2020届贵州省凯里市第一中学高三上学期开学考试数学(理)试题(解析版)

2020届贵州省凯里市第一中学 高三上学期开学考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{|20}A x x =-<，{|lg 0}B x x =<，则A B =I （ ） A ．{|02}x x << B ．{|01}x x <<
C ．{|12}x x <<
D ．φ
【答案】B
【解析】求出集合,A B 的元素，根据交集定义计算． 【详解】
解：{|2},
B {|01}A x x x x =<=<<；
∴{|01}A B x x =<<I ． 故选：B ． 【点睛】
本题考查集合的交集运算，考查对数函数的性质，属于基础题． 2．设复数z 满足1
1i z i
-=+，则z =（ ）
A ．1 B
C ．
D ．2
【答案】A
【解析】利用复数的除法法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的求模公式可求出z . 【详解】
()()()()()2
11111112
i i i i z i i i i -----====++-Q ，故1z =， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查复数模长的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，比较基础．
3．某地区高考改革，实行“321++”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，“1”指在物理、
历史两门科目中必选一门，则一名学生的不同选科组合有多少种？（ ） A ．8种 B ．12种
C ．16种
D ．20种
【答案】B
【解析】根据题意，分3步进行分析该学生在“语文、数学、外语三门”、“化学、生物、政治、地理四门”、“物理、历史两门”中的选法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】
根据题意，分3步进行分析：
①语文、数学、外语三门必考科目，有1种选法；
②在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，有2
4
6C =种选法； ③在物理、历史两门科目中必选一门，有1
21C =种选法；
则这名学生的不同选科组合有16212⨯⨯=种. 故选：B ． 【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
4．已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有以下结论： ①,,m αn βm n αβ⊂⊂⊥⇒⊥ ②//,//,,//m n m n ββαααβ⊂⊂⇒ ③,,m βn αm n αβ⊥⊥⊥⇒⊥ ④,////m αm n n α⊂⇒. 其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】分析：根据直线与平面的位置关系的判定定理和性质定理，即可作出判定得到结论.
详解：由题意，对于①中，若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则两平面可能是平行的，所以不正确；
对于②中，若//,//,,m n m n ββαα⊂⊂，只有当m 与n 相交时，才能得到//αβ，所以不正确；
对于③中，若,,m n m n βα⊥⊥⊥，根据线面垂直和面面垂直的判定定理，可得αβ⊥，所以是正确的；
对于④中，若,//,//m m n n n ααα⊂⊄⇒，所以是不正确的， 综上可知，正确命题的个数只有一个，故选B.
点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
5．（2018届河北省衡水中学三轮）已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则23a a +的值为（ ） A ．6- B ．8- C ．10- D ．12-
【答案】C
【解析】分析：根据134,,a a a 成等比数列求得首项1a ，然后再根据通项公式求23a a +即可．
详解：∵134,,a a a 成等比数列，
∴2
314a a a =，
即()()2
11146a a a +=+， 解得18a =-,
∴2312610a a a +=+=-. 故选C. 6．若二项式
的展开式的第5项是常数项，则自然数的值为
A ．6
B ．10
C ．12
D ．15 【答案】C 【解析】
,因为其为常数项，所以
.
7．已如非零向量a r 、b r
，满足22
a =
r ，()
0a
a b ⋅+=r r r ，则a r 与b r 的夹角为（ ）
A ．
4
π B ．
2
π C ．
34
π D ．π
【答案】C
【解析】设平面向量a r 、b r
的夹角为θ，由平面向量的数量积与夹角公式，结合特殊角
的余弦函数，即可求出a r 与b r
的夹角．
【详解】
Q 非零向量a r 、b r
满足22
a b =
r r
，所以2b a =r r . 又()
0a a b ⋅+=r r r ，所以20a a b +⋅=r r r
，即2a b a ⋅=-r r r .
设平面向量a r 、b r 的夹角为θ，所以2
2
cos 22a a b a b a a
θ-⋅===⋅-
⨯r r r r r r r
， 又[]0,θπ∈，所以34π
θ=，即a r 与b r 的夹角为34
π． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题． 8．函数y =2x sin2x 的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π
(,π)2上的符号，即可判断选择.
详解：令()2sin 2x
f x x =， 因为,()2
sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x
f x x =为奇
函数，排除选项A,B;
因为π
(,π)2
x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
9．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x x f x =⋅，若()2log 5.1a g =-，
()
0.32b g -=，()0.23c g =，则a 、b 、c 的大小关系（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a <<
【答案】D
【解析】根据函数奇偶性的定义判定出函数()y g x =为偶函数，利用不等式的性质可判断出函数()y g x =在()0,∞+上为增函数，比较2log 5.1、0.32-、0.23的大小关系，利用函数()y g x =在()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】
Q 函数()y f x =为R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，且()00f =，
()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--==，所以，函数()y g x =为偶函数，
由于函数()y f x =是增函数，且当0x >时，()()00f x f >=， 任取120x x >>，则()()120f x f x >>，所以()()11220x f x x f x >>， 则()()12g x g x >，所以，函数()y g x =在区间()0,∞+上单调递增，
222log 4log 5.1log 8<<Q ，即()2log 5.12,3∈，且0.312,12-⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()0.231,2∈，
所以，0.2
0.32log 5.132->>，则()()()
0.20.32log 5.132g g g ->>，因此，a c b >>．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，同时也考查了利用指数函数和对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，考查推理能力，属于中等题.
10．将函数()cos 24f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8
π个单位后得到函数()g x 的图象，则
()g x （ ）
A ．为奇函数，在0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减 B ．为偶函数，在3,88ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上单调递增 C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．最大值为1，图象关于直线2
x π=
对称
【答案】D
【解析】()cos 2()cos 28
4g x x x π
π⎡
⎤
=+-
=⎢⎥⎣
⎦
，值域为[]1,1-，为偶函数，选项A 排除；
周期22T π
π=
=，令222,k x k k Z πππ-<<∈，,2
k x k k Z πππ-<<∈，故单调增区间为(,)()2
k k k Z π
ππ-
∈，令222,k x k k Z πππ<<+∈，
,2k x k k Z π
ππ<<+
∈，单调减区间为(,)()2
k k k Z πππ+∈，函数()g x 在3(,)88ππ
-上无单调性，选项B 排除；令2,2x k k Z ππ=+∈，,24
k x k Z =
+∈ππ
，所以对称中心为(
,0)24
k ππ+，当31
,2484k k πππ+==，不符合，排除C 选项；令2,,2k x k k Z x k Z ππ=∈=∈，，当1,2
k x π
==是函数()g x 的一条对称轴，选项D
正确。

点睛：本题主要考查函数()cos2g x x =的图象和性质，包括最值，单调性，周期性，奇偶性，对称性等，属于中档题。

11．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆
222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线
方程为（ ）
A ．y =
B ．y =
C ．y x =±
D ．2y x =±
【答案】A
【解析】作O A⊥1F M 于点A ，21F B F M ⊥于点B ，可得2a 2OA F B BM a ===，
，
2F M =，12F B b =，结合双曲线定义可得b =从而得到双曲线的渐近线
方程. 【详解】
如图，作OA⊥1F M 于点A ，21F B F M ⊥于点B ，
∵1F M 与圆222x y a +=相切，1245F MF ∠=︒
∴2a 2OA F B BM a ===，
，222F M a =，12F B b = 又点M 在双曲线上，
∴1222222a F M F M a b a -=+-= 整理，得2b a =，
∴
2b
a
=∴双曲线的渐近线方程为2y x = 故选：A 【点睛】
本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a ，b 的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.
12．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，不等式
()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】由不等式()()'f x xf x >-在()0,∞+上恒成立，得到函数()()h x xf x =在
0x >时是增函数，再由函数()y f x =是定义在R 上的奇函数得到()()h x xf x =为偶
函数，
结合()()()0330f f f ==-=，作出两个函数()1y xf x =与2lg 1y x =-+的大致图象，即可得出答案． 【详解】
解：定义在R 的奇函数()f x 满足：
()()()0033f f f ===-，
且()()f x f x -=-，
又0x >时，()()'f x xf x >-，即()()'0f x xf x +>，
，函数()()h x xf x =在0x >时是增函数，
又()()()h x xf x xf x -=--=，()()h x xf x ∴=是偶函数；
0x ∴<时，()h x 是减函数，结合函数的定义域为R ，且()()()0330f f f ==-=，
可得函数()1y xf x =与2lg 1y x =-+的大致图象如图所示，
∴由图象知，函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为3个．
故选C ． 【点睛】
本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目．
二、填空题
13．曲线x
y xe =在点()0,0处的切线方程为______．
【答案】y x =
【解析】利用导数求出曲线x
y xe =在点()0,0处的切线的斜率，然后利用点斜式可写
出所求切线的方程. 【详解】
依题意得x
x
y e xe '=+，因此曲线x
y xe =在0x =处的切线的斜率等于1，
所以函数x
y xe =在点()0,0处的切线方程为y x =.
故答案为：y x =． 【点睛】
本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基
础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 14．已知1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
______． 【答案】
78
【解析】将所求代数式变形为2cos 2cos 233ππαα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，然后利用二倍角的余弦公式可计算出所求代数式的值. 【详解】
1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q ，227
cos 2cos 212sin 33
38πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
故答案为：7
8
． 【点睛】
本题主要考查了二倍角公式，找出所求角与已知角之间的关系是解题的关键，考查计算能力，属于基础题．
15．若抛物线2
2x y =上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则OFP ∆的面积为______． 【答案】
932
【解析】利用抛物线的定义，求出点P 的坐标，即可求出三角形的面积． 【详解】
由抛物线定义，122P PF x =+=，所以3
2P x =，98
P y =，
所以，PFO ∆的面积11199
222832
P S OF y =⋅=⨯⨯=．
故答案为：9
32
．
【点睛】
本题考查抛物线定义的应用，同时也考查了三角形的面积的求法，考查计算能力，属于基础题.
16．已知三角形PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，2PA PD AB ===，120APD ∠=o ，若点P 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于______． 【答案】20π
【解析】利用面面垂直的性质定理证明出AB ⊥平面PAD ，由三棱锥B PAD -与四棱
锥P ABCD -的外接球为同一个球，并设此球的半径为R ，PAD ∆的外接圆半径为r ，利用正弦定理计算出PAD ∆的外接圆直径2r ，然后利用公式()()2
2
222R AB r =+可求出R ，最后利用球体的表面积公式可计算出该球的表面积. 【详解】
如下图所示，由题意可知，三棱锥B PAD -与四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球， 并设此球的半径为R ，PAD ∆的外接圆半径为r ，
Q 四边形ABCD 为矩形，则AB AD ⊥，
Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，AB Ì平面ABCD ，
AB ∴⊥平面PAD ，
设PAD ∆的外接圆半径为r ，由2PA PD AB ===，120APD ∠=o ， 则PAD ∆为等腰三角形，且30PAD ∠=o ，由正弦定理得2=4sin 30
PD
r =
o
， ()()2
2
22220R r AB ∴=+=，因此，该球的表面积为()2
24220R R πππ=⨯=.
故答案为：20π. 【点睛】
本题考查多面体的外接球，同时也考查了球体表面积的计算，解题的关键就是推导出线面垂直，转化为直棱锥的外接球来进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.
三、解答题
17．商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品
A 按以下单价进行试售，得到部分的数据如下：
单价x （元） 15 16 17 18 19
销量y （件） 60 58 55 53
49
（1）求销量y 关于x 的线性回归方程；
（2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每件商品A 的成本是10元，为了获得最大利润，商品A 的单价应定为多少元？（结果保留整数） （参考数据：
5
1
275i
i y
==∑，51
4648i i i x y ==∑，5
21
1455i i x ==∑）（参考公式：
()()()
1
1
2
2
21
1
n
n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y
y
x y nxy
b
x x x
nx
====---==
--∑∑∑∑$，a y bx =-$$）
【答案】（1） 2.7100.9y x =-+；（2）19元.
【解析】（1）求出x 和y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式求出b
$和$a 的值，即可求出回归直线方程；
（2）设商品A 的单价应定为x 元，可得出利润w 关于x 的函数解析式为
22.799.9w x x =-+，再由二次函数的基本性质求最值．
【详解】
（1）()1
1516171819175
x =++++=，511275555i i y y ====∑，
21
2
2
1
464851755
2.71455517
n
n
i i i i
i x x y nx y
b
nx
==--⨯⨯∴==
=--⨯-∑∑$，$()55 2.717100.9a
y bx ∴=-=--⨯=$. ∴销量y 关于x 的线性回归方程为 2.7100.9y x =-+；
（2）设商品A 的单价应定为x 元，则利润
()22.7100.910 2.799.9w x x x x x =-+-=-+，
∴当99.9
18.5195.4
x =-
=≈-时，获得的利润最大． 【点睛】
本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了利用二次函数的基本性质求最值，考查计算能力，是中档题．
18．在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
222cos sin cos sin sin A B C A B =++.
（1）求角C 的大小； （2
）若c =ABC ∆周长的取值范围.
【答案】（1）
23
π
；（2
）
(
2+ 【解析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出. 【详解】
（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+， 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-， 由正弦定理得222a b c ab +-=-
由余弦定理得2221
cos 222
a b c ab C ab ab +--===-，
又20,3
C C ππ<<∴=
Q . （2
）
2,2sin ,2sin sin sin sin sin 3
a b c a A b B
A B C ====∴==Q
， 则ABC ∆的周长
(
)2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=++=+=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
.
20,,sin 13
3
3
33A A A π
π
π
ππ⎛
⎫<<
∴
<+
<
<+≤ ⎪⎝
⎭Q ，
2sin 23A π⎛
⎫∴<++≤+ ⎪⎝⎭
ABC ∴∆
周长的取值范围是
(
2.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.
19．如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，90ABC ∠=o ，60ACD ∠=o ，
AC AD =，2SA =
，AB
=1BC =．
（1）求证：//BC 平面SAD ；
（2）求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）
42
． 【解析】（1）由已知求解三角形证明AB AD ⊥，再由AB BC ⊥，可得//BC AD ，由线面平行的判定可得//BC 平面SAD ；
（2）以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AS 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面SBC 的一个法向量，利用空间向量求解直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值． 【详解】
（1）证明：在Rt ABC ∆中，
1BC =Q ，3AB =，3
tan 3
BAC ∴∠=
=，则30BAC ∠=o ， 在ACD V 中，由AC AD =，60ACD ∠=o ，得60CAD ∠=o ，90BAD ∴∠=o ， 又90ABC ∠=o ，//BC AD ∴，
BC ⊄Q 平面SAD ，AD ⊂平面SAD ，//BC ∴平面SAD ；
（2）由SA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，
以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AS 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，
2SA =Q ，3AB =，1BC =，
得(
)3,0,0B 、(
)
3,1,0C
、()0,0,2S 、()0,2,0D ，
(
)
3,0,2SB =
-u u r
，()0,1,0BC =u u u r ，()0,2,2SD =-u u u r
，
设平面SBC 的一个法向量为(),,n x y z =r
，
由320
n SB x z n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩u u v v u u u v v ，取3z =，得()
2,0,3n =r ， 设直线SD 与平面SBC 所成角为θ，
则2342
sin cos ,14722n SD n SD n SD
θ⋅====⋅⋅u u u r
u r r r u ur u u r u ． 因此，直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值为4214
. 【点睛】
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
20．设椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>，离心率2
e =，短轴2210b =，抛物线顶
点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为()0,1， （1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设坐标原点为O ,A 为抛物线上第一象限内的点，B 为椭圆是一点，且有
OA OB ⊥，当线段AB 的中点在轴上时，求直线AB 的方程．
【答案】（1） 22
12010
y x += , 24x y = ;(2)28180x y +-=
【解析】（1）根据条件列方程组解得a,b ，根据抛物线焦点坐标所在位置可设抛物线方程形式，再根据焦点坐标求抛物线标准方程，（2）利用斜率设直线OA 、OB 方程，分别与抛物线、椭圆方程联立方程组解得A,B 横坐标，再根据A,B 横坐标和为0解斜率得A,B 坐标，最后根据两点式求直线AB 方程. 【详解】 (1) 由2
2
e =
得2a c =，又有10b =222a b c =+，解得25a =所以椭圆方程为22
12010
y x +=
由抛物线的焦点为()0,1得，抛物线焦点在y 轴，且12
p
=， 抛物线的方程为：2
4x y =
(2)由题意点A 位于第一象限，可知直线OA 的斜率一定存在且大于0 设直线OA 方程为：y kx =，0k >
联立方程2
4y kx x y
=⎧⎨
=⎩得：24x kx =，可知点A 的横坐标4A x k =，即()24,4A k k 因为OA OB ⊥，可设直线OB 方程为：1y x k
=-
连立方程22112010
y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：22
22012k x k =+
，从而得x =若线段AB 的中点在y
轴上，可知B x =
，即B ⎛ ⎝
有4k =，且0k >
，解得4k =
从而得12A ⎫
⎪⎭
，()
B 直线AB
的方程：8180y +-= 【点睛】
直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.
21．已知函数()()ln f x x x ax a R =-∈． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若()0f x a +≥恒成立，求a 的值. 【答案】（1）函数()f x 的单调减区间为(
)1
0,a e -，单调增区间为()1
,a e
-+∞．
（2）1a =
【解析】（1）直接利用导数求得函数()f x 的单调减区间为(
)1
0,a e
-，单调增区间为
()
1
,a e
-+∞．()()2ln 1g x x x a x =--令，其中0x >，由题意知()0g x ≥在()0,+∞上
恒成立，再利用导数求出()1
min a g x a e
-=-≥0，记()1
a G a a e
-=-，再利用导数求得
()max 0G a =，所以10a a e --≤，即1a a e --=0，所以a=1.
【详解】
（1）依题意，()ln 1f x x a '=+-，令()0f x '=，解得ln 1x a =-，故1a x e -=， 故当(
)1
0,a x e
-∈时，函数()f x 单调递减，当()
1
,a x e
-∈+∞时，函数()f x 单调递增；
故函数()f x 的单调减区间为(
)1
0,a e
-，单调增区间为()
1
,a e
-+∞．
（2）()()ln 1g x x x a x =--，其中0x >，
由题意知()0g x ≥在()0,+∞上恒成立，()ln 1g x x a '=+-， 由（1）可知，∴()()()1
min a g x g x g e -==极小 ()()
1
1111a a a a e
a e a e ---=---=-，
∴10a a e --≥，记()1
a G a a e
-=-，则()1
1a G a e
-=-'，令()0G a '=，得1a =．
当a 变化时，()G a '，()G a 的变化情况列表如下：
∴()()()max 10G a G a G ===极大，故10a a e --≤，当且仅当1a =时取等号， 又10a a e --≥，从而得到1a =． 【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的单调区间、极值和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
22．选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x t
C y t
=⎧⎨=+⎩（t 为
参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标
方程为2cos 3πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
（1）求曲线1C 的极坐标方程；
（2）已知点()2,0M ，直线l 的极坐标方程为6
π
θ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，
与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ ∆的面积. 【答案】（1）1:2sin C ρθ=（2）1
【解析】（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线1C 的极坐标方程；
（2）分别联立1C 与l 的极坐标方程、2C 与l 的极坐标方程，得到P 、Q 两点的极坐标，即可求出PQ 的长，再计算出M 到直线l 的距离，由此即可得到MPQ ∆的面积。

【详解】
解：（1）1cos :1sin x t C y t =⎧⎨=+⎩
，
其普通方程为()2
211x y +-=，化为极坐标方程为1:2sin C ρθ=
（2）联立1C 与l 的极坐标方程：2sin 6ρθ
πθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
，解得P 点极坐标为1,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
联立2C 与l
的极坐标方程：2cos 36πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=
⎪⎩
，解得Q 点极坐标为3,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所
以2PQ =，又点M 到直线l 的距离2sin 16
d π
==，
故MPQ ∆的面积1
12
S PQ d =⋅=. 【点睛】
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题。

23．已知()11f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）12x x ⎧⎫
>
⎨⎬⎩⎭
；（2）(]0,2
【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分
段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式
()1f x >的解集为12x x
⎧⎫⎨⎬⎩⎭
； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.
详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
故不等式()1f x >的解集为12x x
⎧⎫⎨⎬⎩⎭
． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以2
1a
≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]
0,2．
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.。