四川省凉山州2019 届高三第一次诊断性检测数学(理)试题(精编含解析)

【点睛】本小题主要考查程序框图的知识，解决这类问题只需要按照程序运行的顺序，循环结束后可求得
输出的值.
6.设 DABC 是边长为 2 的正三角形， E 是 BC 的中点， F 是 AE 的中点，则 AB·(FB + FC) 的值为（
）
A. 3 B. 2 3 C. 4 D. 3 3
C. Sn 的最小值为 100 D. Sn 的最大值为 400
【答案】A
【解析】
【分析】
通过归纳得到第 n 次着地时,共经过了[100 +100´
2´ 3
2 +100´
(2)2 ´ 3
2 ++100´
æççè23)n-1 ´
ù 2úm ，从而得
úû
Sn
=100
+ 400[1 -
æççè23
)n-
[100 +100´
2´ 3
2 +100´
(2)2 ´ 3
2 ++100´
æççè23)n-1 ´
ù 2úm .
úû
所以
Sn
=100
+
400 [13
1-
çæçè23
)n-
1
ù úúû
=
100
2
+ 400[1 -
æççè23
)
n
-
1
ù ú， úû
3
则 Sn 是关于 n 的单调增函数，
所以当 n ³
2 时， n = 2 ， Sn 有最小值为 S2
A. EF ^ BB1 B. EF ^ 平面 BCC1B1 C. EF / / 平面 D1BC D. EF / / 平面 ACC1A1
【答案】D 【解析】 【分析】
连接 B1C ，利用中位线证得 EF / / AC ，由此证得 EF / / 平面 ACC1A1 . 【详解】连接 B1C 交 BC1 于 F ，由于四边形 BCC1B1 是平行四边形，对角线平分，故 F 是 B1C 的中点.因为 E 是 AB1 的中点，所以 EF 是三角形 B1AC 的中位线，故 EF / / AC ，所以 EF / / 平面 ACC1A1 .故选 D.
2.已知复数 z = i ，则 z 的共轭复数 z = （ 3 +i
A.
1
-
3 i
10 10
B. 1 + 3 i 10 10
C. 1 + 3 i 22
）
D.
1-
3 i
22
【答案】A
【解析】
【分析】
由复数的除法运算可得 z ，再由共轭复数的概念求 z 即可.
【详解】复数
z
=
3
i +i
=
(3
i(3 - i) +i)(3 -
= 700 . 3
又 Sn
=100 +400[1-
æççè23
)
n-
1
ù ú úû
<
100
+
400
= 500
.
故选 A.
【点睛】本题主要考查数列的前 项和的取值范围的求法,考查等比数列的性质.
11.十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数 n > 2 时，关于 x, y, z 的方程 xn + yn = zn 没有正整数解”.经 历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，
四川省凉山州 2019+届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理）
第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.设集合 A ={x 2x - 1 0}，集合 B ={- 1, 0,1, 2} ，则 AÇB = （ ）
【答案】A 【解析】
【分析】
( )

用 AB, AC 表示 FB, FC ,在利用向量数量积的运算，求得 AB· FB + FC 的值.
( ) ( )
【详解】 AB× FB + FC
=
AB
×2FE
2 cos2x
4
4
=
1 2
sin
æ ççè2x
-
p 4
ö ÷÷ø ，
( ) ( ) 任意 x Î R 都满足 f c + x = f c - x ，即为 x = c 为函数的对称轴.
令 2x - p = p +2kp , k Î Z ，解得 x = 3p +kp , k Î Z .
42
8
当 k = 0 时， x = 3p . 8
9.在 DABC 中， a,b, c 分别是内角 A, B,C 的对边，若 a = 6 ， b = 2c ， cos A = 7 ，则 DABC 的面积等 8
于（ ）
15
A. 3 B.
2
C. 15
D. 17
【答案】B 【解析】 【分析】
由余弦定理可得 cosA = b2 +c2 - a2 = 4c2 +c2 - 6 = 7 ，可得 c，进而得 b，利用面积公式
x 的单调
x1
x2
x
性，由此得出正确的选项.
( ) ( ) 1+ln
【详解】原不等式可转化为
则下面说法正确的是（ ）
A. 存在至少一组正整数组 (x, y, z) 使方程 x3 +x, y 的方程 x3 + y3 =1有正有理数解
C. 关于 x, y 的方程 x3 + y3 =1没有正有理数解
D. 当整数 n > 3 时，关于 x, y, z 的方程 xn + yn = zn 没有正实数解
aa
a
当双曲线的焦点在 y 轴上时，若渐近线方程是 y = ± 2x ，则 a = 2 . b
则离心率 e = c =
a2 +b2 = 1+(b)2 =
5
.
a
a
a2
综上：离心率为
5或
5
.
2
故选 B.
【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率公式 e = c = a2 +b2 = 1+( b )2 ，注意双曲线的焦点所在的轴
f
(c + x) =
f
(c -
x) ，得
x
= c 为函数的对称轴，令
2x - p = p +2kp , k Î Z 解出对称轴即可得解. 42
【详解】函数
f
(x)
=
sinxcos
æ ççèx
-
p 4
ö ÷÷ø-
2 4
=
sinx
æ ç çè
2 2
cosx
+
2 2
ö sinx ÷÷ø-
2 4
= 2 sin2x -
12.若 0 < x1 < x2 < a 都有 x2 ln x1 - x1 ln x2 < x1 - x2 成立，则 a 的最大值为（ ）
1
A.
B. 1 C. e
D. 2e
2
【答案】B
【解析】
【分析】
( ) ( ) 1+ln
将题目所给不等式转化为
x1
< 1+ln
x2
，构造函数
f
x
= 1+ln x ，利用导数研究函数 f
a
a
a
是 x 还是 y 轴，属于易错题.
5.执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ）
A. - 3
3
B.
C. - 1
1
D.
2
2
2
2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据程序运行的顺序，求得 k 的值，代入 S = sin kπ ，从而求得输出 S 的值. 6
【详解】运行程序，当 k = 5 时，判断“是”，退出循环结构， S = sin 5π = 1 ，故选 D. 62
( ) ( ) ( ) 数， a,b 为互质的正整数.代入方程得
m3 n3
+ b3 a3
=1，两边乘以 a3n3 得
am
3+
bn
3=
an
3
，由于
am, bn, an 都是正整数，这与费马大定理矛盾，故假设不成立，所以关于 x, y 的方程 x3 + y3 =1没有正有
理数解.故选 C. 【点睛】本小题主要考查对新概念的理解和运用，考查了反证法证明命题成立，考查了有理数的概念与性 质.有理数是有限小数或者无限循环小数.另一种说法是有理数是可比数，即可以写成两个整数比值的数.根 据有理数的性质，利用反证法，推出和费马大定理矛盾的结果，由此得出正确选项.属于难题.
1
ù ú，从而可得数列单调递增，有最小值，再根据有界性可得 úû
Sn
< 500 .
【详解】第一次着地时,共经过了 100
æ ,第二次着地时,共经过了 ççè100 +100´
2´ 3
ö 2÷÷øm ,第三次着地时,共经
过了[100 +100´
2´ 3
2 +100´
æççè23)2 ´
ù 2úm
úû
, 以此类推,第 n 次着地时,共经过了
i)
=
3i +1 9 +1
=
1 10
+3 10
i
，
z 的共轭复数 z = 1 - 3 i . 10 10
故选 A.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.
3.如图，四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中， E, F 分别是 AB1 、 BC1 的中点，下列结论中，正确的是（ ）
【点睛】本小题主要考查直线和平面的位 置关系，考查棱柱的侧面是平行四边形这一几何性质，还考查了三角形的中位线以及线面平行的证明.两条
直线平行，在直观图中，这两条直线是平行的，通过直观感知 EF / / AC ，再根据线面平行的判定定理即
可得出正确的选项.属于基础题.
4.已知双曲线 E 的渐近线方程是 y = ± 2x ，则 E 的离心率为（ ）
7.设函数 f (x) = sin x cos(x - p ) - 2 ，任意 x Î R 都满足 f (c + x) = f (c - x) ，则 c 的值可以是（ 44
）
p
3p
p
5p
A.
B.
C.
D.
8
8
2
8
【答案】B
【解析】
【分析】
化简函数得
f
(x) =
1 2
sin
æ ççè2
x
-
p 4
ö ÷÷ø ，由
2bc
4c2
8
SDABC
=
1 bcsinA 即可得解.
2
【详解】在 DABC
中，由余弦定理可得 cosA = b2
+c2 2bc
a2
=
4c2
+c2 4c2
-
6
=
7 8
.
解得 c = 2 .所以 b = 2c = 4 .
又 sinA =
1- cos2 A =
15
.
8
所以 SDABC
=
1 bcsinA 2
故选 C.
【点睛】本题主要考查了两角差的余弦展开公式、二倍角公式及三角函数的对称性，属于中档题.
8.已知 x, y Î R ，则“ x2 +( y - 2)2 £ 8 ”是“ x - y +6 > 0 ”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【分析】 画出两个不等式所表示的区域，根据其中的包含关系得出正确选项.
=
AB×AE
=
AB
×1
AB + AC
2
( ) = 1 2
2 AB
+
AB
×AC
=
1 2
æççè22
+2´
2´
cos
π 3
ö ÷÷ø
=
3
，故选
A.
【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量 数量积的计算，还考查了等边三角形的几何性质，属于基础题.
A. 2 或 2
B. 5 或 5 2
C. 5
5
D.
2
【答案】B 【解析】 【分析】
讨论双曲线的焦点在 x 轴和 y 轴两种情况，利用 e = c = a2 +b2 = 1+( b )2 求解即可.
aa
a
【详解】当双曲线的焦点在 x 轴上时，若渐近线方程是 y = ± 2x ，则 b = 2 . a
则离心率 e = c = a2 +b2 = 1+( b )2 = 5 .
A. {- 1, 0} B. {0,1} C. {1, 2} D. {- 1,1}
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得集合 A 中不等式的解集，然后求集合 A,B 的交集.
【详解】由 2x - 1 > 0 得 x > 1 ，故 AÇB ={1, 2} .故选 C.
2
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查集合交集的求法，属于基础题.
=
15
.
2
故选 B. 【点睛】本题主要考查了余弦定理求解三角形及面积公式的应用，属于基础题.
10.一个弹性小球从 100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的 2 再落下，设它第 n 次着地时，经 3
过的总路程记为 Sn ，则当 n ³ 2 时，下面说法正确的是（ ）
A. Sn < 500 B. Sn £ 500
( ) 【详解】不等式 x2 + y - 2 2 £ 8 表示圆内和圆上，不等式 x - y +6 > 0 表示直线的右下方.画出图像如下
图所示，由图可知， A 点在圆上，而不在直线右下方，故两个部分没有包含关系，故为不充分不必要条件.
【点睛】本小题主要考查对于圆内、 圆上和圆外的表示，考查二元一次不等式表示的区域，还考查了充要条件的判断.属于基础题.
【答案】C 【解析】 【分析】
由于 B,C 两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个.利用反证法，先假设有正有理数解，然后
推出跟题目所给费马大定理矛盾，由此得出方程没有正有理数解.
【详解】由于 B,C 两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个.假设关于 x, y 的方程
x3 + y3 =1有正有理数解，故 x, y 可写成整数比值的形式，不妨设 x = m , y = b ，其中 m, n 为互质的正整 na