九年级数学上册 第26章 解直角三角形 26.4 解直角三角形的应用导学课件上册数学课件
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12/12/2021
26.4 解直角三角形的应用
目标突破
目标一 利用锐角三角函数解决仰角、俯角问题
例 1 [教材补充例题 2017·吉林]如图 26－4－1，一枚运 载火箭从距雷达站 C 处 5 km 的地面 O 处发射，当火 箭到达点 A，B 时，在雷达站 C 处测得点 A，B 的仰角 分别为 34°，45°，其中点 O，A，B 在同一条直线上．求 A，B 两点间的距离(结果精确到 0.1 km)． (参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈
总结反思
小结 知识点一 仰角和俯角的概念
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线___上__方___的 角叫做仰角，视线在水平线___下__方___的角叫做俯角．
12/12/2021
26.4 解直角三角形的应用
[归 纳 ]这 类 问 题 常 会 涉 及 以 下 基 本 图 形 ： 图 26－ 4－ 4
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26.4 解直角三角形的应用
知识点二 方向角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的角叫做方 向角．如图26－4－5 中，目标方向线OA，OB，OC，OD的方向 角分别是北偏东60°、北偏西20°、南偏西45°、南偏东60°.我们习 惯上说的“东南方”是指目标线为南偏东45°.
图26－4－3
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26.4 解直角三角形的应用
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解：过点 A 作 BC 的垂线交 BC 于点 E. 在 Rt△ABE 中，AB＝25 米，∠ABC＝62°， ∴AE＝25×sin62°≈25×0.88＝22.00(米)， BE＝25×cos62°≈25×0.47＝11.75(米)． 在 Rt△ADE 中，AE≈22.00 米，tan50°≈1.19， ∴ DE ＝ ta nA5E0 ° ≈ 212..1090 ≈ 18.49 ( 米 )， ∴DB＝DE－BE≈18.49－11.75≈6.7(米)． 答：此时应将坝底向外拓宽约 6.7 米．
0.67.) 12/12/2021
图26－4－1
26.4 解直角三角形的应用
解：由题意，可得∠AOC＝90°，OC＝5 km. 在Rt△AOC 中，∵tan34°＝OOCA， ∴OA＝OC·tan34°≈5×0.67＝3.35 (km)． 在Rt△BOC 中，∠BCO＝45°， ∴OB＝OC＝5 km， ∴AB＝OB－OA≈5－3.35≈1.7 (km)． 答：A，B两点间的距离约为1.7 km.
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26.4 解直角三角形的应用
目标三 利用锐角三角函数解决坡度和坡角问题
例 3[教材补充例题 2017·青岛]如图 26－4－3，一堤 坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度 AB＝25 米(图为横 截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝 的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将 坝底向外拓宽多少米？(结果精确到 0.1 米．参考数 据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.19)
图26－4－6
26.4 解直角三角形的应用
反思
某河坝截面如图 26－4－7，堤高 BC＝6 m，迎水坡 AB＝6 2 m，则迎水 坡 AB 的坡度为( )
A．30°
B．45°
C.
2 2
D．1∶1
解：∵在 Rt△ABC 中，∠BCA＝90°，BC＝6 m，AB＝6 2 m，
∴sinA＝BACB＝ 2 2，∴∠A＝45°，即迎水坡 AB 的坡度为 45°.
26.4 解直角三角形的应用
[归纳总结]用锐角三角函数解决有关坡度、坡角问题的步骤 (1)将实际问题抽象成数学问题； (2)结合题意，画出图形； (3)构建直角三角形(若没有直角三角形，可以通过作辅助线构 造直角三角形)； (4)正确选用三角函数求解．
12/12/2021
26.4 解直角三角形的应用
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26.4 解直角三角形的应用
[归纳总结] 解决方向角问题的三点注意 (1)方向角一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应 的度数． (2)在解决有关方向角的问题时，一般要根据题意理清图形中 各角之间的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形 中，需要用到“两直线平行内错角相等”“等角的余角相等” 等知识转化为所需要的角． (3)一般按照“上北下南，左西右东”确定方向角．
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26.4 解直角三角形的应用
[归纳总结]解决仰角、俯角问题的三点注意 (1)仰角和俯角都是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角 是不同的，可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将 实际问题抽象为数学问题． (2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和仰角 (俯角)的一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度． (3)若根据已知条件不能直接解直角三角形，可设未知数列方程求解．
图26－4－2
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26.4 解直角三角形的应用
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D. ∵B地位于A地北偏东67°的方向，距离A地520 km，
12 ∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB·sin67°≈520×13＝480 (km)，
5 BD＝AB·cos67°≈520×13＝200 (k角形的应用
∵ C地 位 于B地 南 偏 东30° 方 向 ， ∴ ∠ CBD＝ 30° ，
3 200 3 ∴ CD＝ BD· tan30° ≈ 200×3＝ 3 ，
200 3 ∴ AC＝ AD＋ CD≈ 480＋ 3 ≈ 480＋ 115.3≈ 595(km)． 答 ： A地 到C地 之 间 高 铁 线 路 的 长 约 为595 km.
故答案为 B.
图26－4－7
上面的解法正确吗？如果不正确，请你写出正确的解答过程．
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26.4 解直角三角形的应用
解：不正确． 正解：∵在 Rt△ABC 中，∠BCA＝90°，BC＝6 m，AB＝6 2 m， ∴AC＝ AB2－BC2＝6(m)， ∴tanA＝BACC＝1. ∴迎水坡 AB 的坡度为 1∶1.故答案为 D.
第二十六章 解直角三角形
12/12/2021
第二十六章 解直角三角形
26．4 解直角三角形的应用
12/12/2021
知识目标 目标突破 总结反思
26.4 解直角三角形的应用
知识目标
1．通过对实际问题探索的过程，理解仰角、俯角的概念， 会利用锐角三角函数解决仰角、俯角问题． 2．通过对实际问题探索的过程，理解方向角的概念，会 利用锐角三角函数解决方向角问题． 3．通过对实际问题的分析，理解坡度、坡角的概念，会 利用锐角三角函数解决坡度、坡角问题．
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26.4 解直角三角形的应用
目标二 利用锐角三角函数解决方向角问题
例 2[教 材 补 充 例 题 2017·青 岛 ]如 图 26－ 4－ 2，C 地 在 A 地 的 正东 方 向 ，因 有 大 山 阻 隔 ，由 A 地到 C 地需 绕 行 B 地．已知 B 地位于 A 地北偏东 67°的方向，距 离 A 地 520 km，C 地 位 于 B 地南 偏 东 30° 的 方 向 ．若 打 通 穿 山 隧 道 ，建 成 两 地 直 达 高 铁 ，求 A 地到 C 地之 间 高 铁 线 路 的 长 ． ( 结 果 保 留 整 数 )( 参 考 数 据 ： sin67°? 1123， cos67° ≈ 153， tan67° ≈ 152， 3?1.73)
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图26－4－5
26.4 解直角三角形的应用
知识点三 坡角、坡度
如图26－4－6，我们通常把坡面的__垂_直__高_度__h__和_水_平__宽__度_l___ 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，坡面与水平面的夹角α叫做坡角．显
h
然，tanα＝____l____．
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目标突破
目标一 利用锐角三角函数解决仰角、俯角问题
例 1 [教材补充例题 2017·吉林]如图 26－4－1，一枚运 载火箭从距雷达站 C 处 5 km 的地面 O 处发射，当火 箭到达点 A，B 时，在雷达站 C 处测得点 A，B 的仰角 分别为 34°，45°，其中点 O，A，B 在同一条直线上．求 A，B 两点间的距离(结果精确到 0.1 km)． (参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈
总结反思
小结 知识点一 仰角和俯角的概念
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线___上__方___的 角叫做仰角，视线在水平线___下__方___的角叫做俯角．
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26.4 解直角三角形的应用
[归 纳 ]这 类 问 题 常 会 涉 及 以 下 基 本 图 形 ： 图 26－ 4－ 4
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26.4 解直角三角形的应用
知识点二 方向角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的角叫做方 向角．如图26－4－5 中，目标方向线OA，OB，OC，OD的方向 角分别是北偏东60°、北偏西20°、南偏西45°、南偏东60°.我们习 惯上说的“东南方”是指目标线为南偏东45°.
图26－4－3
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解：过点 A 作 BC 的垂线交 BC 于点 E. 在 Rt△ABE 中，AB＝25 米，∠ABC＝62°， ∴AE＝25×sin62°≈25×0.88＝22.00(米)， BE＝25×cos62°≈25×0.47＝11.75(米)． 在 Rt△ADE 中，AE≈22.00 米，tan50°≈1.19， ∴ DE ＝ ta nA5E0 ° ≈ 212..1090 ≈ 18.49 ( 米 )， ∴DB＝DE－BE≈18.49－11.75≈6.7(米)． 答：此时应将坝底向外拓宽约 6.7 米．
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图26－4－1
26.4 解直角三角形的应用
解：由题意，可得∠AOC＝90°，OC＝5 km. 在Rt△AOC 中，∵tan34°＝OOCA， ∴OA＝OC·tan34°≈5×0.67＝3.35 (km)． 在Rt△BOC 中，∠BCO＝45°， ∴OB＝OC＝5 km， ∴AB＝OB－OA≈5－3.35≈1.7 (km)． 答：A，B两点间的距离约为1.7 km.
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目标三 利用锐角三角函数解决坡度和坡角问题
例 3[教材补充例题 2017·青岛]如图 26－4－3，一堤 坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度 AB＝25 米(图为横 截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝 的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将 坝底向外拓宽多少米？(结果精确到 0.1 米．参考数 据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.19)
图26－4－6
26.4 解直角三角形的应用
反思
某河坝截面如图 26－4－7，堤高 BC＝6 m，迎水坡 AB＝6 2 m，则迎水 坡 AB 的坡度为( )
A．30°
B．45°
C.
2 2
D．1∶1
解：∵在 Rt△ABC 中，∠BCA＝90°，BC＝6 m，AB＝6 2 m，
∴sinA＝BACB＝ 2 2，∴∠A＝45°，即迎水坡 AB 的坡度为 45°.
26.4 解直角三角形的应用
[归纳总结]用锐角三角函数解决有关坡度、坡角问题的步骤 (1)将实际问题抽象成数学问题； (2)结合题意，画出图形； (3)构建直角三角形(若没有直角三角形，可以通过作辅助线构 造直角三角形)； (4)正确选用三角函数求解．
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[归纳总结] 解决方向角问题的三点注意 (1)方向角一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应 的度数． (2)在解决有关方向角的问题时，一般要根据题意理清图形中 各角之间的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形 中，需要用到“两直线平行内错角相等”“等角的余角相等” 等知识转化为所需要的角． (3)一般按照“上北下南，左西右东”确定方向角．
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[归纳总结]解决仰角、俯角问题的三点注意 (1)仰角和俯角都是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角 是不同的，可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将 实际问题抽象为数学问题． (2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和仰角 (俯角)的一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度． (3)若根据已知条件不能直接解直角三角形，可设未知数列方程求解．
图26－4－2
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26.4 解直角三角形的应用
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D. ∵B地位于A地北偏东67°的方向，距离A地520 km，
12 ∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB·sin67°≈520×13＝480 (km)，
5 BD＝AB·cos67°≈520×13＝200 (k角形的应用
∵ C地 位 于B地 南 偏 东30° 方 向 ， ∴ ∠ CBD＝ 30° ，
3 200 3 ∴ CD＝ BD· tan30° ≈ 200×3＝ 3 ，
200 3 ∴ AC＝ AD＋ CD≈ 480＋ 3 ≈ 480＋ 115.3≈ 595(km)． 答 ： A地 到C地 之 间 高 铁 线 路 的 长 约 为595 km.
故答案为 B.
图26－4－7
上面的解法正确吗？如果不正确，请你写出正确的解答过程．
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26.4 解直角三角形的应用
解：不正确． 正解：∵在 Rt△ABC 中，∠BCA＝90°，BC＝6 m，AB＝6 2 m， ∴AC＝ AB2－BC2＝6(m)， ∴tanA＝BACC＝1. ∴迎水坡 AB 的坡度为 1∶1.故答案为 D.
第二十六章 解直角三角形
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第二十六章 解直角三角形
26．4 解直角三角形的应用
12/12/2021
知识目标 目标突破 总结反思
26.4 解直角三角形的应用
知识目标
1．通过对实际问题探索的过程，理解仰角、俯角的概念， 会利用锐角三角函数解决仰角、俯角问题． 2．通过对实际问题探索的过程，理解方向角的概念，会 利用锐角三角函数解决方向角问题． 3．通过对实际问题的分析，理解坡度、坡角的概念，会 利用锐角三角函数解决坡度、坡角问题．
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26.4 解直角三角形的应用
目标二 利用锐角三角函数解决方向角问题
例 2[教 材 补 充 例 题 2017·青 岛 ]如 图 26－ 4－ 2，C 地 在 A 地 的 正东 方 向 ，因 有 大 山 阻 隔 ，由 A 地到 C 地需 绕 行 B 地．已知 B 地位于 A 地北偏东 67°的方向，距 离 A 地 520 km，C 地 位 于 B 地南 偏 东 30° 的 方 向 ．若 打 通 穿 山 隧 道 ，建 成 两 地 直 达 高 铁 ，求 A 地到 C 地之 间 高 铁 线 路 的 长 ． ( 结 果 保 留 整 数 )( 参 考 数 据 ： sin67°? 1123， cos67° ≈ 153， tan67° ≈ 152， 3?1.73)
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图26－4－5
26.4 解直角三角形的应用
知识点三 坡角、坡度
如图26－4－6，我们通常把坡面的__垂_直__高_度__h__和_水_平__宽__度_l___ 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，坡面与水平面的夹角α叫做坡角．显
h
然，tanα＝____l____．
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