初中数学命题与证明的分类汇编及答案解析

初中数学命题与证明的分类汇编及答案解析
一、选择题
1．下列各命题的逆命题成立的是（）
A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等【答案】C
【解析】
试题分析：首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；
B、绝对值相等的两个数相等，错误；
C、同位角相等，两条直线平行，正确；
D、相等的两个角都是45°，错误．
故选C．
2．下列命题中①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等
②如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形
③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
④等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形
⑤一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形
正确命题的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质、轴对称图形的定义、全等三角形的判定逐个判断即可．
【详解】
根据等腰三角形的三线合一可知，底边中点在顶角角平分线上，再根据角平分线的性质可知，其到两腰的距离相等，则命题①正确
全等的三角形不一定是成轴对称，则命题②错误
成轴对称的两个三角形一定全等，则命题③正确
等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形，则命题④错误
成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形，则命题⑤错误
综上，正确命题的个数是2个
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、轴对称图形的定义、全等三角形的判定等知识点，掌握理解各定义与性质是解题关键．
3．下列命题中正确的是（）．
A．所有等腰三角形都相似B．两边成比例的两个等腰三角形相似C．有一个角相等的两个等腰三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形进行判断即可．
【详解】
解：A、所有等腰三角形不一定都相似，原命题是假命题；
B、两边成比例的两个等腰三角形不一定相似，原命题是假命题；
C、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，原命题是假命题；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形相似，是真命题；
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
4．下列命题中，是假命题的是（）
A．对顶角相等B．同位角相等
C．同角的余角相等D．全等三角形的面积相等
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对顶角得性质、平行线得性质、余角得等于及全等三角形得性质逐一判断即可得答案．
【详解】
A.对顶角相等是真命题，故该选项不合题意，
B.两直线平行，同位角相等，故该选项是假命题，符合题意，
C.同角的余角相等是真命题，故该选项不合题意，
D.全等三角形的面积相等是真命题，故该选项不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．下列命题是假命题的是()
A．四个角相等的四边形是矩形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的四边形是菱形
D．对角线垂直的平行四边形是菱形
【答案】C
【解析】
试题分析：A．四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；
C．对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；
D．对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．
故选C．
考点：命题与定理．
6．下列命题中是真命题的是（）
A．多边形的内角和为180°B．矩形的对角线平分每一组对角
C．全等三角形的对应边相等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式可对A进行判定；根据矩形的性质可对B进行判定；根据全等三角形的性质可对C进行判定；根据平行线的性质可对D进行判定．
【详解】
A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，
B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，
C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，
D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．
7．下列命题是真命题的个数是（）．
①64的平方根是8±；
=；
②22
=，则a b
a b
③三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；
④三角形三边的垂直平分线交于一点．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质进行分析即可.
【详解】
①64的平方根是8±，正确，是真命题；
②22a b =，则不一定a b =，可能=-a b ；故错误；
③根据角平分线性质，三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；是真命题；
④根据三角形外心定义，三角形三边的垂直平分线交于一点，是真命题；
故选：C
【点睛】
考核知识点：命题的真假.理解平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质是关键.
8．下列说法中，正确．．
的是( ) A ．图形的平移是指把图形沿水平方向移动.
B ．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变.
C ．“相等的角是对顶角”是一个真命题
D ．“直角都相等”是一个假命题
【答案】B
【解析】
图形的平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，平移前后图形的形状和大小都没有发生改变．而相等的角不一定是对顶角，C 是一个假命题，直角都相等是真命题．故选B
9．下列定理中，逆命题是假命题的是（ ）
A ．在一个三角形中，等角对等边
B ．全等三角形对应角相等
C ．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
D ．等腰三角形两个底角相等
【答案】B
【解析】
【分析】
先把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．
【详解】
解：A 、逆命题为：在一个三角形中等边对等角，逆命题正确，是真命题；
B 、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题错误，是假命题；
C 、逆命题为：如果一个三角形是等边三角形，那么它是一个等腰三角形而且有一个内角等于60°，逆命题正确，是真命题；
D 、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题正确，是真命题；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题．
10．下列选项中，可以用来说明命题“若22a b ＞，则a b ＞”是假命题的反例是（ ） A ．2,a =b=-1
B ．2,1a b =-=
C ．3,a =b=-2
D ．2,0a b ==
【答案】B
【解析】
分析：根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 详解：∵当a =﹣2，b =1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，∴a =﹣2，b =1是假命题的反例． 故选B ．
点睛：本题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可．这是数学中常用的一种方法．
11．下列命题是假命题的是（ ）
A ．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
B ．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16
C ．将一次函数y ＝3x -1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限
D ．若关于x 的一元一次不等式组0213x m x -≤⎧⎨+>⎩
无解，则m 的取值范围是1m £ 【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；
B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题；
C. 将一次函数y ＝3x -1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真命题；
D. 若关于x 的一元一次不等式组0213x m x -≤⎧⎨+>⎩
无解，则m 的取值范围是1m £，正确，是真命题；
故答案为：B
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组．
12．下列命题正确的是（ ）
A ．矩形对角线互相垂直
B ．方程214x x =的解为14x =
C ．六边形内角和为540°
D ．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【答案】D
【解析】
【分析】
由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A 不正确；
由方程x 2=14x 的解为x=14或x=0得出选项B 不正确；
由六边形内角和为（6-2）×180°=720°得出选项C 不正确；
由直角三角形全等的判定方法得出选项D 正确；即可得出结论．
【详解】
A ．矩形对角线互相垂直，不正确；
B ．方程x 2=14x 的解为x=14，不正确；
C ．六边形内角和为540°，不正确；
D ．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；
故选D.
【点睛】
本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．
13．下列四个命题：①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直，其中逆命题是真命题的是（ ）
A ．①②③④
B ．①③④
C ．①③
D ．①
【答案】C
【解析】
【分析】
首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
【详解】
①两直线平行，内错角相等；其逆命题：内错角相等，两直线平行，是真命题； ②对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；
③等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题；
④菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题； 故选C ．
【点睛】
本题考查了写一个命题的逆命题的方法，真假命题的判断，弄清命题的题设与结论，掌握相关的定理是解题的关键.
14．下列命题中，假命题是( )
A ．同旁内角互补，两直线平行
B ．如果a b =，则22a b =
C ．对应角相等的两个三角形全等
D ．两边及夹角对应相等的两个三角形全等
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定、等式的性质、三角形的全等的判定判断即可．
【详解】
A 、同旁内角互补，两直线平行，是真命题；
B 、如果a b =，则22a b =，是真命题；
C 、对应角相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
D 、两边及夹角对应相等的两个三角形全等，是真命题；
故选：C ．
【点睛】
此题考查命题与定理，解题关键在于掌握判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果⋯那么⋯”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
15．能说明命题“关于x 的方程240x x m -+=一定有实数根”是假命题的反例为（ ） A ．1m =-
B ．0m =
C ．4m =
D ．5m =
【答案】D
【解析】
【分析】
利用m=5使方程x 2-4x+m=0没有实数解，从而可把m=5作为说明命题“关于x 的方程x 2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．
【详解】
当m=5时，方程变形为x 2-4x+m=5=0，
因为△=（-4）2-4×5＜0，
所以方程没有实数解，
所以m=5可作为说明命题“关于x 的方程x 2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例． 故选D ．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即
假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举
出一个反例即可．
16．下列命题是真命题的是()
A．一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理以及矩形、正方形的判定即可逐一判断．
【详解】
解：如下图，若四边形ABCD，AD∥BC，∠A=∠C，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；
B、对角线相等的四边形也可能为等腰梯形，故B错误；
C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形也可能为等腰梯形，故C错误；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故D错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定定理，是基础知识要熟练掌握．
17．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是()
A．两直线平行，同位角相等B．相等的角是对顶角
C．所有的直角都是相等的D．若a=b，则a﹣3=b﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】
写出原命题的逆命题，根据相关的性质、定义判断即可．
【详解】
解：交换命题A的题设和结论，得到的新命题是同位角相等，两直线平行是真命题；
交换命题B 的题设和结论，得到的新命题是对顶角相等是真命题；
交换命题C 的题设和结论，得到的新命题是所有的相等的角都是直角是假命题； 交换命题D 的题设和结论，得到的新命题是若a-3=b-3，则a=b 是真命题，
故选C ．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
18．下列命题中，真命题的序号为（ ）
①相等的角是对顶角；
②在同一平面内，若//a b ，//b c ，则//a c ；
③同旁内角互补；
④互为邻补角的两角的角平分线互相垂直.
A ．①②
B ．①③
C ．①②④
D ．②④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对顶角的性质、平行线的判定、平行线的性质、角平分线的性质判断即可．
【详解】
①相等的角不一定是对顶角，是假命题；
②在同一平面内，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，是真命题；
③两直线平行，同旁内角互补； 是假命题；
④互为邻补角的两角的角平分线互相垂直，是真命题；
故选：D ．
【点睛】
此题考查命题的真假判断，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
19．下面说法正确的个数有（ ）
①方程329x y +=的非负整数解只有1
3x y ==，；②由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；③如果1122
A B C ∠=∠=∠，那么ABC V 是直角三角形；④各边都相等的多边形是正多边形；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二元一次方程的解的定义可对①进行判断；根据三角形的定义对②进行判断；根据
直角三角形的判定对③进行判断；根据正多边形的定义对④进行判断；根据钝角三角形的定义对⑤进行判断．
【详解】
解：①二元一次方程329x y +=的非负整数解是x=3，y=0或x=1，y=3，原来的说法错误；
②由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，原来的说法错误；
③如果3672=72A B C ∠=︒∠=︒∠︒，，，那么ABC V 不是直角三角形，故错误； ④各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故错误．
⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故错误，
故选A.
【点睛】
此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解二元一次方程的解的定义、三角形的定义、直角三角形的判定、正多边形的定义及钝角三角形的定义等知识，难度不大．
20．下列命题是真命题的是（ ）
A ．方程23240x x --=的二次项系数为3，一次项系数为-2
B ．四个角都是直角的两个四边形一定相似
C ．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖
D ．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据所学的公理以及定理，一元二次方程的定义，概率等知识，对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．
【详解】
A 、正确．
B 、错误，对应边不一定成比例．
C 、错误，不一定中奖．
D 、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形.
故选：A ．
【点睛】
此题考查命题与定理，熟练掌握基础知识是解题关键．。