高中数学北师大版必修4一课三测：2.5 从力做功到向量的数量积

§5从力做功到向量的数量积
填一填
1.
(1)夹角：
①定义：已知两个非零向量a和b，作OA
→＝a，OB
→＝b，则________叫作向量a与b的夹角；
②范围：________；
③大小与向量共线、垂直的关系：
θ＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧0°⇔a与b，
180°⇔a与b，
90°⇔a b.
(2)投影：
①定义：如图所示：OA
→＝a，OB
→＝b，过点B作BB
1
垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝________.________叫作向量b在a方向上的投影数量(简称投影)．
夹角0°锐角90°钝角180°
射影
_______
_
_______
_
_______
_
_______
_
_______
_
(1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把________ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作________，即a·b＝________.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影________的乘积，或b的长度________与a在b方向上投影________的乘积．
(3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s 的数量积________.
(4)性质：
①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝________；
②a⊥b⇔________(其中a，b为非零向量)；
③|a|＝a·a；
④cosθ＝________(|a||b|≠0)；
⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|________|a||b|.
(5)运算律：
交换律：a·b＝________.
结合律：(λa)·b＝________＝________.
分配律：a·(b＋c)＝________.
判一判
1.向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．()
2．设向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0⇔a·b>0.()
3．零向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．() 4．两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量．()
5．由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()
6．(a·b)c＝a(b·c)．()
7．两个向量的数量积与实数乘法一致，a·b也可以写成ab或a×b.()
8．当两个非零向量互相垂直时，其夹角的正弦值为0.()
想一想
1.
提示：(1)在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中cos θ有可能为0.
(2)
已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c.但是a·b＝b·c推不出a ＝c.理由如下：
如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|，
b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|.
所以a·b＝b·c，但是a≠c.
2．如何正确理解“投影”的概念？
提示：(1)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
(2)夹角与投影的联系．
向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ，向量b 在a 的方向上θ的取值
0 π ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π
π2 投影
的值 |b | －|b |
正值 负值 零 图示
练一练
1.若|m |＝4，|·n ＝( ) A ．12 B ．12 2 C ．－12 2 D ．－12 2．若a ·b >0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫
π2，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π 3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为________．
4．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π
3，则a 在b 方向上的投影为________．
知识点一 数量积的运算 1.在△ABC 中，|AB |＝1，|BC |＝3，|CA |＝2，则AB ·AC
＝( ) A.1
2 B ．1 C.
3 D ．－1
2．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a 2－b 2. (2)(2a －b )·(a ＋3b )．
知识点二,投影问题3.已知向量a ，b ，若a 在b 方向上的投影为3，|b |＝2，则a ·b ＝________.
4．已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝3，则向量2a ＋3b 在向量知识点三 向量的模与夹角
5.已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝( ) A ．1 B ．3 C ．4 D ．5
6．已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．
综合知识 数量积的应用
7.在△ABC 中，若AB 2＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB
，则△ABC 是
()
A．等边三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．直角三角形
8．在△ABC中，∠C＝90°，|AB|＝6，点P满足|CP|＝2，则P A→·PB
→的最大值为()
A．9 B．16
C．18 D．25
基础达标
一、选择题
1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为3
2，则a·b＝()
A．3 B.9
2
C．2 D.1
2
2．给出以下结论：
①0·a＝0②a·b＝b·a③a2＝|a|2④(a·b)·c＝a·(b·c)⑤|a·b|≤a·b. 其中正确结论的个数为()
A．1 B．2
C．3 D．4
3．设向量|a＋b|＝23，|a－b|＝2，则a·b＝()
A. 2
B. 3
C．2 D．3
4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b 在a方向上的投影相等，则|a－b|＝()
A．1 B. 3
C. 5 D．3
5．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－1
2，则|a＋2b|＝()
A. 2
B. 3
C. 5
D.7
6．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()
A.π3
B.π2
C.2π3
D.5π6
7．设P 为△ABC 所在平面内一点，且满足P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，
则P 是△ABC 的( )
A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
8．在平面上，四边形ABCD 满足AB →＝DC →，AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为( )
A ．梯形
B ．正方形
C ．菱形
D ．矩形 二、填空题
9．若|a |＝3，|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝________. 10．已知|a |＝4，e 为单位向量，a 在e 方向上的投影为－2，则a 与e 的夹角为________．
11．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________．
12．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC
→＝8，则△ABC 的形状是________．
三、解答题
13．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|2a －b |＝ 5. (1)求|2a －3b |；
(2)求3a －b 与a －2b 的夹角θ.
14．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°. (1)求|a ＋b |的值；
(2)当实数x 为何值时，x a －b 与a ＋3b 垂直？
能力提升
15.已知|a|＝4，|b|
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
16．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－k a＋t b垂直，试求k的最小值．
§5 从力做功到向量的数量积 一测 基础过关
填一填
1．(1)∠AOB ＝θ 0°≤θ≤180° 同向 反向 ⊥ (2)|b |cos θ |b |cos θ |b | 正值 0 负值 －|b | 2．(1)|a ||b |cos θ a ·b |a ||b |cos θ (2)|b |cos θ |b | |a |cos θ (3)F ·s
(4)|a |cos θ a ·b ＝0 a ·b
|a ||b |
≤
(5)b ·a λ(a ·b ) a ·(λb ) a ·b ＋a ·c 判一判
1．× 2.√ 3.√ 4.× 5.× 6.× 7.× 8.× 练一练
1．B 2.A 3.π3 4.3
2 二测 考点落实
1．解析：在△ABC 中，已知|AB →|＝1，|BC →|＝3，|CA →|＝2，可知△ABC
为直角三角形，且∠A ＝π3，则AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝1×2×12＝1.
答案：B
2．解析：(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7. (2)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a ||b |·cos 120°－3|b |2
＝2×32
＋5×3×4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12－3×42＝－60.
3．解析：投影也是一个数量，不是向量；当向量夹角θ 为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ＝0°时投影为|a |；当θ＝180°时投影为－|a |.由题意可得|a |cos 〈a ，b 〉＝3，所以a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝6.
答案：6
4．解析：投影为(2a ＋3b )·(2a ＋b )
|2a ＋b |
＝4a 2＋8a ·b ＋3b 24a 2＋4a ·b ＋b
2
＝1913
＝191313.
答案：191313
5．解析：根据条件，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝9－3|b |＋|b |2＝13，所以解得|b |＝4或－1(舍去)．
答案：C
6．解析：由已知条件得 ⎩
⎪⎨⎪⎧
(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧
7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·
b ＋8b 2
＝0， ② ②－①得23b 2－46a ·b ＝0， 所以2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2， 所以|a |＝|b |，
所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b
2|b |2＝1
2
.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝π
3.
7．解析：∵在△ABC 中，AB 2→＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →， ∴AB 2→＝AB →·AC →－AB →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →－BC →)＋CA →·CB
→， ∴AB 2→＝AB 2→＋CA →·CB →， ∴CA →·CB →＝0，∴∠C ＝90°， ∴△ABC 为直角三角形． 答案：D
8．解析：取AB 的中点D ，连接CD . P A →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →) ＝PC 2→＋PC →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB → ＝PC 2→＋PC →·(CA →＋CB →) ＝22＋PC →·2CD
→ ＝4＋2PC →·CD
→ ＝4＋2|PC →|·|CD
→|cos α ＝4＋2×2×3cos α＝4＋12cos α，
其中α为PC
→与CD →的夹角， 所以当α＝0°时，P A →·PB →的最大值为16. 答案：B 三测 学业达标
1．解析：设a 与b 的夹角为θ，因为|a |cos θ＝3
2，|b |＝3，所以a ·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92.
答案：B
2．解析：①②③显然正确；(a ·b )·c 与c 共线，而a ·(b ·c )与a 共线，故④错误；a ·b 是一个实数，应该有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．
答案：C
3．解析：由|a ＋b |＝23两边平方得a 2＋2a ·b ＋b 2＝12，由|a －b |＝2两边平方得a 2－2a ·b ＋b 2＝4.两式相减得4a ·b ＝8，所以a ·b ＝2.
答案：C
4．解析：由于投影相等，
故有|a |cos 〈a ，b 〉＝|b |cos 〈a ，b 〉， 因为|a |＝1，|b |＝2，
所以cos 〈a ，b 〉＝0，即a ⊥b ， 则|a －b |＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝ 5. 答案：C
5．解析：|a ＋2b |＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝1－2＋4＝ 3. 答案：B
6．解析：因为a ⊥(2a ＋b )， 所以a ·(2a ＋b )＝0， 所以2|a |2＋a ·b ＝0，
即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0， 因为|b |＝4|a |，
所以2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0，
所以cos 〈a ，b 〉＝－1
2， 因为〈a ，b 〉∈[0，π]，
所以〈a ，b 〉＝2
3π. 答案：C
7．解析：由P A →·PB →＝PB →·PC
→， 得PB →·(P A →－PC →)＝PB →·CA
→＝0， 即PB ⊥CA ，同理P A ⊥BC ，PC ⊥BA ，
所以P 是△ABC 的垂心，故选B.
答案：B
8．解析：∵AB
→＝DC →， ∴|AB
→|＝|DC →|，且AB ∥DC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵AC →·BD
→＝0， ∴AC
→⊥BD →，∴AC ⊥BD ， ∴四边形ABCD 是菱形，故选C.
答案：C 9．解析：∵|a |＝3，|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，∴|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.
答案：7
10．解析：因为a 在e 方向上的投影为－2，
即|a |cos 〈a ，e 〉＝－2，
所以cos 〈a ，e 〉＝－2|a |
＝－12，〈a ，e 〉＝120°. 答案：120°
11．解析：易知|AB
→|2＝|BC →|2＋|CA →|2， ∴C ＝90°，∴cos B ＝513.
又〈AB →，BC →〉＝180°－B ，
∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－B )＝13×5×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－513＝－25. 答案：－25
12．解析：AB →·AC
→＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ， 即8＝4×4cos ∠BAC ，
于是cos ∠BAC ＝12，
所以∠BAC ＝60°.
又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．
答案：等边三角形
13．解析：(1)∵|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4a ·b ＋1＝5，∴a ·b
＝0，∴|2a －3b |＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝13.
(2)∵cos θ＝(3a －b )·(a －2b )|3a －b ||a －2b |
＝3a 2＋2b 2
9a 2＋b 2×a 2＋4b
2 ＝510×5＝22， 又θ∈[0，π]，∴θ＝π4.
14．解析：(1)由已知得a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝3，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝19.
(2)因为x a －b 与a ＋3b 垂直，
所以(x a －b )·(a ＋3b )＝0，
即x a 2＋(3x －1)a ·b －3b 2＝13x －30＝0，
所以x ＝3013.
15．解析：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，
∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.
∵|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6，
∴|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝42＋32＋2×(－6)＝13.
(2)∵a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝42－6＝10，
∴向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝1013
＝101313. 16．解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.
又由已知得[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，
∴－k a 2＋t (t －3)b 2＝0，
∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t (t －3)＝0，
∴k ＝14()t 2－3t ＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －322－916. 故当t ＝32时，k 取最小值－916.
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