C
D ．30
7．已知正三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为R 的球面上，且2AB =，若三棱锥P ABC -
，则该球的表面积为（ ）
A ．3227π
B ．169π
C ．6427π
D ．649
π
8．在ABC V 中，π3B =
，D 是AB 的中点，CD =2AB BC +的取值范围为（ ）
A ．
B ．(
C ．(
D ．(
二、多选题
9．已知事件A ，B 满足()0.2P A =，()0.6P B =，则（ ）
A ．事件A 与
B 可能为对立事件
B ．若A 与B 相互独立，则()
0.48P AB =
C ．若A 与B 互斥，则()0.8P A B =U
D ．若A 与B 互斥，则()0.12P AB = 10．已知函数()sin(3)2
2f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为
3
π D ．函数()f x 的图象关于5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称 11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 是1AA 的中点，点M 是正方体内（含表面）的动点，且满足1D M CP ⊥，下列选项正确的是（ ）
A ．动点M 在侧面
11AA B B B ．三角形11A D M 在正方体内运动形成几何体的体积是2
C ．直线1
D M 与BC 所成的角为α，则tan αD ．存在某个位置M ，使得直线1BD 与平面11A D M 所成的角为π4
三、填空题
12．已知函数()()e e 1x x f x ax -=-++，若()24f =，则()2f -=.
13．在ABC V 中，3AB =，4BC =，点O 是ABC V 的外心，则BO AC ⋅=u u u r u u u r ．
14．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边AC ，BC ，点E 在以AC 为直径的半圆上，延长AE ，BC
交于点D .若5AB =，3sin 5
CAB ∠=，3sin 4DCE ∠=，则ABE V 的面积是.
四、解答题
15．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c )sin sin 4sin sin b C c B a B C +=.
(1)求角A ；
(2)若a =ABC V ABC V 的周长. 16．已知向量12e e u r u u r ，，且1211,e e e ==u r u u r r 与2e r 的夹角为12π3
m e e λ=+u r u u r r ，，1232n e e =-u r u u r r (1)求证：()
1222e e e -⊥u r u u r u u r (2)若m n =r r ，求λ的值；
(3)若m r 与n r 的夹角为π3
，求λ的值． 17．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知
程度高的有m 人，按年龄分成5组，其中第一组[)2025，
，第二组[)2530，，第三组[)3035，，
第四组[)3540，
，第五组[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
(1)根据频率分布直方图，估计这m 人的平均年龄；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.
(2)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52
，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m 人中35~45岁所有人的年龄的方差.
18．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34
.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；
(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；
(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率.
19．已知平面四边形ABCD ，2AB AD ==，60BAD ∠=︒，30BCD ∠=︒，现将ABD ∆沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，此时AD CD ⊥，点P 为线段AD 的中点．
(1)求证：BP ⊥平面ACD ；
(2)若M 为CD 的中点
①求MP与平面BPC所成角的正弦值；
②求二面角P BM D
--的平面角的余弦值．。