高考数学复习第十二单元第60讲直接证明与间接证明课件理新人教A版

课堂考点探究
[总结反思] 分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,
或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根
号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.注意用分析法
证题时,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件,正确把握转化方向是使问题
1 1
1
+ =
成立,
1 1 1 +1
则 y1(x1+y1)+x1(x1+y1)=x1y1,
1 2 3 2
x1+ + 1 =0,
2
4
1 2 3 2
x1+ + 1 >0,从而得出矛盾.
2
4
∴12 +12 +x1y1=0,即
但 x1≠0,y1≠0,即
故原命题成立.
课堂考点探究
考点四 放缩法
2
2
2
由题设得(a+b+c) =1,即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1,
2
所以 3(ab+bc+ca)≤1,即
2
2
2
1
ab+bc+ca≤ .
3
2
2
2
(2)因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c,当且仅当 a=b=c 时,



三个式子中的等号同时成立,
2 2 2
2 2 2
综合法证明时,易出现因果关系不明确,逻辑表达混乱的错误.
课堂考点探究
变式
在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分
证明:(1)由已知得 sin Asin B+sin Bsin C=2sin B,
2
别为 a,b,c,已知 sin Asin B+sin Bsin
因为 sin B≠0,所以 sin A+sin C=2sin B,
[总结反思] 放缩法是指要证明不等式 A<B 成立,有时可以将它的一边放大或缩小,
寻找一个中间量,如将 A 放大成 C,即 A<C,再证 C<B,这种证法便是放缩法,放缩法是不
等式证明的一种方法.
课堂考点探究
变式
[2018·
贵州凯里模拟] 已知正项数列{an}
满足 3an-2an·
an-1-an-1=0(n≥2)且
a+b+c=1,证明:
1
(1)ab+bc+ac≤ ;
3
2 2 2
(2) + + ≥1.



[思路点拨] (1)利用基本不等式
结合(a+b+c) =1 可以证明;(2)
2
变形
2 2 2 2
2
2
+ + = +b+ +c+ +a-1,





然后利用基本不等式即可证
明.
课堂考点探究
,
1
2-1
∴当 n≥2
1 1
-1
1
1
1
1
1
1
时, Sn=
<
= ·
=

(2-1) (2-2) 2 (-1) 2
,从而
1
1
1
1
S1+ S2+ S3+…+ Sn<1+
2
3

2
1 1 1
1 1
1- + - +…+ 2 2 3
-1
3 1 3
< - < .
2 2 2
课堂考点探究
考点三 反证法
例3
已知数列{an}的各项均为正数,且不是常
数列.若数列{an}是等比数列,求
证:1-an,1-an+1,1-an+2 不可能成等比数列.
[思路点拨] 利用反证法借助等
比数列的性质即可证明.
课堂考点探究
例3
已知数列{an}的各项均为正数,且不是常
数列.若数列{an}是等比数列,求
证:1-an,1-an+1,1-an+2 不可能成等比数列.
论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证
明方法叫作分析法.
课前双基巩固
2.间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方
法.
(1)反证法的定义:假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下,结论不成立),经过
正确的推理,最后得出 矛盾
,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方
1 1
由(1)可知, = +(n-1)×2=2n-1,
1
所以
1
Sn =
,利用放缩法、裂项
2-1
相消法即可证明.
课堂考点探究
例4
[2018·
南充模拟] 已知数列{an}中,a1 =1,
其前 n 项和为 Sn,且满足
(1)求证:数列
1

(2)证明:当 n≥2
22
an=
(n≥2).
2 -1
∴数列{an}是常数列,这与已知相矛盾,
故假设不成立,
∴1-an,1-an+1,1-an+2 不可能成等比数列.
课堂考点探究
[总结反思]
(1)适合用反证法证明的题型:①“结论”的反面比“结论”本身更简单、
更具
体、更明确;②否定性命题、唯一性命题、存在性命题、“至多”“至少”型命题;③已知
条件或结论涉及无限个元素的命题.(2)用反证法证明时要把握三点:①必须否定结论,

1 9
9
∴a+b=(a+b) + =10+ +
≥10+2 9=16,当且仅当 a=4,b=12
时,等号成立,∴a+b 的最小值为 16.
∴要使 a+b≥μ 恒成立,需 16≥μ,∴
0<μ≤16.
课堂考点探究
考点一 综合法
例 1 [2018·
临沂模拟] 设 a,b,c 均为正数,且
)
[解析] (1)综合法和分析法都是直接
(2)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”. (
(3)反证法是将结论和条件同时否定,推出矛盾的证
明方法. (
)
证明.
(2)应假设“a≤b” .
(3)反证法是将结论否定,推出矛盾的
(4)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与
方法,再用综合法展现解决问题的过程. (
即证 a(1+b+c+bc)+b(1+a+c+ac)>c(1+a+b+ab),
即证 a+2ab+b+abc>c.
∵a,b,c 是△ABC 的三边长,
∴a>0,b>0,c>0 且 a+b>c,abc>0,2ab>0,
∴a+2ab+b+abc>c 成立,



∴1+ +1+ >1+ .
课堂考点探究
即肯定结论的反面;②必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须
依据这一条件进行推证;③推导出的矛盾可能与已知矛盾,或与假设矛盾,或与已知事
实等矛盾,即推导出的矛盾必须是明显的.
课堂考点探究
变式
无论 x,y 取任何非零实数,试证明:
1 1
1
等式 + = 总不成立.
+
证明:假设存在非零实数 x1,y1,使得等式
例4
[2018·
南充模拟] 已知数列{an}中,a1 =1,其
前 n 项和为 Sn,且满足 an=
(1)求证:数列
1

(2)证明:当 n≥2
22
2 -1
(n≥2).
是等差数列;
1
1
1
3
时,S1+ S2+ S3+…+ Sn< .
2
3

2
[思路点拨] (1)当 n≥2 时,利用 an
与 Sn 的关系式化简即可证明;(2)
)
)
证明方法.
课前双基巩固
2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有
一个不大于 60°”,正确的假设是
①假设三个内角都不大于 60°;
②假设三个内角都大于 60°;
③假设三个内角至多有一个大于 60°;
④假设三个内角至多有两个大于 60°.
[答案] ②
.
[解析] 根据反证法的定义,假设是
对原命题结论的否定,故假设三个
C+cos 2B=1.
由正弦定理,有 a+c=2b,即 a,b,c 成等差数列.
(1)求证:a,b,c 成等差数列.
(2)若
2π
C= ,求证:5a=3b.
3
(2)由
2π
C= ,c=2b-a
3
2
2
及余弦定理得
2
2
(2b-a) =a +b +ab,即有 5ab-3b =0,
因为 b≠0,所以 5a=3b.
是等差数列;
1
1
1
3
时,S1+ S2+ S3+…+ Sn< .
2
3

2
证明:(1)当 n≥2
22
时,an=Sn-Sn-1=
,化简得
2 -1
1 1
1
Sn-1-Sn=2SnSn-1,所以 - =2,从而
-1

构成以
1 为首项,2 为公差的等差数列.
1 1
1
(2)由(1)可知, = +(n-1)×2=2n-1,∴Sn=
内角都大于 60°.
课前双基巩固
3.[教材改编]
6-2 2与 5- 7的大小关系是
.
[答案]
6-2 2> 5- 7
[解析] 由分析法可得,要证
6-2 2> 5- 7,只需证
6+ 7> 5+2 2,即证
13+2 42>13+4 10,即证
42>2 10,即证 42>40.因为
42>40,所以 6-2 2> 5- 7成立.
证明:假设 1-an,1-an+1,1-an+2 成等比数列,
则(1-an+1) =(1-an)(1-an+2),
2
即
2
1-2an+1++1 =1+anan+2-(an+an+2).
又∵数列{an}是等比数列,
2
∴+1
=anan+2,
∴2an+1=an+an+2,
∴数列{an}是等差数列,又数列{an}是等比数列,
法.
(2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;②归谬——根据
假设进行推理,直到推出矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的
结论成立.
课前双基巩固
对点演练
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明. (
[答案]
(1)× (2)× (3)× (4)√
顺利获解的关键.
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变式
设 a,b,c 为△ABC 的三边长,



求证: + > .
1+ 1+ 1+
证明:∵a,b,c>0,∴1+a>0,1+b>0,1+c>0.



要证 + > ,
1+ 1+ 1+
只需证 a(1+b)(1+c)+b(1+a)(1+c)>c(1+a)(1+b),
只需证 + -3< -2+ -1,
只需证( + -3) <( -2+ -1) ,
2
2
即证 2a-3+2 2 -3<2a-3+2 2 -3 + 2,
只需证 2 -3< 2 -3 + 2,
只需证 0<2,而 0<2 显然成立,
所以 - -1< -2- -3(a≥3).
课堂考点探究
考点二
例2
[2018·
陕西澄城模拟] 已知 a>0,求
证: - -1< -2- -3(其中 a≥3)
分析法
[思路点拨] 移项、平方,利用分析
法证明即可.
课堂考点探究
证明:要证 - -1< -2- -3,
例2
[2018·
陕西澄城模拟] 已知 a>0,求
证: - -1< -2- -3(其中 a≥3)
2
2
2
2
B=a +c -ac,∴a +c -2ac=0,即(a-c) =0,∴a=c,∴
2
2
2
2
π
A=C,∴A=B=C= ,∴△ABC
3
2
为等边三角形.
课前双基巩固
5.已知
1 9
a,b,μ∈(0,+∞),且 + =1,则使得

的取值范围是
.
a+b≥μ 恒成立的 μ
[答案] (0,16]
1 9
[解析] ∵a,b∈(0,+∞),且 + =1,
例 1 [2018·
临沂模拟] 设 a,b,c 均为正
数,且 a+b+c=1,证明:
1
(1)ab+bc+ac≤ ;
3
2 2 2
(2) + + ≥1.



证明:(1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ac,当且仅当
2
2
2
2
2
2
a=b=c 时,三个等号同时成立,得 a +b +c ≥ab+bc+ca.
第60讲 PART 12
直接证明与间接
证明
课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
课前双基巩固
知识聚焦
1.直接证明
(1)综合法:
从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的 推理论证 ,最后
推导出所要证明的结论 成立 ,这种证明方法叫作综合法.
(2)分析法:
从要证明件 ,直至把要证明的结
(1)求证:数列
1
-1

1
a1 = .
3
为等比数列,并求数列{an}的
通项公式;
(2)证明:数列{an}的前 n 项和