【教育资料】2018苏科版八年级下数学四边形综合复习教案学习专用

2019苏科版八年级下数学四边形综合复习
一．选择题（共14小题）
1．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；
④MD=2AM=4EM；⑤AM=MF．其中正确结论的个数是（）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）A．B．C．D．
3．正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，AD上的点，连接PQ、PC、QC，下列说法：①若∠PCQ=45°，则PB+QD=PQ；②若AP=AQ=，∠PCQ=36°，则；
③若△PQC是正三角形，若PB=1，则AP=．其中正确的说法有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
5．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD=AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（）A．B．C．D．
6．如图，正方形ABCD的边长为2，E为线段AB上一点，点M为边AD的中点，EM的延长线与CD的延长线交于点F，MG⊥EF，交CD于N，交BC的延长线于G，点P是MG的中点．连接EG、FG．下列结论：①当点E为边AB的中点时，S△EFG=5；②MG=EF；③当AE=时，FG=；④若点E从点A运动到点B，则此过程中点P移动的距离为2．其中正确的结论的个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．则在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．75°
8．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（）
A．15 B．20 C．35 D．40
9．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB 交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．
A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④
10．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（）A．4 B．5 C．6 D．7
11．如图，E，F，G，H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（）A．B．C．D．
12．如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F．若=6，则△ABC的边长为（）
A．B．C．D．1
13．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC ⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA= AP．其中所有正确结论的序号是（）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
14．如图，已知动点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，
PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1交于点E，F，则AF•BE 的值为（）
A．4 B．2 C．1 D．
二．填空题（共14小题）
15．如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P 在矩形ABCD内．若AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四边形AEPH 的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为cm2．
16．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为cm．
17．如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…S n（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=．
18．如图（1），有两个全等的正三角形ABC和ODE，点O、C分别为△ABC、△DEO的重心；固定点O，将△ODE顺时针旋转，使得OD经过点C，如图（2），则图（2）中四边形OGCF与△OCH面积的比为．
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P 点坐标（﹣5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标．20．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．
21．如图，△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C的位置，A1B1交直线CA于点D．若AC=6，BC=8，当线段CD的长为时，△A1CD 是等腰三角形．
22．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则=．
23．如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE=AP=1，PB=
．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为；③EB ⊥ED ；④S △APD +S △APB =1+
；⑤S 正方形ABCD =4+．其中正确结论的序号是 ． 24．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（﹣6，4），则△AOC 的面积为 ．
25．如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y=的图象上，若点A 的坐标为（﹣2，﹣2），则k 的值为 ．
26．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴正半轴上，顶点D 在反比例函数的第一象限的图象上，CA 的延长线与y 轴负半轴交于点E ．若△ABE 的面积为1.5，则k 的值为 ．
27．如图所示，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果AB=4，AO=6，那么AC= ．
28．如图，在等边△ABC 中，AB=10，D 是BC 的中点，将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，则线段DE 的长度为 ．
三．解答题（共12小题）
29．已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ，AH ⊥MN 于点H ．
（1）如图①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系： ；
（2）如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH ⊥MN 于点H ，且MH=2，NH=3，求AH 的长．（可利用（2）得到的结论）
30．如图，在正方形ABCD 中，点E 、点F 分别在边BC 、DC 上，BE=DF ，∠EAF=60°．
（1）若AE=2，求EC 的长；
（2）若点G 在DC 上，且∠AGC=120°，求证：AG=EG +FG ．
31．（1）人教版八年级数学下册92页第14题是这样叙述的：如图1，▱ABCD 中，
过对角线BD上一点P作EF∥BC，HG∥AB，图中哪两个平行四边形的面积相等？为什么？
根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为和；（2）如图2，点P为▱ABCD内一点，过点P分别作AD、AB的平行线分别交▱ABCD 的四边于点E、F、G、H．已知S▱BHPE=3，S▱PFDG=5，则S△PAC=；
（3）如图3，若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重复、无缝隙）．已知①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD的面积为11，则菱形EFGH的周长为．
32．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．
（1）求证：DP平分∠ADC；
（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．
33．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，长方形AEFG的宽AE=，长EF=．将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH（如图），这时BD与MN相交于点O．
（1）求∠DOM的度数；
（2）在图中，求D、N两点间的距离；
（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ，请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由．
34．如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜45°），得到正方形OA1B1C1．设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB 交于点N，边B1A1与OA的延长线交于点E，连接MN．
（1）求证：△OC1M≌△OA1E；
（2）试说明：△OMN的边MN上的高为定值；
（3）△MNB1的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．
35．探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．
求证：∠ANC=∠ABE．
应用：Q是线段BC的中点，若BC=6，则PQ=．
36．如图，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G．
（1）求证：△ACE≌△CBD；
（2）求∠CGE的度数．
37．已知：如图，矩形ABCD中，DE交BC于E，且DE=AD，AF⊥DE于F．
求证：AB=AF．
38．如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF 分别和AB，AD所在的直线交于点E和F．易得△PBE≌△PDF，故结论“PE=PF”成立；
（1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由；
（2）如图（3）将（2）中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，若AB=m，BC=n，直接写出的值．
39．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？
40．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，AB上，点M在BA的延长线上，且CE=BF=AM，过点M，E分别作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，连接NF．（1）求证：DE⊥DM；
（2）猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．2019苏科版八年级下数学四边形综合复习
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；
④MD=2AM=4EM；⑤AM=MF．其中正确结论的个数是（）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得===2，然后求出MD=2AM=4EM，判断出④正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=MF，判断出⑤正确；过点M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根据正方形的性质求出BO，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE=BF=BC，
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠AMD=180°﹣（∠ADE+∠DAF）=180°﹣90°=90°，
∴∠AME=180°﹣∠AMD=180°﹣90°=90°，故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；
∵∠BAD=90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴===2，
∴AM=2EM，MD=2AM，
∴MD=2AM=4EM，故④正确；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a，
在Rt△ABF中，AF===a，
∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，
∴△AME∽△ABF，
即=，
解得AM=a，
∴MF=AF﹣AM=a﹣a=a，
∴AM=MF，故⑤正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则==，
即==，
解得MN=a，AN=a，
∴NB=AB﹣AN=2a﹣a=a，
根据勾股定理，BM===a，过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，
则OK=a﹣a=a，MK=a﹣a=a，
在Rt△MKO中，MO===a，根据正方形的性质，BO=2a×=a，
∵BM2+MO2=（a）2+（a）2=2a2，
BO2=（a）2=2a2，
∴BM2+MO2=BO2，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．2．如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）A．B．C．D．
【分析】因为题目没有确定正方形EFGH的位置，所以我们可以将正方形EFGH 的位置特殊化，使点H与点A重合，重新作出图形，这样有利于我们解题，过点M作MO⊥ED于O，则可得出OM是梯形FEDC的中位线，从而可求出ON、OM，然后在RT△MON中利用勾股定理可求出MN．
【解答】解：如图，将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M 作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，
∴EO=OD=2，MO=（EF+CD）=2．
∵点N、M分别是AD、FC的中点，
∴AN=ND=，
∴ON=OD﹣ND=2﹣=．
在RT△MON中，MN2=MO2+ON2，即MN==．
故选：B．
【点评】本题考查了梯形的中位线定理、正方形的性质及勾股定理的知识，属于综合性题目，对待这样既有动态因素又不确定位置的题目，一定要将位置特殊化，这样不影响结果且解题过程简单，同学们要学会在以后的解题中利用这种思想．
3．正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，AD上的点，连接PQ、PC、QC，下列说法：①若∠PCQ=45°，则PB+QD=PQ；②若AP=AQ=，∠PCQ=36°，则；
③若△PQC是正三角形，若PB=1，则AP=．其中正确的说法有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】（1）延长AB至点E，使BE=DQ，连接EC，AC，首先通过求证△BEC和△DQC全等推出等量关系，求出∠ECP=45°，然后再求证△PCE≌△PCQ，通过等量代换即可推出结论，
（2）过点Q作∠PQC的角平分线，交PC于点E，首先根据题意推出△PBC和△QDC全等，推出有关的等量关系，推出△PQC为等腰三角形，然后，通过顶角为36°角的等腰三角形的特殊性质，推出PQ2=PE•PC，PE=PC﹣2，解方程组即可推出结论，
（3）取PC的中点E，连接BE，做BM⊥PC于点M，首先根据题意推出Rt△PBC 和Rt△QDC全等，然后根据其性质推出相关角的度数和PB=QD，再通过直角三角形斜边上的中线的性质，和节直角三角形，推出4BM=PC，PC=AP，即得，4BM=AP，然后通过求证△PBM∽△PCB，推出BP：PC=BM：BC，最后通过等量代换，求关于AP的方程即可．注意不合适的值要舍去．
【解答】（1）证明：延长AB至点E，使BE=DQ，连接EC，AC，
∵正方形ABCD，
∴∠BCA=∠DCA=45°，CD=DA=AB=BC，∠D=∠EBC=90°，
∴在△BEC和△DQC中，
∴△BEC≌△DQC（SAS），
∴CE=CQ，∠BCE=∠DCQ，
∵∠PCQ=45°，
∴∠DCQ+∠PCB=45°，
∴∠BCE+∠PCB=45°，即∠ECP=45°，
∵在△PCE和△PCQ中，
∴△PCE≌△PCQ（SAS），
∴PE=PQ，
∵PE=PB+BE=PB+QD，
∴PQ=PB+QD，
（2）过点Q作∠PQC的角平分线，交PC于点E，
∵正方形ABCD，
∴∠A=∠D=∠B=90°，AD=AB=BC=CD，
∵∠PCQ=36°，AP=AQ=，
∴PQ=2，PB=QD，
∴PE=PC﹣2，
∵在△PBC和△QDC中，
∴△PBC≌△QDC（SAS），
∴QC=PC，
∴∠CPQ=∠CQP=72°，
∴∠PQE=∠EQC=36°，
∴QE=QP=EC=2，
∵△QPE∽△CQP，
∴PQ：QC=PE：PQ，即PQ2=PE•PC，
∵PQ=2，
∴PE•PC=4，
∵PE=PC﹣2，
∴PC2﹣2PC﹣4=0，
解得：PC1=1﹣＜0（舍去），PC2=1+，
∴PC=+1，
（3）取PC的中点E，连接BE，做BM⊥PC于点M，∵正方形ABCD，
∴BC=CD=AB=AD，∠D=∠B=∠A=∠BCD=90°，
∵△PCQ为正三角形，
∴QC=PQ=PC，∠QCP=60°，
∵在Rt△PBC和Rt△QDC中，
∴Rt△PBC≌Rt△QDC（HL），
∴∠BCP=∠DCQ=，PB=QD，
∵E为PC的中点，
∴BE=EC=PE=，
∴∠BEM=30°，
∴2BM=BE，
∴4BM=PC，
∵PC=AP，
∴4BM=AP，
∵BM⊥PC，∠BCP=15°，
∴∠PBM=15°，
∴△PBM∽△PCB，
∴BP：PC=BM：BC，
∵PB=1，
∴BC=AB=AP+1，
∴AP2﹣AP﹣1=0，
解得：AP1=1+，AP2=1﹣＜0（舍去），
∴AP=+1，
∴其中说法正确的共3个，
故选：A．
【点评】本题主要考查正方形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的性质等知识点的综合应用，关键在于熟练掌握和应用相关的性质定理，正确地通过作辅助线构建直角三角形、认真正确地解二元一次方程组，解一元二次方程，注意解得的不合题意的值要舍去．
4．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】（1）作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需证明FC=FH，可证：AF=FH；
（2）由FH⊥AE，AF=FH，可得：∠HAE=45°；
（3）作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD=2FG，只需证OA=GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA=GF，故可证BD=2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则IL=HC，可证AL=HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CE=IM，故△CEH的周长为边AM的长，为定值．
【解答】解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDF=45°．
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°．
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC．
∴FH=AF．
（2）∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45°．
（3）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG．
（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，
根据△MEC≌△CIM，可得：CE=IM，
同理，可得：AL=HE，
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH的周长为8，为定值．
故（1）（2）（3）（4）结论都正确．
故选：D．
【点评】解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．
5．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD=AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（）A．B．C．D．
【分析】首先过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，易得四边形APEB，BFPH 是平行四边形，又由四边形BDEF是平行四边形，设BD=a，则AB=4a，可求得BH=PF=3a，又由S△HBC=S△PBC，S△HBC：S△ABC=BH：AB，即可求得△PBC的面积与△ABC面积之比．
【解答】解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，
∵AP BE，
∴四边形APEB是平行四边形，
∴PE∥AB，PE=AB，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴EF∥BD，EF=BD，
即EF∥AB，
∴P，E，F共线，
设BD=a，
∵BD=AB，
∴PE=AB=4a，
则PF=PE﹣EF=3a，
∵PH∥BC，
∴S
△HBC
=S△PBC，
∵PF∥AB，
∴四边形BFPH是平行四边形，∴BH=PF=3a，
∵S
△HBC ：S
△ABC
=BH：AB=3a：4a=3：4，
∴S
△PBC ：S
△ABC
=3：4．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．6．如图，正方形ABCD的边长为2，E为线段AB上一点，点M为边AD的中点，EM的延长线与CD的延长线交于点F，MG⊥EF，交CD于N，交BC的延长线于G，点P是MG的中点．连接EG、FG．下列结论：①当点E为边AB的中点时，S△EFG=5；②MG=EF；③当AE=时，FG=；④若点E从点A运动到点B，则此过程中点P移动的距离为2．其中正确的结论的个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】当E点是AB的中点时，由条件可知AM=AE=1，由勾股定理求出EM=，通过证明△AME≌△DMF，可以得出EM=FM=，EF=2．过M作MQ⊥BC于Q（如图），可以得出Rt△AME∽Rt△QMG，可以求出MG=2，最后由三角形的面积公式求出即可判断①．
作EW⊥CD于W，MQ⊥BC于Q易证△EFW和△MGQ，根据全等三角形的性质推出EF=MG，即可判断②；
求出EM=2，求出FM，得出MG=EF=4，在△FMG中根据勾股定理求出FG，即可判断③；
当E在A点时，P为正方形中心当E运动到B点时，P运动到P'，证Rt△MPP'∽Rt△EMG推出PP'=2MP=2，即可判断④．
【解答】解：
过M作MQ⊥BC于Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=2，∠A=∠B=90°，
∴∠A=∠B=∠BQM=90°，
∴四边形ABQM数矩形，
∴MQ=AB=2，
∵E、M分别为AB、AD中点，
∴AE=AM=1，AM=MD，
由勾股定理得：EM==，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADF=90°，AB∥CD，
∴∠AEM=∠DFM，
∵在△AEM和△DFM中
∴△AEM≌△DFM（AAS），
∴EM=MF=，
∴EF=2，
∵四边形ABQM是矩形，
∴∠AMQ=90°，
∵∠EMG=90°，
∴∠AME+∠EMQ=90°，∠EMQ+∠QMG=90°，
∴∠AME=∠QMG，
∵在△AME和△QGM中，∠A=∠MQG=90°，∠AME=∠QMG，∴△AME∽△QMG，
∴MQ=QG=2，
在Rt△MQG中，由勾股定理得：MG=2，
=EF×MG=×2×2=4，∴①错误；
∴S
△EFG
过E作EW⊥CD于W，
∵MQ⊥BC，四边形ABCD是正方形，
∴EW=AD=MQ=AB，∠MHE=90°，
∵∠EMG=90°，
∴∠MEG+∠EMH=90°，∠EMH+∠GMH=90°，
∴∠MEH=∠QMG，
∵在△FEW和△GMQ中
∴△FEW≌△GMQ（ASA），
∴EF=MG，∴②正确；
∵∠A=90°，AM=1，AE=，
∴由勾股定理得：EM=2=FM，
∴MG=EF=2+2=4，
在Rt△FMG中，由勾股定理得：FG==2√5，∴③正确；
当E在A点时，P为正方形中心
当E运动到B点时，P运动到P'，
∵△ABM∽△MGB（已证），
∵P为MQ的中点，P′为MG中点，
∴PP′∥BC，
∴∠MPP′=∠MQG=90°=∠BMG，∠MP′P=∠MGB，
∴△MPP'∽△BMG，
∴PP'=2MP=2，∴④正确；
即正确的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目综合性比较强，难度偏大，对学生提出了较高的要求．
7．则在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，则可证得△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．
【解答】解：延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形，
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，
∴△DAF为等腰三角形，
∴AD=DF，
∴平行四边形AHFD为菱形，
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF，
在△BHD和△GFD中，
∴△BHD≌△GFD（SAS），
∴∠BDH=∠GDF，
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．
故选：C．
【点评】此题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
8．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（）
A．15 B．20 C．35 D．40
【分析】连接EF，易证△EFG的面积与△ABG的面积，即可解决．【解答】解：连接EF，∵S
△ABF
=S△EBF
∴S
△EFG
=S△ABG=15；
同理：S
△EFH
=S△DCH=20
∴S
阴影=S
△EFG
+S
△DCH
=15+20=35．
故选：C．
【点评】此题主要考查三角形面积公式的综合应用，关键是注意到△EFG面积与△ABG面积的关系．
9．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB 交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④
【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
【解答】解：∵△ABE、△ADF是等边三角形
∴FD=AD，BE=AB
∵AD=BC，AB=DC
∴FD=BC，BE=DC
∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE
∴∠CDF=∠EBC
∴△CDF≌△EBC，故①正确；
∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+（180°﹣∠CDA）=300°﹣∠CDA，
∠FDC=360°﹣∠FDA﹣∠ADC=300°﹣∠CDA，
∴∠CDF=∠EAF，故②正确；
同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF，
∵BC=AD=AF，BE=AE，
∴△EAF≌△EBC，
∴∠AEF=∠BEC，
∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°，
∴∠FEC=60°，
∵CF=CE，
∴△ECF是等边三角形，故③正确；
在等边三角形ABE中，
∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段
∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG=30°，∠ABC=150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．
10．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（）A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】观察图形根据勾股定理的几何意义，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
【解答】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=4，故选A．
【点评】勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
11．如图，E，F，G，H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（）A．B．C．D．
【分析】首先根据正方形的对称性得到阴影部分是正方形，设正方形的边长为3a，利用勾股定理求出CH、DM、HM的长，即可得到MN的长，也就是阴影部分的边长，面积也就求出了，再求比值就可以了．
【解答】解：设CH与DE、BG分别相交于点M、N，正方形的边长为3a，DH=CG=a，首先由正方形的中心对称得到阴影部分为正方形，以及△ADE≌△DCH，证到DM ⊥CH，
在Rt△CDH中，由勾股定理得CH=a，由面积公式得CH•DM=DH•CD
得DM=a，
在Rt△DMH中由勾股定理得MH=，
则MN=CH﹣MH﹣CN=a﹣﹣=，
所以阴影部分的面积：正方形ABCD的面积=：9a2=2：5．
故选：A．
【点评】本题考查学生对相似形的性质，正方形的性质及全等三角形的判定方法的掌握．
12．如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F．若=6，则△ABC的边长为（）
A．B．C．D．1
【分析】过点A作直线PQ∥BC，延长BE交PQ于点P；延长CF，交PQ于点Q．证明△BCE∽△PAE，△CBF∽△QAF，
构造+与BC的关系求解．
【解答】解：过点A作直线PQ∥BC，延长BD交PQ于点P；延长CD，交PQ于点Q．
∵PQ∥BC，
∴△PQD∽△BCD，
∵点D在△ABC的中位线上，
∴△PQD与△BCD的高相等，
∴△PQD≌△BCD，
∴PQ=BC，
∵AE=AC﹣CE，AF=AB﹣BF，
在△BCE与△PAE中，∠PAE=∠ACB，∠APE=∠CBE，
∴△BCE∽△PAE，=…①
同理：△CBF∽△QAF，=…②
①+②，得：+=．
∴+=3，
又∵=6，AC=AB，
∴△ABC的边长=．
故选：C．
【点评】本题综合考查了三角形中位线定理及三角形的相似的知识，解题的关键是作平行线构造相似，从而得到已知与所求线段的关系．
13．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC ⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA= AP．其中所有正确结论的序号是（）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
=S△OAC=，故①正确；【分析】由于A、B是反比函数y=上的点，可得出S
△OBD
当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
【解答】解：∵A、B是反比函数y=上的点，
=S△OAC=，故①正确；
∴S
△OBD
当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；
∵P是y=的图象上一动点，
=4，
∴S
矩形PDOC
∴S
=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；
四边形PAOB
连接OP，
===4，
∴AC=PC，PA=PC，
∴=3，
∴AC=AP；故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
14．如图，已知动点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1交于点E，F，则AF•BE 的值为（）
A．4 B．2 C．1 D．
【分析】由于P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M 点的坐标都可以a表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE．
【解答】解：作FG⊥x轴，
∵P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0，），M点的坐标为（a，0），
∴BN=1﹣，
在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），∴NF=BN=1﹣，
∴F点的坐标为（1﹣，），
同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），
∴AF2=（1﹣1+）2+（）2=，BE2=（a）2+（﹣a）2=2a2，
∴AF2•BE2=•2a2=1，即AF•BE=1．
故选：C．
【点评】本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值．
二．填空题（共14小题）
15．如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P 在矩形ABCD内．若AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四边形AEPH 的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为8cm2．
【分析】首先连接AP，CP．把该四边形分解为三角形进行解答．设△AHP在AH 边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y．得出AH=CF，AE=CG．然后得出S
四边
=S△AHP+S△AEP．根据题意可求解．
形AEPH
【解答】解：连接AP，CP，设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y．
则△CFP在CF边上的高为4﹣x，△CGP在CG边上的高为6﹣y．
∵AH=CF=2cm，AE=CG=3cm，
=S△AHP+S△AEP．
∴S
四边形AEPH
=AH×x×+AE×y×
=2x×+3y×=5cm2
2x+3y=10
S四边形PFCG=S△CGP+S△CFP=CF×（4﹣x）×+CG×（6﹣y）×
=2（4﹣x）×+3（6﹣y）×
=（26﹣2x﹣3y）×
=（26﹣10）×
=8cm2．
故答案为8．
【点评】本题考查的知识点：四边形的面积通常分解为三角形的面积来求解．
16．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为cm．
【分析】首先取CD的中点G，连接HG，设AB=6acm，则BC=7acm，中间菱形的对角线HI的长度为xcm；然后根据GH∥BC，可得x=3.5a﹣2；再根据上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，可得a（7a﹣x）=18，据此求出a、x的值各是多少；最后根据AM∥FC，求出HK的长度，再用HK的长度乘以4，求出该菱形的周长为多少即可．
【解答】解：如图乙，H是CF与DN的交点，取CD的中点G，连接HG，，设AB=6acm，则BC=7acm，中间菱形的对角线HI的长度为xcm，
∵BC=7acm，MN=EF=4cm，
∴CN=，
∵GH∥BC，
∴x=3.5a﹣2…（1）；
∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，
∴6a•（7a﹣x）÷2=54，
∴a（7a﹣x）=18…（2）；
由（1）（2），可得
a=2，x=5，
∴CD=6×2=12（cm），CN=，
∴DN==15（cm），
又∵DH===7.5（cm），
∴HN=15﹣7.5=7.5（cm），。