07.极限存在定理
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x
y
y
y f ( x)
o
x
o x
x x
y f ( x)
在过程 x 不增有下界
在过程 x 不减有上界
§2.5 极限的存在定理
y y
y f ( x)
x
o x
x
o
x
在过程 x 不增有上界 y
x xo o x0 y f ( x)
x
Y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 X -0.2 -0.4 2 4 6 8 10
y f ( x)
§2.5 极限的存在定理
定理1 不减且有上界的数列必存在极限.
推论1 不增且有下界的数列必存在极限.
定理2 设 f ( x) 在过程 x 中不减且有上界, 则 lim f ( x) 存在.
un
1 n un (1 ) n
n
5 10 15 20
§2.5 极限的存在定理
重要例题
重要极限之二
1 n lim (1 ) e n n
极限公式
1 x lim (1 ) e x x
(1) lim (1
x 0
1 x) x
e
e x 1 (2) lim 1 x0 x
ln(1 x) (3) lim 1 x 0 x
§2.5 极限的存在定理
应用 由递推公式
xn1 f ( xn ) (n 1, 2, )
Y 2
yx
1.5
y 1 x
定义的迭代数列 { xn } 极 限的存在性.
1 u , un1 1 un 例设 1 2 (n 1, 2, ) ，证明数列
{u n }的极限存在，并求之.
1
0.5
u1
0.5 1
u 2 u3
1.5 2
X
§2.5 极限的存在定理
定理3(区间套定理)设有区间序列 {[ an , bn ], n 1,2,}满足
(1)[an , bn ] [an1 , bn1 ] (n 1, 2, ) ; (2) bn an 0 (n ) , 则存在唯一的 x0 [an , bn ] (n 1, 2, ) .
y f ( x) 在过程 x 不减有下界 y
x xo
x
o
x0
y f ( x)
x
在过程 x xo 不减有上界
x x 在过程 o 不增有上界
§2.5 极限的存在定理
1 n u ( 1 ) (n 1, 2, ) 存在极限. 重要例题 证明数列 n n
2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1
a1
a2
an
an1
x0
bn1bnb2 Nhomakorabeab1
x
§2.5 极限的存在定理
定理4 有界数列必存在收敛的子数列. un b2 b1
b3 a3 a2 o
n
a1
定理5 （柯西准则） 数列{u n }极限存在的充要条件是：
0, 正整数N ,当m N , n N时，有 un um .
总结与练习
本讲主要内容
数列与函数极限存在的充分条件 重要极限之二及其应用 区间套定理 柯西准则
内容预告 §2.4-2.5
思考题
1 n1 证明数列 un (1 ) (n 1, 2,) 为递减的. n
作业
P.44:1(4)(6)(9)(10)(12)(13)(14) , 3
§2.5 极限的存在定理
定义1 设 为一实数集,若存在常数 M 满足: (1) x ,恒有 x M ; (2) 0 , x* ,使得 x* M 则称 M 为 的上确界.记为 M sup . 若存在常数 m 满足: (1) x ,恒有 x m ; (2) 0 , x* ,使得 x* m ,
M
x*
M
则称 m 为 的下确界.记为 m inf . 连续性公理 有上界的数集定有唯一上确界.
x
*
m m
§2.5 极限的存在定理
定理1 不减且有上界的数列必存在极限.
推论1 不增且有下界的数列必存在极限.
定理2 设 f ( x) 在过程 x 中不减且有上界, 则 lim f ( x) 存在.
y
y
y f ( x)
o
x
o x
x x
y f ( x)
在过程 x 不增有下界
在过程 x 不减有上界
§2.5 极限的存在定理
y y
y f ( x)
x
o x
x
o
x
在过程 x 不增有上界 y
x xo o x0 y f ( x)
x
Y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 X -0.2 -0.4 2 4 6 8 10
y f ( x)
§2.5 极限的存在定理
定理1 不减且有上界的数列必存在极限.
推论1 不增且有下界的数列必存在极限.
定理2 设 f ( x) 在过程 x 中不减且有上界, 则 lim f ( x) 存在.
un
1 n un (1 ) n
n
5 10 15 20
§2.5 极限的存在定理
重要例题
重要极限之二
1 n lim (1 ) e n n
极限公式
1 x lim (1 ) e x x
(1) lim (1
x 0
1 x) x
e
e x 1 (2) lim 1 x0 x
ln(1 x) (3) lim 1 x 0 x
§2.5 极限的存在定理
应用 由递推公式
xn1 f ( xn ) (n 1, 2, )
Y 2
yx
1.5
y 1 x
定义的迭代数列 { xn } 极 限的存在性.
1 u , un1 1 un 例设 1 2 (n 1, 2, ) ，证明数列
{u n }的极限存在，并求之.
1
0.5
u1
0.5 1
u 2 u3
1.5 2
X
§2.5 极限的存在定理
定理3(区间套定理)设有区间序列 {[ an , bn ], n 1,2,}满足
(1)[an , bn ] [an1 , bn1 ] (n 1, 2, ) ; (2) bn an 0 (n ) , 则存在唯一的 x0 [an , bn ] (n 1, 2, ) .
y f ( x) 在过程 x 不减有下界 y
x xo
x
o
x0
y f ( x)
x
在过程 x xo 不减有上界
x x 在过程 o 不增有上界
§2.5 极限的存在定理
1 n u ( 1 ) (n 1, 2, ) 存在极限. 重要例题 证明数列 n n
2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1
a1
a2
an
an1
x0
bn1bnb2 Nhomakorabeab1
x
§2.5 极限的存在定理
定理4 有界数列必存在收敛的子数列. un b2 b1
b3 a3 a2 o
n
a1
定理5 （柯西准则） 数列{u n }极限存在的充要条件是：
0, 正整数N ,当m N , n N时，有 un um .
总结与练习
本讲主要内容
数列与函数极限存在的充分条件 重要极限之二及其应用 区间套定理 柯西准则
内容预告 §2.4-2.5
思考题
1 n1 证明数列 un (1 ) (n 1, 2,) 为递减的. n
作业
P.44:1(4)(6)(9)(10)(12)(13)(14) , 3
§2.5 极限的存在定理
定义1 设 为一实数集,若存在常数 M 满足: (1) x ,恒有 x M ; (2) 0 , x* ,使得 x* M 则称 M 为 的上确界.记为 M sup . 若存在常数 m 满足: (1) x ,恒有 x m ; (2) 0 , x* ,使得 x* m ,
M
x*
M
则称 m 为 的下确界.记为 m inf . 连续性公理 有上界的数集定有唯一上确界.
x
*
m m
§2.5 极限的存在定理
定理1 不减且有上界的数列必存在极限.
推论1 不增且有下界的数列必存在极限.
定理2 设 f ( x) 在过程 x 中不减且有上界, 则 lim f ( x) 存在.