课程自学资料12

a1 a.
由比较判别法知，原级数收敛.
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§2 正项级数
习题课一
例6 证明广义比式判别法：设 un 是正项级数，且
lim
n
un 1 un
n
q,
则 (1) 0 q e1 时,
un收敛；
(2) q e1 时, un 发散.
证 只证(1), (2)留做习题. 转化为普通比式法.
拉贝判别法是建立在与 p 级数比较的基础上.
Bertrand判别法 若正项级数 un 满足
limln
n
nn1
un1 un
1
b
则当b 1 时级数收敛，b 1 时级数发散.
数学分析 第十二章 数项级数
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§2 正项级数
习题课一
例5 设a1
2,
an1
1 2
(a
n
1 ), n 1,2,. an
n n
1 1
收敛性.
解 因为当n 时，un (
n 1
n
)ln
n n
1 1
1
ln1 2
1
2
n 1 n n 1 n 1 n n 1
取
vn
1 3
n2
,
则
vn收敛. 而
lim un v n
n
lim
n
1 n
2 1
n n 1
1 3
n2
lim
2n32
1.
n n 1 n (n 1)
数学分析 第十二章 数项级数
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§2 正项级数
习题课一
(2) 从 an an1 1 可得
an 1 0，从而 an1
an a
n1
1
是正项级数，并且
an an1
1
1 an1
(an
an1 )
a
n
an1，
n
而
an an1
lim n k 1
an an1
a1
lim
n
an1
§2 正项级数
补充例题
比式判别法法和根式判别习题课一
例1 设正项级数 un 收敛, 且对每个n成立 un unRn,
其中Rn uk，证明：N , 使得当n N时, un 0. kn1
证 因为 un 收敛，所以存在 N , 当n N 时，
Rn uk 1
k n1
若un 0 (n N ), 则从条件un unRn, 可得 Rn 1,
这与 un收敛矛盾.
因此，当n N 时，un 0.
数学分析 第十二章 数项级数
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 正项级数
习题课一
n
例2 设正项级数 un 发散, Sn uk . 证明：
级数 un 也发散. Sn
k 1
证明需要用到柯西收敛准则的否定说法：
un 发散的充要条件是0 0, 使得对N , 总存在
取 q 满足q q e1, 取对数后ln q 1.
1
1
1
令r ln q11 1，N 0, n N时，
un1 un
n q1 er
1
1 n
nr
u
从而
n1
un
1
1 n
r
1r n1
r
1 n
.由
1 nr
(r
1) 收敛，
知 un 收敛.
数学分析 第十二章 数项级数
习判题课积别一分法
证 因正项级数 un 发散，故 N , 取m0 N 1及 p0，
使得
取
0
=
1， 2
Sm0 p0 2Sm0 .
u 于是有 m0 1
um0 p0
um 1 0
um
0 p0
Sm0 1
Sm0 p0
Sm0 p0
S S
= m0 p0
m0 1
Sm0
1
Sm0 p0
记R0 = un , 令 vn = Rn1 Rn 0，n 1, 2,.
n n1
由 vk = R0 Rn R0，知级数 vn收敛，且
k1
lim un lim
v n n
n
n1
Rn1 Rn lim
Rn1 Rn n
Rn1
Rn 0 .
数学分析 第十二章 数项级数
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1 的敛散性，由ln 3 1, 知 1 收敛.
np
3ln n
(2)因为 n充分大时，lnn 3，根据比较判别法知
(lnn1)ln n 收敛.
同理可证(3)也收敛.
问： 1 是否收敛？ 2ln n
数学分析 第十二章 数项级数
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§2 正项级数
习题课一
例4 判别级数(
n 1
n
)ln
正整数 m0 N 及 p0，使得
分析
|um 0
um 1 0
um 0 p0
因为
u
m0 1
um0 p
| 0 .
um0 1
um0 p
SmS0 1 S Sm0 p
= m0 p
m0 1
Sm 0
Sm0 p 1.
Sm0 p
Sm0 p 2
数学分析 第十二章 数项级数
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§2 正项级数
(1)
lim
n
an存在,
(2)
an an1
1收敛.
证明
证 (1)容易验证 an 0. 于是有
an1
1 2
a
n
1 an
1 2
2
an
1 an
1，n 1,2,.
又an1
an
1 2
an
1 an
a n
1( 2
1 an
an )
0,
从而
{an
}单调递减有下界，因此
lim
n
an
a
存在.
§2 正项级数
习题课一
第十讲 习题课一
数学分析 第十二章 数项级数
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§2 正项级数
重要内容回顾
习题课一
1.级数的收敛性，级数收敛的柯西准则； 2.收敛级数的性质； 3.正项级数收敛的充要条件； 4.正项级数收敛性的各种判别法； 5.各种判别法的使用技巧.
数学分析 第十二章 数项级数
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Sm0 p0
2
0.
因此，级数 un 发散.
Sn
还可以证明正项级数
un与
un 同敛散. Sn
数学分析 第十二章 数项级数
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§2 正项级数
习题课一
例3 判别下列级数的收敛性
(1)
1 ; (2) 3ln n
1
(3)
(lnn)ln n ;
1. 3n
解 (1) 因为 3ln n eln nln 3 nln 3，根据比较判别法以及
由比较判别法，知原级数收敛.
数学分析 第十二章 数项级数
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§2 正项级数
习题课一
如果能找到合适的可供比较的级数，采用比较判别法
是很有效的. 我们熟知的可供比较的级数有
anr n (| an | M ) ；
1 np ,
1
n(ln n)
p
(
p
0)
.
比式和根式判别法是建立在与几何级数比较基础上的，
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§2 正项级数
习题课一
例7 (1) 若 un 是收敛的正项级数，则 一 定 存 在 一
收个敛的正项级数
vn
，使得lim n
un vn
0;
(2) 若 un 是发散的正项级数，则 一 定 存 在 一 个 发
的散正项级数
vn
，使得lim n
vn un
0.
例2
证 (1) 由 un 收敛知，其余项Rn 严格单调减少趋于0.