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函数中易混易错的十个问题
函数是高中数学的主干知识，在学习中应注意理解有关概念的内涵，甄别易混易错的概念，深入分析函数的性质。

下面就几个易混易错的问题举例说明。

一、复合函数[]()f g x 的定义域与复合函数的外层函数)(x f 的定义域
复合函数[]()f g x 的定义域受函数()f x 的定义域的制约，如“已知()f x 的定义域为[],a b ，求[]()f g x 的定义域”是指求满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围；而“已知复合函数[]()f g x 的定义域为[]
,a b ”就是指b x a ≤≤，则()f x 的定义域为()x g 在x ∈[]b a ,上的值域． 例1.（1）设函数)(x f 的定义域为[0,2]，求函数)12(-x f 的定义域：
解： 由2120≤-≤x 解得21-
≤x ≤23. 从而)12(-x f 的定义域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-23,21. （2）设函数)12(-x f )的定义域为[0,2]，则)(x f 的定义域为____________.
解：)(x f 的定义域即()|12|-=x x g 在[0,2]上的值域.
由0≤x ≤2得-1≤2x-1≤3，从而0≤|2x-1|≤3.
所以)(x f 的定义域为[0,3].
练习：
1．已知函数)(x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，求函数()2+x f 的定义域和值域。

答案：[-2，-1] ，[1，2]
2．已知函数)2x 2(f -的定义域是[0，2]，求f （-3x ）的定义域
由函数)2x 2(f -的定义域是[0，2]，可得2x 0≤≤，有22x 22≤-≤-，
故f （x ）的定义域为[－2，2]
二、函数的定义域为A 与函数在A 上恒有意义
“函数在A 上恒有意义”中的A 是()f x 的定义域的一个子集，是不等式恒成立问题；而“函数的定义域为A ”中的A 是使函数有意义的自变量取值范围。

例2．已知函数m x f x x ⋅++=421)(
(1)若此函数在]1,(-∞上有意义，求m 的取值范围.
(2)若此函数的定义域为]1,(-∞ ，求m 的取值范围.
解：（1）因为函数m x f x x ⋅++=421)(在]1,(-∞ 上有意义，
即0421≥⋅++m x x 对]1,(-∞∈x 恒成立，x x m )2
1()41
(--≥ 令x x x u )2
1
()41()(--=则)(x u 在]1,(-∞上单调递增 又∵43)1(-=u ∴43-≥m （2）若函数m x f x x ⋅++=421)(的定义域为]1,(-∞ ，则1240x x m ++≥的解集]1,(-∞ 从而有0)2
1()41
(≥++m x x 的解为1≤x 易解得2411)21
(m x -+-≥ 即2411log 2
1m x -+-≤ ∴12
411log 21
=-+-m 解得43-=m 练习：已知函数()
212()log 23f x x ax =-+，解答下列问题：
（1）若函数在[)1,-+∞内有意义，求实数a 的取值范围；
（2）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值；
解：记222()23()3u g x x ax x a a ==-+=-+-。

（1）“函数在[
)1,-+∞内有意义”等价于“()u g x =0>对[)1,x ∈-+∞恒成立”， 1
(1)0a g <-⎧∴⎨->⎩或214120a a ≥-⎧⎨∆=-<⎩，解之得：2a -<< （2）“函数的定义域为()(),13,-∞⋃+∞”等价于“不等式2230x ax -+>的解为1x < 或3x >”
121,3x x ∴==是方程2230x ax -+=的两根，
⎩⎨⎧==+∴322
121x x a x x 则2=a 三、函数)(x f 的值域为A 与)(x f ∈A
“)(x f ∈A ”说明()f x 的值域是A 的一个子集；“函数的值域为A ”中的A 是()f x 的值域，其解法是先求出()f x 的值域，与已知值域相同，通过比较系数建立含参数的方程.
例3．已知函数2
()426,()f x x ax a x R =-++∈
（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求a 的值；
（2）若函数的值均为非负值，求a 的取值范围。

解：（1）Δ=2(4)4(26)0a a -+=
2230a a ⇒--= ∴312
a =-或
（2）函数的值均为非负值即),0[)(+∞∈x f ∴Δ3012
a ≤⇒-≤≤ 练习：已知函数()
212()log 23f x x ax =-+
（1）若函数的值域为(],1-∞-，求实数a 的值；
（2）若)(x f 的值不大于1-，求实数a 的取值范围。

解：（1）由对数函数的性质易得：322+-=ax x u 的值域为[)2,+∞
又∵2223)(32a a x ax x u -+-=+-= ∴232=-a 即1±=a
（2）若)(x f 的值不大于1-， 322+-=ax x u 的值不小于2
∴232≥-a 即11≤≤-a
四、二次与对数的复合函数的定义域为R 与函数的值域为R
上面两个问题建立在函数的定义域与值域不同概念之上，处理的办法是截然不同的，下面结合例题来说明.
例4．已知函数()
212()log 23f x x ax =-+，解答下列问题：
（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；
（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；
解：（1）由题意知：对一切x R ∈，0u >恒成立，2min 30u a ∴=->，
a <a 的取值范围是：(。

（2）“函数的值域为R ”等价于“()u g x =能取遍()0,+∞的一切值”，
∴()u g x =的判别式()()22120,,a a ∆=--≥∴∈-∞⋃+∞。

练习：已知函数]4
1
)1([log )(2+-+=x m mx x f a （1）定义域是R ，求实数m 的取值范围；
（2）值域是R ，求实数m 的取值范围。

解：（1）因为函数]41)1([log )(2+-+=x m mx x f a 的定义域是R ，
故而对任意R x ∈有 04
1)1(2>+-+x m mx 恒成立。

01.当0m =时，不符合题意；
02.当0m ≠时，由二次函数的性质可得：
{20
(1)0m m m m >∆=--<⇔<<
综上，实数m 的取值范围为20
(1)0m m m m >∆=--<⇔
<<； （2）因为函数]41
)1([log )(2+-+=x m mx x f a 的值域是R 等价于4
1)1()(2+-+=x m mx x u 取遍()0,+∞的一切值
01.当0m =时，符合题意；
02.当0m ≠时，0)1(2≥--=∆m m 解的2
53253+≥-≤m m 或 综上，实数m 的取值范围为2
53253+≥-≤m m 或 五、函数)(x f 的单调增（减）区间为A 与)(x f 在区间A 上为单调增（减）函数
函数在某区间A 上是增(减)函数，则此区间是函数增(减)区间的子集；函数)(x f 的单调增(减)区间为A ，其解法是先求出)(x f 的单调增(减)区间，与已知单调增(减)区间相同，通过比较系数建立含参数的方程.
例5．（1）函数3)(2+-=ax x x g 的增区间是),2[+∞，求实数a 的取值范围。

（2）设函数3)(2+-=ax x x g 在),2[+∞上是增函数，求实数a 的取值范围。

解：（1）函数3)(2+-=ax x x g 的增区间是),2[+∞，则恰有
22=a ，可知4=a （2）函数3)(2+-=ax x x g 的对称轴为2a x =，只需22≤a ，解得4≤a ，即]4,(-∞∈a
练习：1、若函数)(log 22
1a ax x y --=在区间(,1-∞上是增函数，求实数a 的取值范围。

解：令2
()u g x x ax a ==--， ∵函数u y 2
1log =在定义域上为减函数，
∴2()u g x x ax a ==--在区间(,1-∞上递减，且满足0u >在区间(,1-∞上恒成立
∴12(10a g ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩
，解得22a -≤，所以，a
的取值范围为[2-．
2、是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在,说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由.
解： 设x ax )x (u 2-=, 对称轴a 21x =.(1) 当1a >时, 1a 0
)2(u 2a 21>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤; (2) 当1a 0<<时, 无解⎪⎩⎪⎨⎧>≥0
)4(421u a . 综上所述: 1a >
六、复合函数)]([x g f 的奇偶性与复合函数的外层函数)(x f 的奇偶性
若函数)(a x f +是偶函数，则)()(a x f a x f +=+-即函数)(x f 的图象关于直线a x =对称；若函数)(a x f +是奇函数，则)()(a x f a x f +-=+-即)2()(x a f x f --=，也就是函数)(x f 的图象关于点)0,(a 中心对称；
若函数)(x f 是偶函数，则)()(a x f a x f +=--；
若函数)(x f 是奇函数，则)()(a x f a x f +-=--
例6．已知函数)1(+x f 是偶函数，且1<x 时，1)(2+=x x f ，求1>x 时)(x f 的解析式. 解析：关键是理解“)1(+x f 是偶函数”的意义为)1()1(+=+-x f x f 即函数)(x f 的图象关于直线1=x 对称；然后利用对称性将1>x 上)(x f 的解析式求解转化到1<x 上的解析式计算. 解：设1>x ，则12<-x ，由题1)2()2(2+-=-x x f ，
由函数)1(+x f 是偶函数有)1()1(+=+-x f x f 即)2()(x f x f -=
∴541)2()(22+-=+-=x x x x f 故1>x 时)(x f 的解析式为54)(2+-=x x x f
练习：已知函数)(x f 的定义域为R ，且)2(+x f 为偶函数，)4(+x f 为奇函数，则)(x f 是( )
A ．奇函数且周期函数 B.奇函数且非周期函数
C ．偶函数且周期函数 D.偶函数且非周期函数
解析：关键抓住两个已知条件①)2(+x f 为偶函数有)2()2(+=+-x f x f 即)
4()(x f x f -=
②)4(+x f 为奇函数”即)8()(x f x f --= 在①中令x 为4+x 得)4()(+=-x f x f ，在②中令x 为4+x 得)4()4(x f x f --=+，
于是)()4()4()(x f x f x f x f -=--=+=-，从而)(x f 是奇函数.
由)()4(x f x f -=+得)()8(x f x f =+从而知函数)(x f 是周期函数
七、方程0)(=x f 在A 内有解与方程0)(=x f 的解在A 内
方程f(x)＝0在A 内有解，只要求方程0)(=x f 在A 内至少有一解就可以了，并不要求方程的所有解都在A 内；方程0)(=x f 的解在A 内要求方程的所有解均在A 内.
例7．(1)关于x 的方程01222=-+-m mx x 在区间(2,5)内有解，求m 的取值范围；
(2)关于x 的方程01222=-+-m mx x 的解在区间(2,5)内，求m 的取值范围.
解：(1)易求得11-=m x ，12+=m x
由题意有512<-<m 或512<+<m 即63<<m 或41<<m ，故61<<m .
(2)由题意有512<-<m 且512<+<m ，解得43<<m .
练习：
1、若关于x 的方程4)lg()lg(2
=ax ax 的所有解都大于1，求a 的取值范围． 解：由原方程可化为
，变形整理有
（*）
， ，由于方程（*）的根为正根，则
解之得 ，从而
说明：方程（*）不是关于 的方程，而是关于
的一元二次方程，故求出 的范 围，另外，解得 ，其中a 是真数，不要忽略0>a
2、已知函数33log )(+-=x x x f f(x)=log m 3
3+-x x (1)若)(x f 的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断)(x f 在定义域上的单调性，并加以说明；
(2)当10<<m 时，使)(x f 的值域为[])]1([log )],1([log --αβm m m m 的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.
命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.
知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.
错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.
技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.
解：（1）⇔>+-03
3x x x ＜–3或x ＞3. ∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3
设β≥x 1＞x 2≥α，有0)
3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f(x)为减函数，当m ＞1时，f(x)为增函数.
（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［log m m(β–1),log m m(α–1)］
∵0＜m ＜1, f(x)为减函数. ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m
即3,0)1(3)12(0)1(3)12(22>>⎪⎩
⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m 即α,β为方程mx 2
+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>--
>+-=∆<<0
)3(3212011616102mf m
m m m m ∴0＜m ＜432- 故当0＜m ＜4
32-时，满足题意条件的m 存在. 八、不等式恒成立与有解
解决不等式恒成立和有解问题的基本策略常常是构造辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。

不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下等价转化应细心思考，甄别差异，恰当使用，切不可混为一团。

（1）不等式f(x)<k 在x ∈I 时恒成立•
k •x f ,)(max <⇔x ∈I. 或f(x)的上界小于或等于k ； （2）不等式f(x)<k 在x ∈I 时有解•
k •x f ,)(min <⇔x ∈I. 或f(x)的下界小于k ； （3）不等式f(x)>k 在x ∈I 时恒成立•
k •x f ,)(min >⇔x ∈I. 或f(x)的下界大于或等于k ； （4）不等式f(x)>k 在x ∈I 时有解•
k •x f ,)(max >⇔x ∈I. 或f(x)的上界大于k ； 例8．已知两函数k x x x f -+=168)(2，x x x g 45)(2+=，其中k 为实数。

（1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；
（2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；
（3）对任意x 1、x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)，求k 的取值范围。

解：（1）设h(x)=g(x)-f(x)=-3x 2-12x+k ，问题转化为x ∈[-3，3]时，h(x)≥0恒成立
∴x x k 1232+≥对]3,3[-∈x 恒成立，
而6312)23(3)123(2max 2=-+=+x x 故63≥k
（2）据题意：存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，即为h(x)=g(x)-f(x)≥0在x ∈[-3，3]有解，
∴x x k 1232+≥在]3,3[-上有解，
而12)123(min 2-=+x x 故12-≥k
（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x 1，x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x 1，x 2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的条件是：]3,3[,)()(min max ••x •x g x f -∈≤
54)52(545)(22-+=+=x x x x g ∵5
4)(min -=x g 又∵k x k x x x f --+=-+=8)1(8168)(22]3,3[•x -∈. .120)3()(max k f x f -== 故54.120-≤-k 得5
604≥k 练习：1、（1）已知函数3ax )x (f -=的定义域为),3[+∞，求实数a 的取值范围。

（2） 已知函数),3[x 3ax )x (f +∞∈-=在上有意义，求实数a 的取值范围。

解：（1）因函数f （x ）的定义域为[3，)∞+，即不等式03ax ≥-的解集为[3，)∞+，有3ax ≥。

①当a=0时，∅∈x ，不合题意。

②当a<0时，a
3x ≤
，不合题意。

③当a>0时，}a 3x |x {≥是不等式03ax ≥-的解集，所以3a 3=，即a=1为所求。

综上可知实数a 的取值范围是}1a |a {=。

（2）由题意知),3[x 3ax )x (f +∞∈-=在上有意义，即不等式),3[x 03ax +∞∈≥-在上恒成立。

①当a>0时，不等式),3[a 3x +∞≥
在上恒成立，令x )x (g =，),3[x +∞∈，3)x (g min =，从而3a
3≤，所以1a ≥。

②当a=0时，显然不合题意。

③当a<0时，a
3x ≤
，令g （x ）=x ，),3[x +∞∈时没有最大值，不合题意。

综上可知实数a 的取值范围是[1，)∞+。

点评：函数在某个区间上有意义（即在此区间上不等式恒成立），此区间是函数定义域的子集。

2、定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x 都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x 可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．
(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R )， ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，所以f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
f(k ·3x )＜-f(3x -9x -2)=f(-3x +9x +2)， k ·3x ＜-3x +9x +2，
32x -(1+k)·3x
+2＞0对任意x ∈R 成立．
令t=3x ＞0，问题等价于t 2-(1+k)t+2＞0对任意t ＞0恒成立．
R 恒成立．
说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x ∈R 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t 2-(1+k)t+2对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：
分离系数由k ·3x ＜-3x +9x +2得
上述解法是将k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．
九、多元函数的自变量与参变量
例9．（1） 对于任意]4,0[x ∈，不等式3a x 4ax x 2-+≥+恒成立，求实数a 的取值范围。

（2） 对于任意]4,0[a ∈，不等式3a x 4ax x 2-+≥+恒成立，求实数x 的取值范围。

解：（1）原不等式转化为03a x )4a (x 2≥+--+，设其解集为A 。

对于任意]4,0[x ∈，不等式3a x 4ax x 2-+≥+恒成立，所以A ]4,0[⊆。

又--=+--+x )[1x (3a x )4a (x 2
)]a 3(-，即原不等式为0)]a 3(x )[1x (≥---。

①当1a 3>-，即2a <时，}a 3x 1x |x {A -≥≤=或。

②当1a 3=-，即a=2时，A=R 。

③当1a 3<-，即a>2时，}1x a 3x |x {A ≥-≤=或。

要使A ]4,0[⊆，显然有a=2。

综上知实数a 的取值范围是}2a |a {=。

解：（2）不等式3a x 4ax x 2-+≥+恒成立，即03x 4x a )1x (2≥+-+-恒成立。

令3x 4x a )1x ()a (f 2+-+-=，对于任意]4,0[a ∈，要使0)a (f ≥恒成立，只需min )a (f ≥0即可。

故01x )4(f 03x 4x )0(f 22≥-=≥+-=且，解得3x 1x ≥-≤或或x=1。

因此实数x 的取值范围是}1{],3[)1,( +∞--∞。

点评：例12构造了函数f （a ），它可以是一次函数也可以为常数函数，不必进行讨论。

此题为a 变化时不等式恒成立问题，此时a 可以看作一个函数的自变量，把x 看作参变量，通过转换“身份”，使问题得到解决。

练习.已知函数32324)(x ax x x f -+=，设关于x 的方程33
12)(x x x f +=的两个非零实根为21,x x 。

试问：是否存在实数m ，使得不等式2121x x tm m -≥++对任意∈a ]1,1[-及]1,1[-∈t 恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

详细解答见阅读材料（4）《含参不等式恒成立问题的化归策略》例6
十、函数y f a x =+()与y f b x =-()的图象的对称轴与满足)(x a f +)(x b f -=的函数f x ()的对称轴
结论“如果函数y f x =()对于定义域内的任意x 都有f a x f b x ()()+=-成立，那么函数f x ()的图象关于直线x a b =+2
对称”阐述的是图象的自对称性，而前面说的是两个函数y f a x =+()和y f b x =-()图象的互对称性，这两者是有区别的。

设函数y f a x =+()与
y f b x =-()图象关于直线x m =对称，
由函数y f a x =+()求得其图象关于直线x m =对称图象对应的函数应为[]y f a m x =+-()2，所以有函数[]y f a m x =+-()2与函数y f b x =-()
为同一函数，即有a m x b x +-=-()2，从而有m b a =
-2，即它们的对称轴为x b a =-2。

所以有结论：函数y f a x =+()的图象与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。

例10．判断下列说法的正确性:
① 若函数f(x)满足f(1 - x) = f(1 + x),x ∈R,则函数 f(x)的对称轴为直线x = 1; ② 若函数f(x)满足f(1 - x) = f(3+ x),x ∈R,则函数f(x)的对称轴为直线x = 2; ③ 函数y = f(1 - x)与函数y = f(1 + x)的图像关于直线x = 0对称;
④ 函数y = f(1 - x)与函数y = f(x - 1)的图像关于直线x = 0 对称.
解析 ①,②是函数的自身的对称问题(自对称),而③,④是两个函数的对称关系(互对称). 现提供对②,④的一种解释. ②因为函数f(x)满足f(1 - x) = f(3 + x),x ∈R,即 f[2 - (1 + x)] = f[2 + (1 + x)],所以f(x)关于直线x = 2 对称;④因为y = f(-x)与y = f(x)关于直线x = 0对称,而将y = f(-x)与y = f(x) 分别向右平移1个单位得到函数 y = f(1 - x)与函数y = f(x - 1)的图像,所以,y = f(-x)与y = f(x)的对称轴也向右平移了1个单位,即得结论.
解函数问题经常会用到一些常见结论，想不弄混淆，唯一的解决办法是要知其然，还要知其所以然，这样才能融会贯通。