2017-2018年江苏省南通市如皋市高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2017-2018学年江苏省南通市如皋市高二（下）期中数学试卷（理
科）
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩B=．
2．（5分）“”是的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
3．（5分）函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为．
4．（5分）若函数则满足f（a）=2的实数a的值为．
5．（5分）已知9a=3，log a x=2a（a∈R），则正实数x的值为．
6．（5分）设函数y=2x+2﹣x﹣a的值域为A，若A⊆[0，+∞），则实数a的取值范围是．
7．（5分）函数f（x）=x•e x（e为自然对数的底）的最小值为．
8．（5分）已知直线y=kx是曲线y=e x（e为自然对数的底）的一条切线，则实数k的值为．
9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣5x+2lnx在区间（m，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是．
10．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x在[﹣1，m]上的值域为[﹣2，2]，则实数m 的取值范围是．
11．（5分）已知定义在上的函数y=f（x）的导函数为f'（x），若sinx
•f（x）＞cosx•f'（x），记，则a，b，c 由小到大的顺序为．
12．（5分）已知函数，则不等式f（1﹣x2）+f（5x﹣7）＞0的解集为．
13．（5分）已知函数若存在实数t使f（x）的值
域是[﹣1，1]，则实数a的取值范围是．
14．（5分）已知函数f（x）在R上单调递增，且对于任意的实数x都有f（f（x）﹣e x﹣x）=e﹣2﹣4成立，若y=f（x）的零点所在的区间是（n，n+1），则整数n的值为．
二、解答题（本大题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
15．已知命题p：“∀x∈R，x2+a≥0“，命题q：“∃x∈[﹣1，0]，x2+2x+a＜0“．若命题“p∧q”是假命题，且p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．16．已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足：f（x）+g （x）=lg（x﹣1）2．
（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式f（x）＜0．
17．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
18．有一边长为4百米的正方形生态休闲园ABCD，其中EHFCD为观景湖（注：
EHF为抛物线的一部分）．观景湖顶点H到边AB的距离为百米，
百米，为了观景方便，计划修一条直路GP，G在线段AB上，GP与抛物线HF段相切于点P．设点P到直线AB的距离为t百米．
（1）求GP关于t的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）若路GP每百米造价m元，则t为何值时，路GP造价最低．
19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足：f（1﹣x）=f（1+x），且不等式f（x）＞4x的解集为（﹣3，1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）﹣mx+m．
①若g（x）在区间[0，1]上的最大值为5，求实数m的值；
②若h（x）=|g（x）|在区间[0，1]上单调递减，求实数m的取值范围．
20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）当x=1时f（x）取得极值，求实数a的值；
（2）设g（x）=f（x）﹣3a2x2，求函数y=g（x）的单调区间；
（3）设函数h（x）=e x﹣2（e为自然对数的底），当a=0时，求证：h（x）＞f（x）．
21．已知矩阵A=，列向量，B=，若AX=B，求A﹣1和X．22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的极坐标方程为
，若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．23．现有A，B两个盒子，A盒中装有4个白球，2个黑球，B盒中装3个白球，3个黑球．
（1）从A盒中有放回地抽取3个球，球恰有1个黑球的概率；
（2）从A，B两个盒子中各随机抽取2个球，记“黑球的个数为X”，求X的分布列和数学期望E（X）．
24．已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）解关于x的不等式：f（x）＜1．
2017-2018学年江苏省南通市如皋市高二（下）期中数学
试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩B={3，4}．
【解答】解：全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，
则∁U A={3，4}，
∴（∁U A）∩B={3，4}．
故答案为：{3，4}．
2．（5分）“”是的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
【解答】解：当α=，则cosα=，
当cosα=时，α=+2kπ或α=π+2kπ，k∈Z，
∴“”是的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
3．（5分）函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为（﹣∞，1）．
【解答】解：由函数f（x）=lg（1﹣x）可得1﹣x＞0，解得x＜1，
故函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为（﹣∞，1），
故答案为（﹣∞，1）．
4．（5分）若函数则满足f（a）=2的实数a的值为﹣1．【解答】解：∵函数，满足f（a）=2，
∴当x＞0时，f（a）=1，不成立；
当x≤0时，f（a）=（）a=2，解得a=﹣1．
∴满足f（a）=2的实数a的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
5．（5分）已知9a=3，log a x=2a（a∈R），则正实数x的值为．
【解答】解：∵9a=3，
∴a=
∵log a x=2a（a∈R），
∴x=a2a=（）1=，
故答案为：
6．（5分）设函数y=2x+2﹣x﹣a的值域为A，若A⊆[0，+∞），则实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
【解答】解：函数y=2x+2﹣x﹣a的值域为A．
∵2x+2﹣x≥2=2，
∴值域为A=[2﹣a，+∞）．
又∵A⊆[0，+∞），
∴2﹣a≥0，
即a≤2．
故答案为：（﹣∞，2]．
7．（5分）函数f（x）=x•e x（e为自然对数的底）的最小值为﹣．
【解答】解：函数f（x）=x•e x的导数为f′（x）=（x+1）e x，
当x＞﹣1时，f′（x）＞0，可得f（x）递增；
当x＜﹣1时，f′（x）＜0，可得f（x）递减．
可得x=﹣1处，f（x）取得极小值，且为最小值，
可得f（﹣1）=﹣，
故答案为：﹣．
8．（5分）已知直线y=kx是曲线y=e x（e为自然对数的底）的一条切线，则实数k的值为e．
【解答】解：设切点坐标为（m，e m），
又切线过（0，0），得到切线的斜率k=，
又f′（x）=e x，把x=m代入得：斜率k=f′（m）=e m，
则e m=，由于e m＞0，则得到m=1，
即切点坐标为（1，e），切线的斜率k=e，
故答案为：e．
9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣5x+2lnx在区间（m，m+1）上单调递减，则实
数m的取值范围是．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
对函数f（x）求导得，
令f′（x）＜0，得2x2﹣5x+2＜0，解得，
由于函数f（x）=x2﹣5x+2lnx在区间（m，m+1）上单调递减，
则，所以，
解得，
故答案为：[]．
10．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x在[﹣1，m]上的值域为[﹣2，2]，则实数m 的取值范围是[1，2]．
【解答】解：由f（x）=x3﹣3x，得f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．
当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；单调减区间为（﹣1，1）．作出函数的大致图象如图，
由图可知，当x∈[﹣1，1]时，f（x）为减函数，且f（x）∈[﹣2，2]，
当x∈[2，+∞）时，f（x）为增函数，而f（2）=2．
∴实数m的取值范围是[1，2]．
故答案为：[1，2]．
11．（5分）已知定义在上的函数y=f（x）的导函数为f'（x），若sinx
•f（x）＞cosx•f'（x），记，则a，b，c 由小到大的顺序为b＜c＜a．
【解答】解：根据题意，设g（x）=cosx•f（x），x∈，
其导数g′（x）=cosx•f′（x）+（cosx）′f（x）=cosxf′（x）﹣sinxf（x），又由f（x）满足sinx•f（x）＞cosx•f'（x），
则g′（x）＜0，
则g（x）=cosx•f（x）在区间（﹣，）上为减函数，
又由a=f（﹣）=2[cos（﹣）×f（﹣）]=2g（﹣），
b=f（）=2[cos×f（）]=2g（），
c=f（）=2[cos f（）]=2g（），
又由函数在区间（﹣，）上为减函数，
则b＜c＜a；
故答案为：b＜c＜a．
12．（5分）已知函数，则不等式f（1﹣x2）+f（5x﹣7）＞0的解集为（2，3）．
【解答】解：根据题意，函数=x﹣sinx+2x﹣2﹣x，
则f（﹣x）=（﹣x）﹣sin（﹣x）+2﹣x﹣2x=﹣（x﹣sinx+2x﹣2﹣x），则函数f（x）为奇函数，
又由f′（x）=1﹣cosx+2x ln2+＞0，则函数f（x）为增函数；
则f（1﹣x2）+f（5x﹣7）＞0⇒f（1﹣x2）＞﹣f（5x﹣7）⇒f（1﹣x2）＞f（7﹣5x）⇒1﹣x2＞7﹣5x，
解可得：2＜x＜3，
即x的取值范围为（2，3）；
故答案为：（2，3）．
13．（5分）已知函数若存在实数t使f（x）的值域是[﹣1，1]，则实数a的取值范围是（1，1+]．
【解答】解：由已知得t≤1，
函数f（x）=在[﹣1，t]上为增函数，故其值域为[﹣1，]；
函数f（x）=﹣2（x﹣1）2在（1，a]上为减函数，故其值域为[﹣2（a﹣1）2，0）．∵﹣2（a﹣1）2≤0，
∴若存在实数t使f（x）的值域是[﹣1，1]，
则t=1，且﹣2（a﹣1）2≥﹣1，解得．
又a＞1，
∴实数a的取值范围是（1，1+]．
故答案为：（1，1+]．
14．（5分）已知函数f（x）在R上单调递增，且对于任意的实数x都有f（f（x）﹣e x﹣x）=e﹣2﹣4成立，若y=f（x）的零点所在的区间是（n，n+1），则整数n的值为0．
【解答】解：设t=f（x）﹣e x﹣x，
则f（x）=e x+x+t，则条件等价为f（t）=e﹣2﹣4，
令x=t，则f（t）=e t+2t=e﹣2﹣4，
∵函数f（x）为单调递增函数，
∴函数为一对一函数，解得t=﹣2，
∴f（x）=e x+x﹣2，
∵f（0）=1+0﹣2=﹣1＜0，f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，
∴f（0）f（1）＜0，
∴函数零点所在的区间为（0，1），
又y=f（x）的零点所在的区间是（n，n+1），
则n=0，
故答案为：0
二、解答题（本大题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
15．已知命题p：“∀x∈R，x2+a≥0“，命题q：“∃x∈[﹣1，0]，x2+2x+a＜0“．若命题“p∧q”是假命题，且p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若p为真，即a≥（﹣x2）max=0，所以a≥0；
若q为真，即a＜（﹣x2﹣2x）max，当x∈[﹣1，0]时，（﹣x2﹣2x）max=1所以a ＜1，
因为“p∧q”是假命题，且“p∨q”是真命题，
所以p和q一真一假，
（1）p真q假：a≥1，
（2）p假q真：a＜0；
综上：a的取值范围是（﹣∞，0）∪[1，+∞）
16．已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足：f（x）+g （x）=lg（x﹣1）2．
（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式f（x）＜0．
【解答】解：（1）f（x）+g（x）=lg（x﹣1）2=2lg（1﹣x）①
将上式中x替换为﹣x得：f（﹣x）+g（﹣x）=2lg（1+x），
因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
所以﹣f（x）+g（x）=2lg（1+x）②
将①②联立解得：，
（2）原不等式等价于解得：0＜x＜1，
所以原不等式的解集为（0，1）．
17．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣2x﹣1，
令f′（x）=0解得，
列表
∴当取得极大值，当x=1，取得极小值f（1）=a﹣1；
（2）当＜0，解得a＜﹣或f（1）=a﹣1＞0，a＞1时函数只有一个零点，
综上，或a＞1．
18．有一边长为4百米的正方形生态休闲园ABCD，其中EHFCD为观景湖（注：
EHF为抛物线的一部分）．观景湖顶点H到边AB的距离为百米，
百米，为了观景方便，计划修一条直路GP，G在线段AB上，GP与抛物线HF段相切于点P．设点P到直线AB的距离为t百米．
（1）求GP关于t的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）若路GP每百米造价m元，则t为何值时，路GP造价最低．
【解答】解：（1）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示；
则点H（0，），F（2，），
设抛物线的解析式为y=ax2+，a＞0；
则代入点F的坐标，得4a+=，解得a=，
∴抛物线解析式为y=x2+，x∈[﹣2，2]；
设切点为P（x0，t），其中x0=；
则y′=x，
∴切线方程为y﹣t=x0（x﹣x0），
令y=0，得x=x0﹣；
∴G（x0﹣，0）；
∴PG2=t2+=t2（1+）=t2（1+），
∴GP关于t的函数解析式为f（t）=，t∈（，]；
（2）∵f（t）=，
∴f2（t）=t2（1+，
设g（t）=t2（1+），t∈（，]；
∴g′（t）=2t+，
令g′（t）=0，解得t=；
∴t=时，g（t）取得最小值，
∴f（t）取得最小值，此时路GP的造价最低．
19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足：f（1﹣x）=f（1+x），且不等式f（x）＞4x的解集为（﹣3，1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）﹣mx+m．
①若g（x）在区间[0，1]上的最大值为5，求实数m的值；
②若h（x）=|g（x）|在区间[0，1]上单调递减，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（1﹣x）=f（1+x），
可知函数的对称轴为：x=1，可得﹣=1…1°，
不等式f（x）＞4x的解集为（﹣3，1），
可得9a﹣3b+c=﹣12…2°，a+b+c=4…3°，
联立1°、2°、3°，可得a=﹣1，b=2，c=3．
函数f（x）的解析式：f（x）=﹣x2+2x+3；
（2）①g（x）=f（x）﹣mx+m=﹣x2+2x+3﹣mx+m=﹣x2+（2﹣m）x+m+3，
其对称轴方程为x=1﹣，
若1﹣≤0，即m≥2，得g（x）max=g（0）=m+3=5，得m=2；
若1﹣≥1，即m≤0，得g（x）max=g（1）=4，不合题意；
若0，即0＜m＜2，
得，
解得m∈∅．
∴实数m的值为2；
②h（x）=|g（x）|=|﹣x2+（2﹣m）x+m+3|，
其对称轴方程为x=1﹣，
若使h（x）=|g（x）|在区间[0，1]上单调递减，
则或，即或．
解得m≥2．
∴实数m的取值范围是[2，+∞）．
20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）当x=1时f（x）取得极值，求实数a的值；
（2）设g（x）=f（x）﹣3a2x2，求函数y=g（x）的单调区间；
（3）设函数h（x）=e x﹣2（e为自然对数的底），当a=0时，求证：h（x）＞f（x）．【解答】解：（1）f′（x）=a+（x＞0），
由题意知：f′（1）=a+1=0，解得：a=﹣1．
∴f′（x）=﹣1+=，
可知：x=1时函数f（x）取得极大值，因此满足题意．
∴a=﹣1．
（2）g（x）=f（x）﹣3a2x2=ax+lnx﹣3a2x2，定义域（0，+∞）．
g′（x）=a+﹣6a2x=，
①a=0时，g′（x）=＞0，因此函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．
②a≠0时，g′（x）=．
a＞0时，令g′（x）=0，解得x=．
可得：时，g′（x）＞0，函数g（x）此时单调递增；x时，g′（x）＜0，函数g（x）此时单调递减．
a＜0时，令g′（x）=0，解得x=﹣．
可得：，g′（x）＜0，函数g（x）此时单调递减；x＞﹣
时，g′（x）＞0，函数g（x）此时单调递增．
综上可得：①a=0时，因此函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．
②a≠0时，a＞0时，函数g（x）的单调递增区间是；函数g（x）的单
调递减区间是．
a＜0时，函数g（x）的单调递减区间是；函数g（x）的单调递增区间是．
（3）证明：a=0时，u（x）=h（x）﹣f（x）=e x﹣2﹣lnx，
u′（x）=e x﹣2﹣在（0，+∞）上单调递增，
∵=﹣＜0，u′（2）=＞0，
∴存在x0∈，使得u′（x0）=0=﹣，∴x0﹣2=﹣lnx0．
∴函数u（x）在x0处取得极小值，
u（x0）=﹣lnx0=+x0﹣2．
令v（t）=e t+t，t∈．
∴v（t）在t∈上单调递增，∴v（t）＞=﹣＞0．
∴u（x）=h（x）﹣f（x）＞0，
∴h（x）＞f（x）．
21．已知矩阵A=，列向量，B=，若AX=B，求A﹣1和X．
【解答】解：记，
=，
∴X=A﹣1•B==．
22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的极坐标方程为
，若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，
∴曲线C：x2+（y﹣1）2=1，
∵直线l的极坐标方程为，
即=m，
∴直线l：=0，
∵直线l与曲线C只有一个交点，∴直线l与圆C相切，
∴圆心（0，1）到直线l的距离d=r，即d==1，
解得：或m=．
23．现有A，B两个盒子，A盒中装有4个白球，2个黑球，B盒中装3个白球，3个黑球．
（1）从A盒中有放回地抽取3个球，球恰有1个黑球的概率；
（2）从A，B两个盒子中各随机抽取2个球，记“黑球的个数为X”，求X的分布列和数学期望E（X）．
【解答】解：（1）记“恰有1个黑球”为事件C．
则（或列式为．
（2）X的可能取值为：0，1， 2.
．
X的分布列为：
．
24．已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）解关于x的不等式：f（x）＜1．
【解答】解：（1）根据题意，函数，其定义域为{x|x≠﹣1}
其导数f′（x）=，分析可得（﹣∞，﹣1）∪（﹣
1，+∞）上恒成立
所以f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞），无增区间．
（2）根据题意，分2种情况讨论：
①，当x＜﹣1时，恒成立，即满足f（x）＜﹣1；
②，当x＞﹣1时，f（0）=1，所以f（x）＜1=f（0），
又因为f（x）在（﹣1，+∞）单调递减，所以f（x）＜1的解集为（0，+∞）综上：f（x）＜1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）。