河南省八市2017-2018学年高二下学期第一次测评理科数

八市学评2017-2018（下）高二第一次测评
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为虚数单位，则复数的虚部是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得：
∴复数的虚部是
故选：D
2. 函数的单调递增区间是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】f′（x）=（x﹣2）e x，
令f′（x）＞0，解得x＞2．
∴函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（2，+∞）．
故选：B．
3. 已知物体运动的速度与事件的关系式为，则落体从到所走的路程为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由积分的物理意义可知运动从t=0到t=5所走的路程为
，
故选：B．
4. 某校在高二年级设有三个数学竞赛班，学期中有四位同学想要加入，但每班至多可再接受2位同学，那么不同的分配方案有（）
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
【答案】B
【解析】依题意，分两种情况讨论：
②，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分配方案共有C31•C42=18种；
因此，满足题意的不同的分配方案有36+18=54种．
故选：B．
5. 曲线相切于处的切线方程是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：因为曲线相切于点处的切线的斜率为2，则切线方程是
，选D
6. 下面几种推理中是演绎推理的序号为（）
A. 由金、银、铜、铁可导电，猜想:金属都可导电
B. 猜想数列的通项公式为
C. 半径为的圆的面积，则单位圆的面积为
D. 由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为
【答案】C
【解析】选项A是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，
选项B是由特殊的n的值：1，2，3，…到一般的值n的推理过程，为归纳推理，
对于C：半径为r圆的面积S=πr2，因为单位圆的半径为1，则单位圆的面积S=π中半径为r 圆的面积S=πr2，是大前提，单位圆的半径为1是小前提，单位圆的面积S=π为结论．C是演绎推理；
选项D是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，
故选：C．
7. 已知复数，且满足，则复数在复平面内对应的点位于第象限
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
【答案】D
【解析】∵，
∴=，
即+ i=，
∴=，=﹣，
∴a=7，b=﹣10，故复数Z在复平面内对应的点是（7，﹣10），在第四象限，
故选：D
点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可；复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．
8. 已知，且对于任意的都有：①；
②，给出以下三个结论：（1）；（2）；（3），其中正确的个数为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵f（1，1）=1，f（m，n+1）=f（m，n）+2；f（m+1，1）=2f（m，1）
（1）f（1，5）=f（1，4）+2=f（1，3）+4=f（1，2）+6=f（1，1）+8=9；
故（1）正确
（2）f（5，1）=2f（4，1）=4f（3，1）=8f（2，1）=16f（1，1）=16；
故（2）正确
（3）f（5，6）=f（5，5）+2=f（5，4）+4=f（5，3）+6=f（5，2）=8=f（5，1）+10=16+10=26；故（3）正确
故选：A
9. 用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；
由n=k，末项为到n=k+1，末项为，
∴应增加的项数为2k．
故选：C．
10. 在展开式中含项的系数为，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】考点：二项式定理
由二项式通式可知，，则当时，项的系数为
，解得.
11. 已知是定义在上的偶函数且它的图象是一条连续不断的曲线，当时，，若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵当x＞0时，f′（x）0，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（lgx）＞f（1），等价于
f（|lgx|）＞f（1），
∴|lgx|1，
∴lgx＜1，
∴＜x＜10，
故选：C
点睛：本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是
奇函数还是偶函数）；（3）化成后再利用单调性和定义域列不等式组.
12. 已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：根据可知函数的导数大于或等于，所以
，分离参数得，而当时，最大值为，故. 考点：函数导数与不等式，恒成立问题．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知，则 __________．
【答案】
【解析】y′=2（1+cos2x）•（﹣sin2x）•2=﹣4sin2x（1+cos2x）；
∴
故答案为：
14. 由曲线和直线所围成的图形的面积为__________．
【答案】18
【解析】联立方程：
解得曲线y2=2x 和直线y=x﹣4的交点坐标为：
（2，﹣2），（8，4）
选择y为积分变量
∴由曲线y2=2x 和直线y=x﹣4所围成的图形的面积：
S==（y2+4y﹣y3）=18
故答案为：18
15. 对大于或等于2的自然数的次方幂由如下分解方式：
根据上述分解规律，则，若的分解中最小的数是73，则的值为__________．
【答案】9
【解析】根据23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，
从23起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，
故m3的首数为m2﹣m+1
∵m3（m∈N*）的分解中最小的数是73，
∴m2﹣m+1=73
∴m=9．
故答案为：9．
16. 设函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意，1+x＞0
f′（x）==，
∵f（x）=mx3+x恰有有两个极值点，
∴方程f′（x）=0必有两个不等根，
即2x2+2x+m=0在（﹣1，+∞）有两个不等根
∴
解得0＜m＜
故答案为：．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大
（1）求的值；
（2）求展开式中系数的最大的项.
【答案】(1) (2) 第八项和第九项.
【解析】试题分析：（1）由（1+2x）n的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大即c n5=C n6且最大，可求n
（2）由（1）可知n=11，设（1+2x）11展开式中系数最大的项第r+1项T r+1=2r•C11r•x r，令t r+1=2r•C11r，则，代入解不等式可求r
试题解析：
（1）因为第六项，第七项二项式系数最大，所以；
（2）设展开式中系数最大的项第项，
，令，则解得或，
当时，
当时，，
展开式中系数最大的项有两项，即第八项和第九项.
18. 已知函数为常数，且）有极大值.
（1）求的值；
（2）若斜率为的直线是曲线的切线，求此直线的方程.
【答案】(1) (2) 或
【解析】试题分析：（1）求出导函数，求出导函数等于0的两个根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况的表格，求出极大值，列出方程求出m的值．
（2）将（1）求出的m的值代入导函数，利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率，令导数等于﹣5，求出x即切点横坐标，将横坐标代入f（x）求出切点坐标，利用直线方程的点斜式写出切线方程．
试题解析：
（1）由，则和，
当变化时，与的变化情况如下表：
从而可知，当时，函数取得最大值，即，
所以.
（2）由（1）知，，依题意，所以获，又，所以切线方程为，或，
即或.
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点
及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：
．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
19. （1）已知，用分析法证明：；
（2）若，用反证法证明：函数无零点.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析：（1）利用分析法证明：；（2）利用反证法证明：
函数无零点.
试题解析：
（1）证明：由有，要证：，
只需证，
只需证，
只需证，因为恒成立，所以.
（2）证明：假设函数有零点，
则在上有解，即在上有解，
设，
当时，，当时，，
所以，所以，
但这与条件矛盾，故假设不成立，即原命题得证.
20. 已知函数 .
（1）求的单调区间和值域；
（2）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】(1)减区间 (2)
【解析】试题分析：（1）对函数求导，得，明确的正负范围，从而得到的单调区间和值域；
（2）分别明确、的值域，若对于任意，总存在，使得成立转化为两个值域间的包含关系，从而得到的取值范围.
试题解析：
（1）对函数求导，得，
令解得或，
当变化时，的变化情况如下表：
当时，是增函数，当时，是减函数，
当时，的值域为.
（2）对函数求导，得，
因为，当时，，
因此当时，为减函数，从而当时有，，
又，即当时有，
任给，，存在使得，
则，
解（1）式得或，
解（2）式得，又，故的取值范围是.
21. 若，观察下列不等式：
请你猜猜满足的不等式，并用数学归纳法加以证明.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】试题分析：根据观察,可知,然后利用数学归纳法证明.
试题解析：将满足的不等式为，证明如下:
（1）当时，结论成立
（2）假设时，结论成立，即
那么，当时，
显然，当时，结论成立
由（1）（2）知对于大于2的整数，成立.
考点：1、数学归纳法；2、合情推理与演绎推理.
【思路点睛】本题有两个部分,一个是合情推理与演绎推理与演绎推理,这部分需要我们仔细观察,题目列举的式子左边有几项,右边就是项数的平方,归纳之后得出不等式;第二个部分是数学归纳法,数学归纳法主要分成3个步骤,1是验证是成立,2是假设当时成立,3是证明当时也成立.
22. 已知函数在上是增函数.
（1）求实数的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设，求函数的最小值.
【答案】(1) (2) 当时，的最小值为，当时，的最小值为
【解析】试题分析：（1）函数在上是增函数转化为导函数大于等于0恒成立，用分离参数求最值解决；
（2）处理含有参数的绝对值函数的最值问题，关键是去绝对值，需考虑e x﹣a的正负问题，进行讨论．去绝对值后转化为关于t的一次函数，利用单调性求最值即可．
试题解析：
（1），因为在上是增函数，
所以在上恒成立，即恒成立，
（当且当时等号成立），
所以，所以.
（2）设，则，因为，所以，
当时，，
的最小值为，
当时，，
所以当时，的最小值为，当时，的最小值为.。