2019中考数学一轮复习 第一部分 教材同步复习 第五章 四边形 第22讲 矩形、菱形、正方形权威预

第一部分 第五章 第22讲
1．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AO ，AD 的中点．若AB ＝5 cm ，BC ＝12 cm ，则EF ＝__134__ cm .
2．如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D ，F 分别是AC ，AB 的中点，CE ∥DB ，BE ∥DC ．
(1)求证：四边形DBEC 是菱形；
(2)若AD ＝3，DF ＝1，求四边形DBEC 面积．
(1)证明：∵CE ∥DB ，BE ∥DC ，
∴四边形DBEC 为平行四边形．
∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是AC 的中点，
∴CD ＝BD ＝12
AC ， ∴四边形DBEC 是菱形．
(2)解：∵点D ，F 分别是AC ，AB 的中点，AD ＝3，DF ＝1，
∴DF 是△ABC 的中位线，AC ＝2AD ＝6，
S △BCD ＝12S △ABC ，∴BC ＝2DF ＝2.
又∵∠ABC ＝90°，
∴AB ＝AC 2－BC 2＝62－22＝4 2.
∵平行四边形DBEC 是菱形，
∴S 四边形DBEC ＝2S △BCD ＝S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×42×2＝4 2. 3．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，CD ＝8，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，AH ＝2，连接CF .
2 (1)当DG ＝2时，求证：四边形EFGH 是正方形；
(2)当△FCG 的面积为2时，求CG 的值．
(1)证明：∵在矩形ABCD 中，∴∠A ＝∠D ＝90°，
∴∠DGH ＋∠DHG ＝90°.
在菱形EFGH 中，EH ＝GH ，
∵AH ＝2，DG ＝2，∴AH ＝DG ，
∴△AEH ≌△DHG ，∴∠AHE ＝∠DGH ，
∴∠AHE ＋∠DHG ＝90°，∴∠EHG ＝90°，
∴四边形EFGH 是正方形．
(2)解：过F 作FM ⊥DC 交DC 延长线于点M ，则∠FMG ＝90°，∠A ＝∠FMG ＝90°，连接EG .由矩形和菱形性质，知AB ∥DC ，HE ∥GF ，
答图
∴∠AEG ＝∠MGE ，∠HEG ＝∠FGE ，
∴∠AEH ＝∠MGF .
∵EH ＝GF ，∴△AEH ≌△MGF ，∴FM ＝AH ＝2.
∵S △FCG ＝12CG ·FM ＝12
×CG ×2＝2，∴CG ＝2.。