多元复合函数的求导62314

dz z dx z dy x y
若 u , v就是 ( z u z v ) dy 自变量,则
u y v y
( u dx u dy ) x y
( v dx v dy ) 的全微分为 x y
du dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例 6. 利用全微分形式不变性再解例1.
解: dz d( eu sin v ) eu cos v dv
d (xy)
d (x y)
(yd x xdy) exy[ y sin(x y) cos(x y)]d x
(dx dy)
dy
所以
例1 . z eu sin v, u xy, v x y, 求 z , z . x y
1、一元函数与多元函数复合的情形
（1）z f (u,v), u (t),v (t)
d z z d u z dv d t u d t v d t
z
z u
du
u dt t
( 全导数公式 )
z v dv
（2） z f (u), u (x, y)
v
2ze
x2

y2

z
2

2
x
sin
y
u
y
y
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
z
u y
f y
f z z y

2ye
x2
e
x2

y2

z
2

x2
cos
y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
z f ((x, y), (x, y),w(x, y)) 在点( x, y) 的两个偏导数都存
在，并且有
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
d z z x z y x y
d z z dx z d y x y
(1) 函数可微 (2) 函数可微
偏导数存在 偏导数连续
函数连续
多元复合函数的求导法则 1、一元函数与多元函数复合的情形 2、多元函数与多元函数复合的情形 3、其他情形
u
x
z z u z v
z
y u y v y
v
y
类似地再推广，设u ( x, y),v ( x, y) ,w w( x, y)
都在点( x, y) 具有对 x 和 y 的偏导数，函数z f (u,v, w)
在对应点 (u, v, w) 具有连续偏导数，则复合函数
全微分的定义
定义: 设函数 z = f ( x, y )在点( x , y )的某邻域内有定 义，如果函数在点( x , y ) 的全增量
可表示成 z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δx B Δ y 称为函数 f (x, y)
z z u z dv z
y u y v dy
v
y
在情形3中，还会遇到这样的情形：复合函数 的某些中间变量本身又是复合函数的自变量.
例如：设函数 z f (u, x, y),
则复合函数
u
z
vx
y
w
f
f
u
x
x z z u z
x u x x
( z ) x
dt
“分道相加，连线相乘
z f (u) u
x
x
z f (u) u ”
y
y
u
f (u) x x
zu
u y
y
2、多元函数与多元函数复合的情形
定理. 若函数
z f (u,v)
处有连续偏导, 则复合函数 在点 (x,y)的两个偏导数都存在, 且有
z z u z v x u x v x
例4.
设 z uv sin t ,
u et ,
v cos t ,
求全导数dz . dt
解: dz z du
z
u
dt u dt vet
t z cos t
v
t
e t (cost sin t) cos t
t
二、多元复合函数的全微分
设函数
都可微,
则复合函数 z f ( (x, y), (x, y))的全微分为
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则 （1）“分道相加，连线相乘
”（2）设复合函数的因变量为 z ，中间变量为
u j ( j 1,2, m) ，自变量为 xi (i 1,2, n) ，则
z
m

z u j
xi j1 u j xi
如果有一元函数，则
将 改成 d
2. 全微分形式不变性
例2. 设 求 w, 2w . x xz
f 具有二阶连续偏导数,
3、其他情形
定理. 若函数
具有对 x 和 y 的偏导数，
函数 v (y) 在点 y 可导, z f (u,v)
处有连续偏导, 则复合函数
在点( x, y) 的两个偏导数都存在，且有
z z u
u
x
x u x
ux zv
wy
例1. 设 z eu sin v, u xy , v x y , 求 z , z .
解: z
z v
x y
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
y z f u f
x u x x
z f u f y u y y
例3. u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u
x y
解:
u x

f x
x x

2xe x 2

y2

z2
不论 u , v 是自变量还是中间变量,
d z fu (u ,v) d u fv (u ,v) d v