(四川 重庆版 第03期)2020届高三数学 名校试题分省分项汇编 专题09 圆锥曲线 理

四川，重庆版（第03期）-2014届高三名校数学（理）试题分省分项汇编 专题
09 圆锥曲线
一．基础题组
1. 【四川省绵阳市高2014届第二次诊断性考试数学（理）】圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，
被双曲线13
2
2
=-y x 的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为（ ）
A ．x 2+(y -1)2=1
B ．x 2+(y -3)2=3
C ．x 2
+(y -
32)2=34
D ．x 2+(y -2)2
=4
2. 【四川省绵阳南山中学2014高三12月月考数学（理）】椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右顶点
分别为B A ,，左、右焦点分别为21,F F ,若B F F F AF 1211,,成等比数列，则此椭圆的离心率为( ) A.
41 B. 55 C. 2
1
D. 25-
3.【四川省绵阳市高2014届第二次诊断性考试数学（理）】已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆
22221(0)x y a b a b +=>>上的任意一点，若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos α5，sin(α+β)=35
，则此椭圆的离心率为 ．
4. 【四川省绵阳南山中学2014
高三12月月考数学（理）】若椭圆)0(1:1121
2
2121>>=+b a b y a x C 和
)0(1:2222
2
2222>>=+b a b y a x C 是焦点相同且21a a >的两个椭圆，有以下几个命题：①21,C C 一定没有公共
点；②
2
121b b a a >；③2
22122
21b b a a -=-；④2121b b a a -<-，其中，所有真命题的序号为 。

5.【四川省资阳市高2014届高三上期第二次诊断考试数学（理）】已知点P 在抛物线24x y =上，且点P 到x 轴的距离与点P 到此抛物线的焦点的距离之比为1:3，则点P 到x 轴的距离是 （ ） （A ）
1
4
（B ）
1
2
（C ）1
（D ）2
6.【四川省资阳市高2014届高三上期第二次诊断考试数学（理）】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的渐
近线与圆22420x y x +-+=有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是__________.
二．能力题组
1. 【四川省绵阳市高2014届第二次诊断性考试数学（理）】（本题满分13分）已知椭圆C 的两个焦点是(0，3和(03，并且经过点3
(
1)，抛物线的顶点E 在坐标原点，焦点恰好是椭圆C 的右顶点F ．
（Ⅰ）求椭圆C 和抛物线E 的标准方程；
（Ⅱ）过点F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线l 1、l 2，l 1交抛物线E 于点A 、B ，l 2交抛物线E 于点G 、
H ，求⋅的最小值．
【答案】（I ）椭圆C 的标准方程为2
214
y x +=；抛物线E 的标准方程为24y x =；
（Ⅱ）最小值为16． 【解析】
试题分析：（I ）由题意得 c =3，2233
2(13)(13)444
a =
+++-=，从而222b a c =-=1，椭圆C 的标准方程为2214y x +=．该椭圆右顶点的坐标为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以1242
p
p ==，，
抛物线E 的标准方程为24y x =．（Ⅱ）设l 1的方程：(1)y k x =-，l 2的方程1
(1)y x k
=--，11()A x y ，，
22()B x y ，，33()G x y ，，44()H x y ，.注意AB GH ⊥，且它们交于点F ，所以可将⋅作如下变
形：()()AG HB AF FG HF FB ⋅=+⋅+
=FB FG HF FG FB AF HF AF ⋅+⋅+⋅+⋅=|AF |·|FB |+|FG |·|HF |，这样先将
|AF |·|FB |+|FG |·|HF |用1234,,,x x x x 表示出来，再利用韦达定理用k 表示，从而求得其最小值.
∴ ()()AG HB AF FG HF FB ⋅=+⋅+
=FB FG HF FG FB AF HF AF ⋅+⋅+⋅+⋅ =|AF |·|FB |+|FG |·|HF | =|x 1+1|·|x 2+1|+|x 3+1|·|x 4+1| =(x 1x 2+x 1+x 2+1)+(x 3x 4+x 3+x 4+1) =8+
2244
k k
+ ≥8+2244
2
k k
⋅
=16． 当且仅当
2
2
44k
k =即k =±1时，HB AG ⋅有最小值16．……………………13分 考点：1、椭圆与抛物线；2、直线与圆锥曲线. 三．拔高题组
1. 【四川省绵阳南山中学2014高三12月月考数学（理）】(本题满分13分)设椭圆E : 22
22x y a b
+=1
（0>>b a ）过点M （2，2）, N （6，1），O 为坐标原点. （I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由。

试题解析： （I ）因为椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （22 ，6两点，
所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得2211
8
114
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y +=.............4分
因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为
21m
r k =+222
228381318
m m r m k ===-++
,26r =所求的圆为
228
3
x y +=
,................................................................................11分
此时圆的切线y kx m =+都满足26m ≥
26
m ≤, 而当切线的斜率不存在时切线为63x =±与椭圆
22
184
x y +=的两个交点为66(33±或266
(33
-
±满足OA OB ⊥,............................................................12分
综上, 存在圆心在原点的圆2
2
8
3
x y +=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
OA OB ⊥..............................................................................
........ .............13分
考点：1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系.
2.【四川省资阳市高2014届高三上期第二次诊断考试数学（理）】（本小题满分12分） 设函数4()log (41)x f x ax =++（a ∈R ）
（Ⅰ）若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，求a 的值；
（Ⅱ）若不等式()()f x f x mt m +-≥+对任意x ∈R ，[2,1]t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．
故实数m 的取值范围是1[1,]2
-．
··································· ……………………………………………….12分
考点：1、函数的奇偶性；2、不等式恒成立问题.。