湖南省郴州市苏仙区九年级数学上册 第14讲 相似三角形的应用与位似变换培优(无答案)(新版)湘教版

第14讲 相似三角形的应用与位似变换
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一、知识点：
观察下图,图中的多边形相似吗?如果相似,那么这种相似有什么共同的特征
?
1、位似图形的概念:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,对应点到位似中心的距离比称为位似比.每对位似对应点与位似中心共线(位似中心可在形上、形外、形内);不经过位似中心的对应线段平行.
2、位似变换的作用：利用位似变换可以将一个图形放大或缩小.
如：把图中的四边形ABCD 缩小到原来的一半.
作法一: 作法二: 作法三:
3、位似图形的性质：（1）位似图形上的对应点与位似中心在同一条直线上.
（2）位似图形上的对应线段平行或在同一条直线上.（3）位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一起性质. 二、例题讲解：
【例1】如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上的任一点，连接AM 并将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ，在CD 边上取点P 使CP ＝BM ，连接NP 、BP. (1)求证：四边形BMNP 是平行四边形；
(2)线段MN 与CD 交于点Q ，连接AQ ，若△MCQ∽△AMQ，则BM 与MC 存在怎样的数量关系？请说明理由．
【例2】如图，□ABCD 的一边6=AD ，若OB OA 、的长是的一元二次方程01272
=+-x x 的两个根，
OB OA >.
（1）求直线AB 的解析式；（2）若E 为x 轴上的点，且3
16
=
AOE S △，求经过E D 、的直线的解析式，并判断AOE △与DAO △是否相似，并说明理由；
（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使得以M F C A 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由
.
【例3】如图，正方形OABC 的边长为4，点A,C 分别在y 轴和x 轴的正半轴上，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度在线段AB 上来回运动，动点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿B-C-O 方向向点O 运动，P,Q 点同时出发，当点Q 到达点O 时，两点同时停止运动，设运动时间为()s t .
（1）当t=1时，求直线PQ 的解析式；（2）当点Q 在BC 上运动时，若以P,B,Q 为顶点的三角形与△AOP 相似，求t 的值
.
【例4】如图，有一所正方形的学校，北门(点A )和西门(点B )分别开在北、西面围墙的正中间．在北门的正北方30米处(点C )有一棵大榕树．如果一个学生从西门出来，朝正西方走750米(点D )，恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地________平方米．
【例5】已知反比例函数y ＝
1
x
，求以坐标原点为位似中心，位似比为2：1的反比例函数解析式．
三、课堂练习：
1. △ABC 与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC 的面积是2，则△A′B′C′的面积是（ ）
影子
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
2.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1、S 2，则S 1＋S 2的值为( )
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
3.如图，将一张直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？( )
A. 甲＞乙，乙＞丙
B. 甲＞乙，乙＜丙
C. 甲＜乙，乙＞丙
D. 甲＜乙，乙＜丙
4.如图25－6－11所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中的数据计算两层楼之间的高度．
5.我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图K －27－11是小然站在地面MN 上欣赏悬挂在墙壁PM 上的油画AD (PM ⊥MN )的示意图，设油画AD 与墙壁的夹角∠PAD ＝α，此时小然的眼睛与油画底部A 处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E 处，且与AD 垂直．已知油画的高度AD 为100 cm.
(1)直接写出视角∠ABD (用含α的式子表示)的度数；
(2)
当小然到墙壁PM 的距离AB ＝250 cm 时，求油画顶部点D 到墙壁PM 的距离．
四、课后作业：
1．三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成的影子如图所示. 如果灯泡到三角尺的距离是0.8米，三角尺到墙的距
离是1.6
2．如图，点D 、E 、F 分别是△ABC （AB ＞AC ）各边的中点，下列说法错误的是（ ） A ．AD 平分∠BAC B ．△AEF ∽△ABC
C ．EF 与A
D 互相平分 D ．△DF
E 是△ABC 的位似图形
3.数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为 米．
4.方案设计题已知直角三角形铁片ABC 的两条直角边BC ，AC 的长分别为6和8，如图所示，分别采用①②两种方法，剪出一块正方形铁片，为使剪去正方形铁片后剩下的边角料较少，试比较哪种剪法较为合理，并说明理由．
5.如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度，小亮在操场上的点C 处直立高3 m 的竹竿CD ，然后退到点E 处，此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小亮又在点C 1处直立高3 m 的竹竿C 1D 1，然后退到点E 1处，此时恰好看到竹竿顶端D 1与电线杆顶端B 重合．小亮的眼睛离地面的高度EF ＝1.5 m ，量得CE ＝2 m ，EC 1＝6 m ，C 1E 1＝3 m.
(1)△FDM ∽△______，△F 1D 1N ∽△______； (2)求电线杆AB 的高度．。