2019-2020学年开封市五县联考高二下学期期末数学试卷(文科)

2019-2020学年开封市五县联考高二下学期期末数学试卷(文科)
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.
复数z =(i
1−i )2，则复数z +1在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.
已知集合A ={0,1，2，3}，B ={1,3}，则A ∩B =( )
A. {1}
B. {3}
C. {1,3}
D. {0,1，2，3}
3.
以下命题正确的个数为( )
①命题“若x 2>1，则x >1”的否命题为“若x 2≤1，则x ≤1”； ②命题“若α>β，则tanα>tanβ”的逆命题为真命题；
③命题“∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0”的否定是“∀x ∈R ；都有x 2+x +1≥0”； ④“x >1”是“x 2+x −2<0”的充分不必要条件．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4.
已知函数f(x)=log 2014(x +1)，且a >b >c >0，则
f(a)a
，
f(b)b
，
f(c)c
的大小关系为( )
A. f(a)a >f(b)b >f(c)c
B. f(a)a <f(b)b <f(c)c
C.
f(b)b
>
f(a)a
>
f(c)c
D.
f(a)a
<
f(c)c
<
f(b)b
5.
“
(k ∈Z)”是“”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6.
用反证法证明命题：“，
，
，且
，则
中至
少有一个负数”时的假设为
A. 中至少有一个正数
B. 全为正数
C.
全都大于等于0
D.
中至多有一个负数
7.
方程1
1−x =cos
πx 2
在[−2,4]内的所有根之和为( )
A. 8
B. 6
C. 4
D. 0
8.
当−π
2≤x ≤π
2时，函数f(x)满足2f(−sinx)+3f(sinx)=sin2x ，则f(x)是( )
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 非奇非偶函数
D. 既奇又偶函数
9.
“读整本的书”是叶圣陶语文教育思想的重要组成部分，整本书两读能够扩大阅读空间．某小学四年级以上在开学初开展本“整本书阅读活动”，其中四年1班老师号召本班学生阅读《唐诗三百首》并背诵古诗，活动开展一月后，老师抽四名同学(四名同学编号为1，2，3，4)了解能够背诵古诗多少情况，四名同学分别对老师做了以下回复：
1说：“2比4背的少”；2说：“1比3背的多”；3说：“我比4背的多”；4说：“3比2背的
多”.经过老师测验发现，四名同学能够背诵古诗数各不相同，四名同学只有一个说的正确，而且是背诵的最少的一个，四名同学的编号按能够背诵数量由多到少组成的四位数是( )
A. 4231
B. 3241
C. 2413
D. 4312
10. 若n a =2，log 3b =1
e ，c 3=1
9(其中e 为自然对数的底数)，则a 、b 、c 的大小关系正确的是( )
A. b >a >c
B. c >b >a
C. b >c >a
D. a >b >c
11. 若p 或q 为真，￢p 为真，则( )
A. p 真q 假
B. p 假q 真
C. p 真q 真
D. p 假q 假
12. 设a =log 37，b =211，c =0.83.7，则( )
A. b <a <c
B. c <a <b
C. c <b <a
D. a <c <b
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如果复数满足
，那么
的最大值是 ．
14. 16.若f (a + b )= f (a )・ f (b )，(a ，b ∈N)，且f (1)=2，
________．
15. 某工程的工序流程图如图所示，现已知工程总工时数为9天，工序c 所需工时x 天，则x(x ∈N)
的取值集合为______．
16. 对于非空实数集A ，定义A ∗={z|对任意x ∈A ，z ≥x}.设非空实数集C ⊆D ⊊(−∞,1].现给出以
下命题：
(1)对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必有D ∗⊆C ∗；
(2)对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必有C ∗∩D ≠⌀； (3)对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必有C ∩D ∗=⌀；
(4)对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必存在常数a ，使得对任意的b ∈C ∗，恒有a +b ∈D ∗． 以上命题正确的是______．
三、解答题（本大题共8小题，共94.0分）
17. 已知a 为实数，函数f(x)=|x 2−ax|−lnx ，请讨论函数f(x)的单调性．
18. 一般来说，一个人脚掌越长，他的身高越高，现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，
得到数据(单位均为cm)作为一个样本如下表所示：
(1)在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现三点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程； (2)若某人的脚掌长为30cm ，试估计此人的身高；
(3)在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人在190cm 以上的概率．
(参考数据：∑(10i=1x i −x)(y i −y)=577.5，∑(10i=1x i −x)2=82.5)
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ̂=i n
i=11−nxy ∑x 2n −n(x)
2=n
i=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2，a
̂=y −b ̂x ．
19. 高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”.下表是一次针对高三文科学生
的调查所得的数据，试问：在出错概率不超过0.01的前提下文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？
(P(K 2≥3.841)≈0.05,P(K 2≥6.635)≈0.01)
20. 已知函数f(x)与g(x)=x +1
x +2的图象关于点A(1,2)对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数F(x)=f(x)−c 有两个不同零点，求实数c 的取值范围； (3)若函数ℎ(x)=f(x)+a
x−2在(2,4)上是单调减函数，求实数a 的取值范围．
21. 已知抛物线C ：y 2=2x ，直线l 过点E(2,0)且与抛物线C 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点．
(1)求证：点O 在以AB 为直径的圆上； (2)若△OAB 的面积为8，求直线l 的斜率．
22. 若关于x 的不等式|x +m|≤n 的解集为[−6,2]
(1)求实数m ，n 的值
(2)若实数y ，z 满足|my +z|<1
3,|y −nz|<1
3，求证：|z|<1
9
23. 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x +y =1+√3，圆C 2的参数方程为{x =2cosα
y =2sinα(α为参数)，以
坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C 1，C 2的极坐标方程；
(Ⅱ)设直线C 1与圆C 2的交点为A ，B ，且A 为OM 的中点，求△OBM 的面积．
24. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin 213°+cos 217°−sin13°cos17°； ②sin 215°+cos 215°−sin15°cos15°； ③sin 218°+cos 212°−sin18°cos12°；
④sin 2(−18°)+cos 248°−sin(−18°)cos48°
⑤sin 2(−25°)+cos 255°−sin(−25°)cos55°(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式，并证明你的结论．
(参考公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβsin2α=
2sinαcosα，cos2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α)
【答案与解析】1.答案：D
解析：解：∵z=(i
1−i )2=[i(1+i)
(1−i)(1+i)
]2=(−1+i
2
)2=(−1+i)2
4
=−2i
4
=−1
2
i，
∴z+1=1−1
2
i．
∴复数z+1在复平面上对应的点的坐标为(1,−1
2
)，位于第四象限．
故选：D．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数z+1在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2.答案：C
解析：解：∵A={0,1，2，3}，B={1,3}，
∴A∩B={1,3}，
故选：C．
由A与B，求出两集合的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3.答案：B
解析：解；命题的否命题分别否定命题的条件和结论，①正确；
命题“若α>β，则tanα>tanβ”的逆命题为“若tanα>tanβ，则α>β”为假命题，②错误；特称命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，③正确；x2+x−2<0⇔(x+2)(x−1)<0⇔“−2<x<1”，“x>1”是“−2<x<1”的既不充分也不必要条件，④错误．
故选：B
本题考查的知识点是判断命题真假，比较综合的考查了不等式，正切以及充要条件的一些性质，我们可以根据相应的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．
④“x>1”是“x2+x−2<0”的充分不必要条件，需要对“x2+x−2<0”化简，同时分别就充分性和必要性做出判断．
4.答案：B
解析：解：函数f(x)=log2014(x+1)的图象如图：
令g(x)=f(x)
x =f(x)−0
x−0
，其几何意义为f(x)图象上的点(x,f(x))与原点(0,0)连线的斜率
由图可知函数g(x)为(0,+∞)上的减函数，
因为a>b>c>0，所以f(a)
a <f(b)
b
<f(c)
c
，
故选：B
先画出函数f(x)的图象，在构造新函数g(x)=f(x)
x
，数形结合判断函数g(x)的单调性，最后利用单调性比较大小即可
本题考查了对数函数的图象，数形结合判断函数单调性的方法，利用单调性比较大小，转化化归的思想方法
5.答案：A
解析：由(k∈Z)，知(k∈Z)，
则成立，
当时，，即(k∈Z)，
故选A．
6.答案：C
解析：试题分析：反证法证明题目时首先假设所要证明的结论反面成立，中至少有一个负数的反面是全都大于等于0
考点：反证法
点评：利用反证法求解证明题的步骤：1，假设所要证明的结论的反面成立，2从假设出发推出矛盾，3，从而说明假设错误，原结论正确
7.答案：C
解析：解：设f(x)=1
1−x ，g(x)=cosπx
2
，
分别如图所示：两个函数都关于点(1,0)
成中心对称
且共有A，B，C，D，4个交点，
由中点坐标公式可得：x A+x D=2，
x B+x C=2
故所有交点的横坐标之和为4，
故选：C
在同一坐标系中，作出f(x)=1
1−x
，
g(x)=cosπx
2
的图象，根据图形的对称性，可得结论．
本题考查方程解的个数的求解，考查数形结合的数学思想，属于中档题．8.答案：A
解析：解：函数f(x)的定义域[−π
2,π
2
]关于原点对称，
∵cosx=√1−sin2x，
∴2f(−sinx)+3f(sinx)=sin2x
即：2f(−sinx)+3f(sinx)=2sinxcosx
设t=sinx，则2f(−t)+3f(t)=2t√1−t2，①
从而：2f(t)+3f(−t)=−2t√1−t2，②
由①②得：f(t)=2t√1−t2，
∴f(x)=2x√1−x2，f(−x)=−2x√1−x2，
函数f(x)满足f(−x)=−f(x)，则f(x)是奇函数．
故选A
欲判断函数的奇偶性，只须验证f(−x)与f(x)的关系，故必须先由条件求得f(x)的解析式，考虑到将sin x看成整体，利用二倍角公式进行转换，即可达到目的．
本小题主要考查函数奇偶性的判断、函数奇偶性的应用、函数解析式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
9.答案：A
解析：解：由题可得3说的一定是假话，则3背的比4少；
若2说的是真话，则1>3，那么1说的是假话，4说的是假话，则2比4背的多，3比2背的少，又3背的比4少，则2>4>3，即背诵最少的是编号3不是编号2，与题目矛盾，故2说的是假话；若4说的是真话，则3>2，那么1说的是假话，2说的是假话，则2比4背的多，1比3背的少，又3背的比4少，则4>3>2>4，显然矛盾，故4说的是假话；
若1说的是真话，则2<4，那么2说的是假话，4说的是假话，则3比1背的多，3比2背的少，又3背的比4少，则4>2>3>1，又背诵数量最少的应为编号1，满足题目条件，故1说的是真话；则背诵数量由多到少组成的四位数为4231．
故选：A．
由题可得3说的一定是假话，则3背的比4少；然后依次假设2，4，1说的是真话，推出矛盾或正确结果，继而可以得解．
本题考查合情推理，要一一分析，推出矛盾，易出错．
10.答案：A
解析：解：∵n a=2，
∴a=log n2
∵log3b=1
，
e
∴b=31e>1
∵c3=1
，
9
∴0<c=31
<1
9
令n=2，则a=1；
∴a、b、c的大小关系是b>a>c．
故选：A．
根据题意，利用对数函数的图象与性质，结合对数与指数的关系，进行比较即可．
本题考查了利用指数函数与对数函数的图象与性质进行函数值的大小比较的问题，是基础题目．11.答案：B
解析：解：由复合命题真值表得：若p或q为真，则命题p、q至少一个为真，
又￢p为真，则p为假，
∴q为真命题．
故选：B．
由复合命题真值表判断命题p的真假，再根据若p或q为真，则命题p、q至少一个为真，可得q的真假，由此可得答案．
本题考查了复合命题的真假判断，熟练掌握复合命题真值表是解题的关键．
12.答案：B
解析：解：a=log37∈(1,2)，b=211>2，c=0.83.7∈(0,1)，
∴c<a<b．
故选：B．
判断三个数的范围，即可判断三个数的大小．
本题考查指数与对数的大小比较，指数函数与对数的性质的应用，考查基本知识的掌握情况．13.答案：
解析：解析：
试题分析：在复平面内，表示圆心在(0,1)，半径为2的圆。

表示圆上的点Z到点P(−1,0)的距离，而点P在圆内，所以，的最大值是AP的长度+半径，
即。

考点：复数模的几何意义
点评：中档题，注意转化成复平面问题，理解表示圆心在(0,1)，半径为2的圆。

14.答案：10
解析：
15.答案：{0,1，2，3}
解析：解：设工序c所需工时为x天，
由题设可知：
按①→③→④→⑥→⑦→⑧所需工时为0+2+3+3+1=9(天)；
按①→②→④→⑥→⑦→⑧所需工时为1+0+3+3+1=8(天)；
所以按①→②→⑤→⑦→⑧所需工时为1+x+4+1≤9(天)，
解得x≤3，。