2024-2025学年安徽省合肥一六八中学高三上学期10月月考数学试题及答案

合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷
数学
考生注意：
1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合{
A x x =<，1ln 3
B x x ⎧⎫
=<⎨⎬⎩
⎭，则A B = （ ）
A ．{
x x <
B ．{
x x <
C ．{
0x x <<
D ．{
0x x <<
2．设a ，b 均为单位向量，则“55a b a b -=+
”是“a b ⊥ ”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知数列{}n a 满足()111n n a a +-=，若11a =-，则10a =（ ）
A ．2
B ．－2
C ．－1
D ．
12
4．已知实数a ，b ，c 满足0a b c <<<，则下列不等式中成立的是（ ）
A ．11a b b a
+
>+B ．
22a b a
a b b
+<+C ．
a b b c a c
<
--D ．ac bc
>
5．已知a ∈R ，2sin cos αα+=
，则tan 2α=（ ）A ．
43
B ．
34C ．43
-
D ．34
-
6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）
A ．（1）和（10）
B ．（4）和（5）
C ．（5）和（6）
D ．（4）和（6）
7．设0.1
e
1a =-，1
11
b =
，ln1.1c =，则（ ）A ．b c a
<<B ．c b a
<<C ．a b c
<<D ．a c b
<<
8．定义在R 上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x ⎛⎫
--+=
⎪⎝⎭
，()12024e f =．若
()()0f x f x '+->，则不等式()1
1e
x f x +>
的解集是（ ）A ．()
3,+∞B ．()
,3-∞C ．()
1,+∞D ．()
,1-∞二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．已知O 为坐标原点，点()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()3cos3,sin 3P ，()1,0Q ，则（
）
A ．12
OP OP = B ．12
QP QP =
C ．312
OQ OP OP OP ⋅=⋅ D ．123
OQ OP OP OP ⋅=⋅ 10．三次函数()32f x x ax =++叙述正确的是（ ）
A ．当1a =时，函数()f x 无极值点
B ．函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称
C ．过点()0,2的切线有两条
D ．当a <－3时，函数()f x 有3个零点
11．已知()2sin 2f x x =+，对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得()()123f x f x α=+成立，则下列选项中，α可能的值是（ ）
A ．
3π
4
B ．
4π7C ．
6π7
D ．
8π7
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知复数1+与3i 在复平面内用向量OA 和OB 表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA
与OB
夹角为______．
13．函数2x y m m =-+在(],2-∞上的最大值为4，则m 的取值范围是______．
14．设a 、b 、[]0,1c ∈，则M ______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin 0a C C b c --=．（1）求角A ；
（2）已知8b =，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得ABC △存在，并求出ABC △的面积．
条件①：2
cos 3
B =-
；条件②：7a =；条件③：AC ．（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）
16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/3
m ，年用气量为3
m a ．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/3
m 至2.75元/3
m 之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/3
m ，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k ）．已知天然气的成本价为2.3元/3
m ．
（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y （单位：元）关于实际单价x （单位：元/3
m ）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））
（2）设0.2k a =，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?
17．（15分）已知函数()824
x x x
a f x a +⋅=⋅（a 为常数，且0a ≠，a ∈R ），且()f x 是奇函数．（1）求a 的值；
（2）若[]1,2x ∀∈，都有()()20f x mf x -≥成立，求实数m 的取值范围．18．（17分）已知函数()()2ln f x x x =-（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在()()2
2
e ,e
f 处切线方程；
（3）若()f x m =有两解1x ，2x ，且12x x <，求证：2122e e x x <+<．19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．
（2）①已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅，都是正数，求证：
12n a a a n
++⋅⋅⋅+≥；
②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．
合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷·数学
参考答案、提示及评分细则
题号1234567891011答案
D
C
C
B
B
C
A
C
AC
ABD
AC
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．【答案】D
【解析】1
31ln 0e 3x x <⇒<<，∵23e 2<，∴6
6
113
2e 2⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭．故选D ．
2．【答案】C
【解析】∵“55a b a b -=+ ”，∴平方得222225102510a b a b a b a b +-⋅=++⋅
，即200a b ⋅= ，
则0a b ⋅= ，即a b ⊥
，反之也成立．故选C ．
3．【答案】C 【解析】因为11
1n n
a a +=
-，11a =-，所以212a =，32a =，41a =-，所以数列{}n a 的周期为3，所以
101a =-．故选C ．
4．【答案】B
【解析】对于A ，因为0a b <<，所以
11a b >，所以11
a b b a
+<+，故A 错误；对于B ，因为0a b <<，所以()()()()22
2220222a b b a a b a b a b a a b b a b b a b b
+-++--==<+++，故B 正确；
对于C ，当2a =-，1b =-，1c =时，
13b a c =-，1a b c =-，b a
a c
b c
<--，故C 错误；对于D ，因为a b <，0c >，所以ac bc <，故D 错误．故选B ．5．【答案】B
【解析】2sin cos αα+=
，则()252sin cos 2αα+=，即22
54sin 4sin cos cos 2αααα++=，可
得22
4tan 4tan 15
tan 12
ααα++=+，解得tan 3α=-或13．那么22tan 3tan 21tan 4ααα==-．故选B ．6．【答案】C
【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：1152151015S x x x =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯．
若S 取最小值，则函数()()()(
)222
2
2
2
2
1210101101210
y x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++⋅⋅⋅+也取最小
值，由二次函数的性质，可得函数()
2222101101210y x x =-+++⋅⋅⋅+的对称轴为 5.5x =，又∵x 为正整数，故5x =或6．故选C 7．【答案】A
【解析】构造函数()1ln f x x x =+
，0x >，则()211
f x x x
'=-，0x >，当()0f x '=时，1x =，01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；
1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．
∴()f x 在1x =处取最小值()11f =，∴1
ln 1x x
>-
，（0x >且1x ≠），∴101
ln1.111111
>-
=，∴c b >；构造函数()1e 1ln x g x x -=--，1x >，()1
1e
x g x x
-'=-，∵1x >，1
e
1x ->，1
1x
<，∴()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增，
∴()()10g x g >=，∴ 1.11
e 1ln1.1-->，即0.1e 1ln1.1->，∴a c >．故选A ．
8．【答案】C
【解析】因为()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，因为()()0f x f x '+->，
所以()()0f x f x '+>，令()()e x g x f x =，()()()e 0x
g x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，()g x 在R 上单调递增．
又因为()302f x f x ⎛⎫
--+=
⎪⎝⎭
且()f x 是奇函数，所以()f x 的周期为3，()12024e f =
，则()1
2e
f =，所以()2
12e e e g =⨯
=，则不等式()()()()11
1e 1e 12e
x x f x f x g x g ++>⇒+>⇒+>，因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，即1x >．故选C ．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9．【答案】AC
【解析】∵()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()()()
3cos 12,sin 12P ++，()1,0Q ，
∴()1cos1,sin1OP = ，()2cos 2,sin 2OP =- ，()()()3cos 12,sin 12OP =++ ，()1,0OQ = ，()1cos11,sin1QP =- ，()2cos 21,sin 2QP =-- ，易知121OP OP == ，故A 正确；
∵1QP = ，2QP = ，∴12QP QP ≠ ，故B 错误；()3cos 12cos1cos 2sin1sin 2OQ OP ⋅=+=- ，12cos1cos 2sin1sin 2OP OP ⋅=- ，
∴312OQ OP OP OP ⋅=⋅ ，故C 正确；
1cos1OQ OP ⋅= ，23cos 2cos3sin 2sin 3cos5cos1OP OP ⋅=-=≠ ，故D 错误．故选AC ．
10．【答案】ABD
【解析】对于A ：1a =，()32f x x x =++，()2310f x x '=+>，()f x 单调递增，无极值点，故A 正确；
对于B ：因为()()4f x f x +-=，所以函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称，故B 正确；
对于C ：设切点()()
1,x f x ，则切线方程为()()()111y f x f x x x '-=-，因为过点()0,2，所以
()()()112f x f x x '-=-，331111223x ax x ax ---=--，解得10x =，即只有一个切点，即只有一条切线，
故C 错误；
对于D ：()23f x x a '=+，当3a <-时，()0f x '=，x =，当,x ⎛∈-∞ ⎝时，()0f x '>，
()f x 单调递增，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，
()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 有极大值为20f ⎛=> ⎝，所以若函数()f x 有3
个零点，()f x 有极小值为20f =+<，得到3a <-，故D 正确．故选ABD ．
11．【答案】AC
【解析】∵π0,2
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，∴[]1sin 0,1x ∈，∴()[]12,4f x ∈，
∵对任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2
x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得()()123f x f x a =+成立，
∴()2min 23f x α+≤
，()2max 4
3
f x α+≥，∴()2sin 2f x x =+，∴()2min 2sin 3x α+≤-，()2max 1sin 3x α+≥-，sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．在3π,2π2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增．当3π4α=
时，23π5π,44x α⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
，()2max 3π1sin sin 043x α+=>>-，(
)2min
5πsin sin 4x α+==2
3
<-，故A 正确，
当4π7α=
时，24π15π,714x α⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 15π7π12sin sin sin 14623x α+=>=->-，故B 错误，当
6π7α=
时，26π19π,714x α⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
，()2max 6π1sin sin 073x α+=>>-，()2min 19πsin sin 14x α+=<4π
2
sin
33
=<-，故C 正确，当8π7α=
时，28π23π,714x α⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
，()2max 8π9π1sin sin sin 783x α+=<=<-．故错误．故选AC ．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．【答案】
π
6
【解析】由题知(OA = ，()0,3OB = ，cos ,OA OB OA OB OA OB
⋅==
⋅
π6AOB ∠=．故本题答案为
π6
．13．【答案】(]
,2-∞【解析】当0m ≤时，函数2x y m m =-+的图象是由2x
y =向上平移m 个单位后，再向下平移m 个单位，函数图象还是2x
y =的图象，满足题意，当02m <≤时，函数2x y m m =-+图象是由2x
y =向下平移m 个单位后，再把x 轴下方的图象对称到上方，再向上平移m 个单位，根据图象可知02m <≤满足题意，2m >时不合题意．
故本题答案为(],2-∞．
14．3
【解析】不妨设01a b c ≤≤≤≤，则M =
，
≤=
∴3
3M =
+≤
+≤，
当且仅当b a c b -=-，0a =，1c =，即0a =，1
2
b =
，1c =时，等号成立．
3+．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．【解析】（1）因为cos sin 0a C C b c +--=，
由正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=．
即：()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=，
()sin cos sin sin 0sin 0A C A C C C --=>cos 1A A -=，即π1
sin 62
A ⎛
⎫-
= ⎪
⎝
⎭，因为0πA <<，所以ππ66A -=，得π3A =；（2）选条件②：7a =．
在ABC △中，由余弦定理得：2
2
2
2cos a b c bc A =+-，即2
2
2
π
7816cos
3
c c =+-⋅．整理得2
8150c c -+=，解得3c =或5c =．
当3c =时，ABC △的面积为：1
sin 2
ABC S bc A =
=△，
当c=5时，ABC △的面积为：1
sin 2
ABC S bc A =
=△，
选条件③：AC
，设AC 边中点为M ，连接BM
，则BM =
，4AM =，
在ABM △中，由余弦定理得222
2cos BM AB AM AB AM A =+-⋅⋅，即2
π21168cos
3
AB AB =+-⋅．整理得2
450AB AB --=，解得5AB =或1AB =-（舍）．所以ABC △
的面积为1
sin 2
ABC S AB AC A =
⋅⋅=△．16．【解析】（1）()2.32.4k y a x x ⎛⎫
=+-
⎪-⎝⎭
，[]2.55,2.75x ∈；
（2）由题意可知要同时满足以下条件：()()[]0.2 2.3 1.2 2.8 2.32.42.55,2.75a a x a x x ⎧⎛⎫
+-≥-⎪
⎪-⎝⎭
⎨⎪∈⎩
，∴2.6 2.75x ≤≤，即单价最低定为2.6元/3
m ．17．【解析】（1）()11
22
x x f x a =
⨯+，因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以
111
12222x x x x a a
⎛⎫
⨯+=-⨯+ ⎪⎝⎭
，所以111202x x
a ⎛⎫⎛⎫
++=
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
，所以110a +=，1a =-；（2）因为()122x x f x =
-，[]1,2x ∈，所以22112222x x x
x m ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭
，所以122x x m ≥+，[]1,2x ∈，令2x
t =，[]1,2x ∈，[]2,4t ∈，由于1
y t t
=+在[]2,4单调递增，所以117444
m ≥+
=．18．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()1ln f x x '=-，当()0f x '=时，e x =，当()0,e x ∈
时，
()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在区间()0,e 内为增函数，在区间()e,+∞为减函数；
（2）()
2e 0f =，()
22e 1ln e 1f '=-=-，所以()(
)2
2
e ,e
f 处切线方程为：()()2
01e y x -=--，
即2
e 0x y +-=；
（3）先证122e x x +>，由（1）可知：2120e e x x <<<<，要证12212e 2e x x x x +>⇔>-，也就是要证：()()()()21112e 2e f x f x f x f x <-⇔<-，
令()()()2e g x f x f x =--，()0,e x ∈，则()()()2ln 2e 2ln e 2e e 0g x x x '=--≥--=，所以()g x 在区间()0,e 内单调递增，()()e 0g x g <=，即122e x x +>，再证212e x x +<，由（2）可知曲线()f x 在点()
2e ,0处的切线方程为()2e x x ϕ=-，令()()()()()
222ln e 3ln e m x f x x x x x x x x ϕ=-=---+=--，
()2ln m x x '=-，∴()m x 在e x =处取得极大值为0，
故当()0,e x ∈时，()()f x x ϕ<，()()12m f x f x ==，则()()2222e m f x x x ϕ=<=-，即22e m x +<，
又10e x <<，()()111111112ln 1ln m f x x x x x x x x ==-=+->，∴2122e x x m x +<+<．
19．【解析】（1）将20分成正整数1,,n x x ⋅⋅⋅之和，即120n x x =+⋅⋅⋅+，假定乘积1n p x x =⋅⋅⋅已经最大．若
11x =，则将1x 与2x 合并为一个数1221x x x +=+，其和不变，乘积由122x x x =增加到21x +，说明原来的
p 不是最大，不满足假设，故2i x ≥，同理()21,2,,i x i n ≥=⋅⋅⋅．
将每个大于2的22i i x x =+-拆成2，2i x -之和，和不变，乘积()224i i i x x x -≤⇒≤．故所有的i x 只能取2，3，4之一，而42222=⨯=+，所以将i x 取2和3即可．
如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p 中2的个数不超过2个．那只能是202333333=++++++，最大乘积为6
321458⨯=；（2）①证明：先证：1
e
x x -≥．
令()1e x f x x -=-，则()1e 1x f x -'=-，()10f '=，且()()10f x f ≥=，
1-≥
1,2,,i n =⋅⋅⋅，
1111--≥=，
1n ≥
0n ≥
，∴
12n a a a n
++⋅⋅⋅+≥②让n 固定，设n 个正实数1,,n x x ⋅⋅⋅之和为20，
1
20n x x n n +⋅⋅⋅+≤=，1220n
n p x x x n ⎛⎫
=⋅⋅⋅≤ ⎪⎝⎭，要是20n
n ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，20ln n
n ⎛⎫
⎪⎝⎭
最大即可，
令()()20ln ln 20ln t
g t t t t ⎛⎫==- ⎪
⎝⎭
，其中*
t ∈N ，()20ln ln e g t t '=-，∴7t ≤时，()g t 单调递增，8t ≥时，()g t 单调递减，
而()()()()
87787ln 207ln 78ln 208ln 8ln 8ln 7200g g -=---=-⨯>，
所以这些正实数乘积的最大值为7
207⎛⎫
⎪⎝⎭
．。