人教A版高中数学必修2《1.1 空间几何体的结构 习题1.1》_4

1．直三棱柱111ABC A B C I 的各顶点都在同一球面上，若
,<BAC=120.
则此球的表面积等于（ ）
A. B. 20π C. 10π D. 2．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
A.
23 B. 1 C. 43 D. 83
3．已知正四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 上，且该正四棱锥的各个棱长均为2，则球O 的表面积为
A. 4π
B. 6π
C. 8π
D. 16π
A. 4cm 3
B. 5 cm 3
C. 6 cm 3
D. 7 cm 3
5．已知某几何体是两个正四棱锥的组合体，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A. 2π
B.
C. 4π
D. 8π
6．在平行六面体1111ABCD A B C D - 中， 4AB = ， 3AD = ， 15A A = ， 90BAD ∠=︒ ， 1160A AB A AD ∠=∠=︒ ，则1AC = __________．
7．Rt ABC ∆中， 30A =︒，斜边4cm AC =，将边BC 绕边AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为_____________2cm .
8．在边长为2的菱形ABCD 中， BD =ABCD 沿对角线AC 对折，使BD =
三棱锥A BCD -的内切球的半径为______________.
9．如图，在三棱锥P ABC -中， PC ⊥平面ABC ， AC CB ⊥，已知2AC =， PB =PA AB +最大时，三棱锥P ABC -的体积为__________．
10．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形， //AD BC ， 36AD BC ==， PB =点M 在线段AD 上，且4MD =， AD AB ⊥， PA ⊥平面ABCD .
（1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；
（2）当四棱锥P ABCD -体积最大时，求四棱锥P ABCD -的表面积.
11．如图，正方形ABCD 中， AB = AC 与BD 交于O 点，现将ACD 沿AC 折起得到三棱锥D ABC -， M ， N 分别是OD ， OB 的中点.
(1)求证： AC MN ⊥；
(2)若三棱锥D ABC -的最大体积为0V ，当三棱锥D ABC -0，且DOB ∠为锐角时，求三棱锥D MNC -的体积.
参考答案
1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7．B 8．D 9．C
10 11．12π 12 13．4
14．【解析】（1）存在点N ，且N 为1AB 的中点.
证明如下：
如图，连接1A B ， 1BC ，点M ， N 分别为11A C ， 1A B 的中点， 所以MN 为11A BC ∆的一条中位线， //MN BC ，
MN ⊄平面11BB C C ， 1BC ⊂平面11BB C C ，所以//MN 平面11BB C C .
（2）如图，设点D ， E 分别为AB ， 1AA 的中点，连接CD ， DN ， NE ，并设1AA a =，则221CM a =+，
22
414a MN +=+ 284a +=， 2
254a CN =+ 2204a +=，
由CM N ⊥M ，得222CM MN CN +=，解得a =
又易得NE ⊥平面11AAC C ， 1NE =，
M NAC N AMC V V --= 111332
AMC S NE ∆=⋅=⨯ 21⨯=
所以三棱锥M NAC -的体积为3
.
15． （1）∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ∥AD ．∵BC ⊄平面ADF ，AD ⊂平面ADF ，
∴BC ∥平面ADF ．∵四边形ABEF 是菱形，
∴BE ∥AF ．
∵BE ⊄平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，
∴BE ∥平面ADF ．∵BC ∥平面ADF ，BE ∥平面ADF ，BC ∩BE=B ，
∴平面BCE ∥平面ADF ．
∵EM ⊂平面BCE ，∴EM ∥平面ADF ．
（2）取AB 中点P ，连结PE ．∵在菱形ABEF 中，∠ABE=60°，
∴△AEB 为正三角形，∴EP ⊥AB ．∵AB=2，∴EP
∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF=AB ，
∴EP ⊥平面ABCD ， ∴EP 为四面体E ﹣ACM 的高．
∴
.
16．【解析】（1）由6,4AD DM ==可得2AM =， 易得四边形ABCM 是矩形，∴CM AD ⊥，
又PA ⊥平面ABCD ， CM ⊂平面ABCD ，∴PA CM ⊥，
又PM AD M ⋂=， ,PM AD ⊂平面PAD ，∴CM ⊥平面PAD ， 又CM ⊂平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面PAD
（2）四棱锥P ABCD -的体积为()1132
V AD BC =
⋅⋅+⋅ 43AB PA AB PA ⋅=⋅⋅， 要使四棱锥P ABCD -的体积取最大值，只需AB PA ⋅取得最大值. 由条件可得22272PA AB PB +==，∴722PA AB ≥⋅，即36PA AB ⋅≤， 当且仅当6PA AB ==时， PA AB ⋅取得最大值36.
PC =， PD =， CD =，
cos CPD ∠= 2222PC PD CD PC PD +-=⋅⋅，则sin CPD ∠=
∴1sin 2
PCD S PC PD CPD ∆=
⋅⋅⋅∠= 则四棱锥P ABCD -的表面积为 ()11
62666222⎛⎫⋅+⋅+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭ (126102⋅⋅=.
17．(1)依题意易知OM AC ⊥， ON AC ⊥， OM ON O ⋂=，∴AC ⊥平面OMN ，
又∵MN ⊂平面OMN ，∴AC MN ⊥.
(2)当体积最大时三棱锥D ABC -的高为DO ，当体积为02时，高为2DO ，
OBD 中， OB OD =，作DS OB ⊥于S ，∴DS =，∴60DOB ∠=︒， ∴OBD 为等边三角形，∴S 与N 重合，即DN ⊥平面ABC ， 易知D MNC C DMN V V --=.
∵CO ⊥平面DOB ，∴2h CO ==，∴1111222DMN ODN S S ==⨯⨯=，
∴1123346D MNC C DMN DMN V V S CO --==
⋅=⨯⨯=。