成才之路春高中数学人教B必修5习题 第1章 解三角形 第1课时

第一章 1.1 第1课时
一、选择题
1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则BC 等于( ) A ．3－3 B ． 2 C ．2 D ．3＋ 3
[答案] A
[解析] 由正弦定理，得
BC sin A ＝AB sin C ，即BC sin45°＝3
sin75°，∴BC ＝3×sin45°sin75°＝3×
22
6＋2
4
＝3－ 3.
2．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )
A ．3∶2∶1
B ．3∶2∶1
C ．3∶2∶1
D ．2∶3∶1
[答案] D
[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧
A B C ＝321
A ＋
B ＋
C ＝180°
，
∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°. ∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶
32∶1
2
＝2∶3∶1. 3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝1
3，则sin B ＝( )
A ．15
B ．59
C ．
53
D ．1
[答案] B
[解析] 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴313
＝5sin B ，即sin B ＝5
9
，选B ．
4．在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )
A ．π12
B ．π6
C ．π4
D ．π3
[答案] D
[解析] 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝3
2，
∴A ＝π
3
.
5．△ABC 中，b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．无解 D ．无法确定
[答案] B
[解析] ∵b ＝30，c ＝15，C ＝26°， ∴c >b sin C ，又c <b ，∴此三角形有两解．
6．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )
A ．x >2
B ．x <2
C ．2<x <22
D ．2<x <2 3
[答案] C
[解析] 由题设条件可知
⎩⎨⎧
x >2x sin45°
<2，∴2<x <2 2.
二、填空题
7．已知△ABC 外接圆半径是2 cm ，∠A ＝60°，则BC 边的长为__________． [答案] 23cm [解析] ∵BC
sin A
＝2R ，
∴BC ＝2R sin A ＝4sin60°＝23(cm)．
8．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝45°，c ＝2，则边a ＝________.
[答案] 1
[解析] 由正弦定理，得a sin A ＝c
sin C ，
∴a ＝c sin A sin C ＝
2×1222＝1.
三、解答题
9．在△ABC 中，B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝25
5，求边BC 的长．
[解析] 由cos C ＝25
5，得sin C ＝
1－cos 2C ＝
5
5
. sin A ＝sin(180°－45°－C )＝
22(cos C ＋sin C )＝31010
. 由正弦定理，得BC ＝AC sin A
sin B ＝10×
310
102
2
＝3 2.
10．(2015·湖南文，17)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分 别为a 、b 、c ，a ＝b tan A ． (1)证明：sin B ＝cos A ；
(2)若sin C －sin A cos B ＝3
4
，且B 为钝角，求A 、B 、C ．
[解析] (1)由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A
sin B ，所以sin B ＝cos A ．
(2)因为sin C －sin A cos B ＝sin[180°－(A ＋B )]－sin A cos B ＝sin(A ＋B )－sin A cos B
＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝cos A sin B ． ∴cos A sin B ＝34
.
由(1)知sin B ＝cos A ，因此sin 2 B ＝34.又B 为钝角，所以sin B ＝3
2，故B ＝120°.由cos A
＝sin B ＝
3
2
，知A ＝30°，从而C ＝180°－(A ＋B )＝30°. 综上所述，A ＝30°，B ＝120°，C ＝30°.
一、选择题
1．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c
b <cos A ，则△ABC 为( )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
[答案] A
[解析] 在△ABC 中，由正弦定理，得c b ＝sin C
sin B ，
又∵c b <cos A ，∴sin C sin B <cos A ，∴sin(A ＋B )<sin B cos A ，
∴sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ， ∴sin A cos B <0，又sin A >0，∴cos B <0， ∴B 为钝角．
2．在锐角三角形中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，设B ＝2A ，则b
a 的取值范围
是( )
A ．(－2,2)
B ．(0,2)
C ．(1,2)
D ．(2，3) [答案] D
[解析] ∵b a ＝sin B sin A ＝sin2A sin A ＝2sin A cos A
sin A ＝2cos A ．
∵B ＝2A ，∴C ＝π－A －B ＝π－3A ． 又∵△ABC 为锐角三角形， ∴0<π－3A <π2，∴π6<A <π
3.
又B ＝2A ，∴0<2A <π
2，
∴0<A <π4，
∴π6<A <π4， ∴cos A ∈(22，3
2
)，∴2cos A ∈(2，3)， 故选D ．
3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1
2b ，
且a >b ，则∠B ＝( )
A ．π6
B ．π3
C ．2π3
D ．5π6
[答案] A
[解析] 由正弦定理，得sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ，∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝1
2，
∴sin B ＝12，由a >b 知A >B ，∴B ＝π
6
.选A ．
4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )
A ．平行
B ．重合
C ．垂直
D ．相交但不垂直 [答案] C
[解析] ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝b sin B ，∴k 1·k 2＝－1，
∴两直线垂直． 二、填空题
5．在△ABC 中，若B ＝2A ，a ∶b ＝1∶3，则A ＝________. [答案] 30°
[解析] 由正弦定理，得a ∶b ＝sin A ∶sin B ，又∵B ＝2A ， ∴sin A ∶sin2A ＝1∶3， ∴cos A ＝
3
2
，∴A ＝30°. 6．(2015·广东理，11)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π
6
，则b ＝________. [答案] 1
[解析] 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，所以B ＝π
6，A ＝π－B
－C ＝2π3，又a ＝3，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b
sin π
6
，解得b ＝1.
三、解答题
7．在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝6，判断三角形解的情况． [解析] 解法一：由题意知：c sin A ＝4·sin60°＝23， ∵23>6，∴c sin A >a ，∴此题无解． 解法二：由正弦定理得：
a sin A ＝c
sin C
， ∴sin C ＝c sin A
a ＝4·326＝2>1，∴此题无解．
8．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ． (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．
[解析] (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理，得
3sin A ＝26
sin2A
， 所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.
(2)由(1)知cos A ＝6
3
， 所以sin A ＝
1－cos 2A ＝
33
. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝1
3.
所以sin B ＝
1－cos 2B ＝22
3
，
在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )
＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝53
9.
所以c ＝a sin C
sin A
＝5.
9．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos A ＝2
3，sin B ＝5cos C ．
(1)求tan C 的值；
(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．
[解析] (1)由cos A ＝23，得sin A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝53cos C ＋2
3
sin C ，∴tan C
＝ 5.
(2)由tan C ＝5，得sin C ＝306，cos C ＝66
， ∴sin B ＝5cos C ＝
306
. 由正弦定理，得c ＝a sin C
sin A
＝
2×306
53＝ 3.
∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×2×3×306＝5
2
.。