小学数学奥数测试题因数与倍数_人教版

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2019年小学奥数数论专题——因数与倍数
1．数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
2．一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积．这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少?
3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
4．今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等．那么最多可分多少堆?
5．加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人?
6．有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米．如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3人又可以相聚?
7． 3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步．开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长
51千米，中圈跑道长41千米，外圈跑道长83千米．甲每小时跑2
13千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米．问他们同时出发，几小时后，3人第一次同时回到出发点?
8．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90．如果甲数是18，那么乙数是多少?
9． A ，B 两数都仅含有质因数3和5，它们的最大公约数是75．已知数A 有12个约数，数B 有l0个约数，那么A ，B 两数的和等于多少?
10．有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693．这两个自然数的差等于多少?
11．两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60．问这样的自然数共有多少组?
12．3个连续的自然数的最小公倍数是9828，那么这3个自然数的和等于多少?
13．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?
14． a>b>c 是3个整数．a ，b ，c 的最大公约数是15；a ，b 的最大公约数是75；a ，b 的最小公倍数是450；b ，c 的最小公倍数是1050．那么c 是多少?
15．有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是多少?
16．把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？
17．一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？
18．有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？
19．把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？
20．教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？
21．现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？
22．用19:这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数．
23．用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是___________．
24．两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．
25．一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？
26．一次考试，参加的学生中有1
7
得优，
1
3
得良，
1
2
得中，其余的得差，已知参加考试
的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？
27．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?
28．一次考试，参加的学生中有1
7
得优，
1
4
得良，
1
3
得中，其余的得差，已知参加考试
的学生不满100人，那么得差的学生有多少人？
29．动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？
30．大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米．由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印．求圆形花圃的周长．
31．甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？
32．有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米．已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可以首次相聚？
33．已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数．
34．已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？35．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数．
36．两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数．
37．甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是
1
1
8
.乙数是
_____.
38．马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是______. 39．甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？40．如图，鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A、B开始向另一端挖洞。

老鼠对鼹鼠说：“你挖完后，我再挖。

”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少个洞？
41．有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？
42．在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
43．已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是多少？
44．已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数．
45．如图，A、B、C是三个顺次咬和的齿轮，当A转4圈时，B恰好转3圈：当B转4圈时，C恰好转5圈，则A、B、C的齿数的最小数分别是多少？
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46．求满足条件
1111001
a b +=的a 、b 的值(a 、b 都是四位数)． 47．N 为自然数，且1N +，2N +、……、9N +与690都有大于l 的公约数．N 的最小值为多少？
48．一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？
49．如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍．现有一个整数n ，除掉它的约数1和n 外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n 有哪些？
50．在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？
51．恰有8个约数的两位数有________个．
52．在三位数中，恰好有9个约数的数有多少______个？
53．能被2145整除且恰有2145个约数的数有 个．
54．能被210整除且恰有210个约数的数有 个．
55．1001的倍数中，共有 个数恰有1001个约数．
56．已知偶数A 不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求4A 的约数的个数.
57．自然数N 有45个正约数。

N 的最小值为 。

58．已知A 数有7个约数，B 数有12个约数，且A 、B 的最小公倍数[],1728A B =，则B = ．
59．如果一个自然数的2019倍恰有2019个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？
60．设A 共有9个不同的约数，B 共有6个不同的约数，C 共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？
61．已知自然数A 、B 满足以下2个性质：（1）A 、B 不互质 （2）A 、B 的最大公约数与最小公倍数之和为35。

那么A+B 的最小值是多少？
62．两个整数A 、B 的最大公约数是C ，最小公倍数是D ，并且已知C 不等于1，也不等于A 或B ，C+D=187，那么A+B 等于多少？
63．10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？
64．有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693，这两个自然数的差是 ．
参考答案
1．24，1170
【解析】
360分解质因数；360＝2×2×2×3×3×5＝23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c，(其中a，b，c均是整数，且a为0～3，b为0～2，c 为0～1) ．
因为a、b、c的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)＝24．
我们先只改动关于质因数3的约数，可以是1，3，32，它们的和为(1+3+32)；所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数，可以是1，2，22，23，它们的和为(1+2+22+23)；所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数，可以是1，5，它们的和为(1+5)；所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
现在，我们计算出值了：13×15×6＝1170．
所以，360所有约数的和为1170．
评注：我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法．下面我们给出一般结论：
Ⅰ．一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为23×52×7，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24个．(包括1和它自身)
Ⅱ．约数的和是在严格分解质因数后，将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000＝23×3×53×7，所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)＝74880．
2．96
【解析】
设这个数为A，有A＝25×33×56×7，我们可以一一列出它所有的两位数的约数，有25×3＝96为其最大的两位数约数．
3．361，400，441，484，529，576，625
【解析】
一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为23×52×7，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24个．(包括1和它自身)
如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个，这样它们加1后均是奇数，所得的乘积还能是奇数．而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数．即完全平方数(除0外)有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数．
由以上分析知，我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数？
18×18＝324，19×19＝361，25×25＝625，26×26＝676，所以在360～630之间的完全平方数为192，202，212，222，232，242，252．
即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361，400，441，484，529，576，625．4．14
【解析】
显然堆数是42的约数，是112的约数，是70的约数．即为42，112，70的公约数，有(42，112，70)＝14．
所以，最多可以分成14堆．
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5．10
【解析】
为了使生产均衡，则每道工序每小时产生的零件个数应相等，设第一、二、三道工序上分别有A 、B 、C 个工人，有6A ＝10B ＝15C ＝k ，那么k 的最小值为6，10，15的最小公倍数，即
[6，10，15]＝30．
所以A ＝5，B ＝3，C ＝2，则三道工序最少共需要5+3+2＝10名工人．
6．30
【解析】
设在x 分钟后3人再次相聚，有甲走了120x 米，乙走了100x 米，丙走了70x 米，有他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．
即120x －100x ，120x －70x ，100x －70x 均是300的倍数，那么300就是20x ，50x ，30x 的公约数．
有(20x ，50x ，30x)＝300，而(20x ，50x ，30x)＝x(20，50，30)＝10x ，所以x ＝30． 即在30分钟后，3人又可以相聚．
7．6
【解析】 甲跑完一圈需
51÷213＝352小时，乙跑一圈需41÷4＝161小时，丙跑一圈需83÷5＝40
3．则他们同时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为352，161，403的倍数，即它们的公倍数． 而⎥⎦⎤⎢⎣⎡403161352，，＝)401635(]312[，，
，，＝16＝6． 所以，6小时后，3人第一次同时回到出发点．
评注：求一组分数的最小公倍数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最小公倍数作为新分数的分子，将分母的最大公约数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；
求一组分数的最大公约数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最大公约数作为新分数的分子，将分母的最小公倍数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最大公约数．
8．30
【解析】
有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积．
有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90＝540，则乙数为540÷18＝30．
9．2550
【解析】
由题意知A 可以写成3×52×a ，B 可以写成3×52×b ，其中a 、b 为整数且只含质因子3、5．
即A ＝31+x ×52+y ，B ＝31+m ×52+n ，其中x 、y 、m 、n 均为自然数(可以为0)
由A 有12个约数，所以[(1+x)+1]×[(2+y)+1]＝(2+x)×(3+y)＝12，所以⎩
⎨⎧==02y x ，⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==4
0y x ．对应A 为31+2×52＝675，31+1×52+1＝1125，或31+0×52+4＝46875；
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由B 有10个约数，所以[(1+m)+1]×[(2+n)+1]＝(2+m)×(3+n)＝10，所以⎩
⎨⎧==20n m ．对应B 为31+0×52+2
＝1875．
只有(675，1875)＝75，所以A ＝675，B ＝1875．
那么A ，B 两数的和为675+1875＝2550．
解法二：易知A 、B 中有一个数质因数中出现了两次5，多于一次3，那么，先假设它出现了N 次3，则约数有：
(2+1)×(N+1)＝3·(N+1)个
12与10其中只有12是3的倍数，所以3(N+1)＝12，易知N ＝3，这个数是A ，即A ＝33×5
2＝675．
那么B 的质数中出现了一次3，多于两次5，则出现了M 次5，则有：(1+1)×(M+1)＝2(M+1)
＝10，M ＝4．B ＝3×54＝1875．
那么A ，B 两数的和为675+1875＝2550．
10．33
【解析】
设这两数为a ，b ，记a=(a,b)q 1，b=(a,b)q 2．
它们的和为：a+b ＝(a,b)q 1+(a,b)q 2 =(a,b)(q 1+q 2)=297．…………………①
它们的最大公约数与最小公倍数的和为：
[a,b]＋(a,b)=(a,b)q 1q 2+(a,b)＝(a,b)(q 1q 2+1)=693，且(q 1,q 2)=1.………②
综合①、②知(a ，b)是297，693的公约数，而(297，693)＝99，所以(a ，b)可以是99，33，11，9，3，1．
(a ，b)＝99，则(q 1+q 2)＝3，(q 1q 2+1)＝7，即q 1q 2＝6＝2×3，无满足条件的q 1，q 2；
(a ，b)＝33，则(q 1+q 2)＝9，(q 1q 2+1)＝21，即q 1q 2＝20＝22×5，则q 1＝5，q 2
＝4时满足，a ＝(a,b)q 1＝33×5＝165，b ＝(a,b)q 2＝33×4＝132，则a-b
＝165－132＝33； (a ，b)＝11，则(q 1+q 2)＝27，(q 1q 2+1)＝63，即q 1q 2＝62＝2×31，无满足条件的q 1，q 2；
一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的的q 1，q 2．
所以，这个两个自然数的差为33．
11．10
【解析】
设这两数为a ，b ，记a=(a,b)q 1，b=(a,b)q 2．
它们的和为：a+b ＝(a,b)q 1+(a,b)q 2 =(a,b)(q 1+q 2)=60．…………………①
它们的最大公约数与最小公倍数的和为：
[a,b]＋(a,b)=(a,b)q 1q 2+(a,b)＝(a,b)(q 1q 2+1)=60，且(q 1,q 2)=1.………②
联立①、②有(q 1+q 2)= (q 1q 2+1)，即q 1+q 2-q 1q 2=1，(q 1-1)(1-q 2)=0，所以q 1＝1或q 2＝1． 即说明一个数是另一个数的倍数，不妨记a ＝kb(k 为非零整数)， 有⎩
⎨⎧=+=+=+=+=+60],[),(60kb b a b b a b a b kb b a ，即(k+1)b ＝60，b 确定，则k 确定，则kb 即a 确定． 60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b 可以等于2，3，4，5，6，10，12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果b ＝60，则(k+1)＝1，而k 为非零整数．
对应的a 、b 有10组可能的值，即这样的自然数有10组．
进一步，列出有(a,b)为(58，2)，(57，3)，(56，4)，(55，5)，(54，6)，(50，10)，(48，
12)，(45，15)，(40，20)，(30，30) ．
评注：如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．
12．81
【解析】
当三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半； 当三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积． 则当a ，a+1，a+2中有2个偶数时，a(a+1)(a+2)＝9828×2，
当a ，a+1，a+2中有1个偶数时，a(a+1)(a+2)＝9828．
对9828分解质因数：9828＝2×2×3×3×3×7×13，我们注意，13是其最大的质因数，验证不存在3个连续的自然数的积为9828．
则这三个自然数的积只能是9828×2，此时这三个数中存在两个偶数，有9828×2＝2×2×2×3×3×3×7×13．
13×2＝26，有26，27，28三个数的积为9828×2，所以这三个连续的自然数数为26，27，28，其中有两个偶数，满足题意．
所以，这三个数的和为26+27+28＝81．
评注：我们知道两个连续的自然数互质，而两个互质的数的公倍数等于它们的积，即[a,b]＝a ×b ．
记这3个连续的自然数为a ，a+1，a+2．
有[a,a+1,a+2]＝[a,a+1,a+1,a+2]＝[[a,a+1],[a+1,a+2]]＝[a ×(a+1),(a+1)×(a+2)]＝ (a+1)×[a,a+2] ．
因为a ，a+2同奇同偶，
当a ，a+2均是偶数时，a ，a+2的最大公约数为2，则它们的最小公倍数为
2
)2(+⨯a a ； 当a ，a+2均是奇数时，a ，a+2互质，则它们的最小公倍数为a ×(a+2) ． 所以(a+1)×[a,a+2]＝⎪⎩⎪⎨⎧+⨯⨯++⨯⨯+为奇数
为偶数a a a a a a a a )2()1(2)2()1(． 即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或2
)2)(1(++a a a ． 当三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半； 当三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积． 13．18
【解析】
对90分解质因数：90＝2×3×3×5．
因为5|/
126，所以5|/甲，即甲中不含因数5，于是乙必含因数5． 因为2|/
105，所以2|/乙，即乙中不含因数2，于是甲必含因数2×2． 因为9|/
105，所以9|/乙，即乙最多含有一个因数3．
3时，乙＝3×5＝15，由[甲，乙]＝90＝2×32
×5，则甲＝
2×3＝18；
3时，乙＝5，由[甲，乙]＝90＝2×32×5，则甲＝2×32＝18．
综上所需，甲为18．
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评注：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．
如a ＝2×33×52×7，b ＝23×32×5×7×11，则A 、B 的最小公倍数含有质因子2，3，5，7，11，并且它们的个数为a 、b 中含有此质因子较多的那个数的个数．即依次含有3个，3个，
2个，1个，1个，即[a,b]＝23×33×52×7×11．
14．105
【解析】
由(a ，b)＝75＝3×52，[a ，b]＝450＝32×2×52＝75×3×2，又a>b ，所以⎩⎨⎧==75450b a 或⎩
⎨⎧==150225b a ． [b ，c]＝1050＝2×3×52
×7． 当⎩⎨⎧==75450b a 时有⎩
⎨⎧====1050]75[][15)75()75450(c c b c c ，，，，，，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，所以(75，c)×[75，c]＝75×c ＝15×1050，得c ＝210，但是c ＞b ，不满足；
当⎩⎨⎧==150225b a 时有⎩⎨⎧====1050]105[][15)75()150225(c c b c c ，，，，，，则c ＝105，c ＜b ，满足，即⎪⎩
⎪⎨⎧===105150225c b a 为满足
条件的唯一解．
那么c 是105．
15．101
【解析】
设这4个不同的自然数为A 、B 、C 、D ，有A+B+C+D ＝1111．
将1111分解质因数：1111＝11×101，显然A 、B 、C 、D 的最大公约数最大可能为101，记此时A ＝101a ，B ＝101b ，C ＝101c ，D ＝101d ，有a+b+c+d ＝11，当a+b+c+d ＝1+2+3+5时满足，即这4个数的公约数可以取到101．
综上所述，这4个不同的自然数，它们的最大公约数最大能是101．
16．63
【解析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数．1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，(135,105)15=，长方形纸块的面积为135********⨯= (平方厘米)，正方形纸块的面积为1515225⨯= (平方厘米)，共可裁成正方形纸块1417522563÷= (张)． 17．165
【解析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数．由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数．450和330的最大公约数是30．4503015÷=，3303011÷=，共需1511165⨯= (块).
18．苹果8 个，桔子6个，梨5个．
【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有(336,252,210)42=, 即可以分42份，每份中有苹果8 个，桔子6个，梨5个．
19．9
【解析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，要求最多的人数，即是18和27的最大公约数9了．
20．8,6,5
【解析】因为(320,240,200)40
=，320408
÷=，240406
÷=，200405
÷=，所以最多可分40份，每份中有8个苹果6个桔子，5个鸭梨.
21．101
【解析】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数．只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析．三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数．因为111111101
=⨯，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909．所以所求数是101．
22．9
【解析】12945
+++=
L，是9的倍数，因而9是这些数的公约数．又123456789和123456798这两个数只差9，这两个数的最大公约数是它们的差的约数，即是9的约数，所以9是这两个数的最大公约数．从而9是这362880个数的最大公约数．
23．108
【解析】23
540235
=⨯⨯，A、B、540这三个数的最大公约数是540的约数，而540的约数从大到小排列依次为：540、270、180、135、108、90……由于A和B都不能被10整除，所以540、270、180都不是A和B的约数．由于A和B不能同时被5整除，所以135也不是A 和B的公约数．540的约数除去这些数后最大的为108，考虑108的三位数倍数，有108、216、324、432、540、648、756、864、972，其中由2、3、4、5、6、7这六个数码组成的有324、432和756，易知当A和B一个为756、另一个为324或432时，A、B、540这三个数的最大公约数为108，所以A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是108．
24．40或20
【解析】设这两个自然数为：5a b
、5，其中a与b互质，5550
a b
+=，10
a b
+=，经检验，容易得到两组符合条件的数：9与1或者7与3．于是，所要求的两个自然数也有两组：45与5，35与15．它们的差分别是：45－5＝40，35－15＝20．所以，所求这两个数的差是40或者20．
25．98
【解析】最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。

于是2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98．
26．1
【解析】由题意“参加的学生中有1
7
得优，
1
3
得良，
1
2
得中”，可知参加考试的学生人数是
7，3，2的倍数，因为7，2，3的最小公倍数为42，4228450
⨯=>，所以参加的学生总数
为42人．那么得差的学生有：
111
42(1)1
732
⨯---=人．
27．18
【解析】对90分解质因数: 2
90235
=⨯⨯.
因为126是甲的倍数，又126不是5的倍数，所以甲中不含因数5．
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如果乙也不含因数5，那么甲、乙的最小公倍数也不含因数5，但90是5的倍数，所以乙含有因数5．
因为105不是2的倍数，所以乙也不是2的倍数，即乙中不含因数2，于是甲必含有因数2． 因为105不是9的倍数，所以乙也不是9的倍数，即乙最多含有1个因数3．由于甲、乙两数的最小公倍数是90，90中含有2个因数3，所以甲必含有2个因数3，那么甲22318=⨯=． 总结：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的个数的最大值．如322357a =⨯⨯⨯，32235711b =⨯⨯⨯⨯，则A 、B 的最小公倍数含有质因子2，3，5，7，11，并且它们的个数为a 、b 中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个，3个，2个，1个，1个，故332[,]235711a b =⨯⨯⨯⨯．
28．23 【解析】由题意“参加的学生中有17得优，14得良，13
得中”，可知参加考试的学生人数是7，4，3的倍数，因为74，3的最小公倍数为84(小于100人)，所以参加的学生总数为84人．那么得差的学生有：8412212823---=人．
29．5
【解析】依题意得: 花生总粒数12=⨯第一群猴子只数15=⨯第二群猴子只数20=⨯第三群猴子只数,由此可知，花生总粒数是12，15，20的公倍数，其最小公倍数是60．花生总粒数是60，120，180，…,那么：第一群猴子只数是5，10，15，… ；第二群猴子只数是4，8，12，… ；第三群猴子只数是3，6，9，… ；所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是5粒．
30．2160
【解析】必须求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走完全程脚印重合的次数．两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为[]54,72216=厘米．在216厘米里，两人留下的脚印数分别是：216544÷= (个)，216723÷= (个),由于两人有1个脚印重合，所以实际上只有4316+-= (个)脚印．60610÷=，即走完全程共重合10次，因此，花圃周长为：216102160⨯= (厘米).
31．40
【解析】甲、乙走一圈分别需要5分钟和8分钟，因此他们要是在A 点再次相遇，两人都要走整圈数，所以所需的时间应是5和8的最小公倍数40分钟．
32．40
【解析】由题意，甲、乙、丙相聚时他们两两路程之差恰好是400米的倍数，甲和乙每分钟差
1208040-= (米)，则需要4004010÷=分钟乙才能第一次追上甲；同理，乙每分钟比丙多走1207050-= (米)，则需要400508÷=分钟乙才能追上丙；同理，甲每分钟比丙多走 807010-= (米)，则需要4001040÷=分钟甲才能追上丙；而想要三人再次相遇，所需的时间则为10，8，40的公倍数．因为[]10,8,4040=，所以三人相聚需要过40分钟，即40分钟后，三个 人可以首次相聚．
33．4和60或者12和20
【解析】由于两个自然数的积=两数的最大公约数⨯两数的最小公倍数，可以得到，最大公约数是240604÷=，设这两个数分别为4a 、4b ，那么(,)1a b =，且60415a b ⨯=÷=，所以a 和b 可以取1和15 或 3和5 ，所以这两个数是4和60 或12和20．
34．147或105
【解析】假设这两个数是21a 和21b ，易得21126a b ⨯⨯=，所以6a b ⨯=，由a 和b 互质，那么就有61623=⨯=⨯两种情况．所以甲、乙是：21121⨯=，216126⨯=或21242⨯=，21363⨯=两种情况．它们的和是147或105．
35．4与120，或8与60，或12与40，或20与24
【解析】这两个数分别除以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，120430÷=，将30分解成两个互质的数之积：1和30，2和15，3和10，5和6，所以这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24．
36．25、100或者50、75
【解析】125255÷=，51423=+=+，两数可以为25、100或者50、75．
37．56
【解析】由(甲，乙) 7=，且甲：乙9:8=，由于8与9互质，所以乙数8756=⨯=. 38．517
【解析】乙数是473与407的公约数.473与407的最大公约数是11，11是质数，它的两位数约数只有11，所以乙数是11，又4734311=⨯，4073711=⨯，所以甲数是47，甲、乙两数的乘积应为：4711517⨯=.
39．32
【解析】法1：根据两个自然数的积=两数的最大公约数⨯两数的最小公倍数，有：甲数⨯乙数4288=⨯，所以，乙数42883632=⨯÷=；
法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数49=⨯，设乙数4b =⨯，则(,9)1b =．因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则28849b =⨯⨯，得8b =．所以，乙数4832=⨯=． 40．10
【解析】因为157除以5的余数是2，可得下图
由图中很明显可知，鼹鼠和老鼠重合的第一个洞在距离A 点12米处．因为[3，5] 15=， 157121514515910-÷=÷=L （），所以，老鼠和鼹鼠要挖的洞里重合的有9110+= (个)． 41．158
【解析】苹果每3人发1个，桔子每5人发1个.因为[]3,515=，所以苹果和桔子都拿到的10个小朋友之间包括这10个小朋友，共有15(101)1136⨯-+= (人).在他们的左边最多有4个小朋友拿到苹果，所以左边最多还有3412⨯= (人)；右边最多有2个小朋友拿到桔子，所以右边最多还有5210⨯= (人).所以最多有：1361210158++= (人).
42．28
【解析】从题目中可以知道，木棍锯成的段数，比锯的次数大1；而锯的次数并不一定是三种刻度线的总和，因为当两种刻度线重合在一起的时候，就会少锯一次．所以本题的关键在于计算出有多少两种刻度线或者三种刻度线重叠在一起的位置．把木棍看成是10、12、15的最小公倍数个单位，那么每个等分线将表示的数都是整数，而且重合位置表示的数都是等分线段长度的公倍数，利用求公倍数的个数的方法计算出重合的刻度线的条数．
[]10,12,1560=，先把木棍60等分，每一等分作为一个单位，则第一种刻度线相邻两刻度间占6个单位，第二种占5个单位，第三种占4个单位，分点共有9111434++= (个)． []5,630=，故在30单位处二种刻度重合1次；[]4,520=，故在20、40单位处二种刻度重合2次；[]4,612=，故在12、24、36、48单位处二种刻度重合4次；[]4,5,660=，所以没。