河北省衡水市第十四中学高二数学下学期期末考试试题 文 新人教A版

高二下学期期末考试数学（文）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1、 知U ＝{1,2,3, 4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则
C U (A ∪B)等于（ ）
A ．{6,8}
B ．{5,7}
C ．{4,6,7}
D ．{1,3,5,6,8} 2、已知i 是虚数单位，则复数
i
i
-+131的模为（ ） A.1 B.2 C.5 D.5
3、下列函数中，在定义域上既是减函数又是奇函数的是（ ）
A. x y lg =
B.x
y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21 C. ||x x y = D.3
x y -=
4、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若
31
84=S S ，则16
8S S 等于 （ ） A. 91 B. 81 C. 31 D. 10
3
5、 过原点的直线与圆03422=+-+x y x 有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是
（ ） A. ]6
,6[π
π-
B. ]65,6[π
π
C. ),65[]6,0[πππY
D. ]6
5,2()2,6[ππππY
6、已知
sin 3cos 53cos sin αα
αα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是（ ）
A.25
B.2
5
－ C.-2 D. 2
7、已知βα,是平面，n m ,是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是( )
( 1 )若βα⊂⊥m m ,,则βα⊥
( 2 )若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂,则βα//
( 3 )如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线,那么n 与α相交
( 4 )若m n m //,=βαI ,且βα⊄⊄n n ,,则α//n 且β//n . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8、在ABC ∆中，NC AN 2
1
=
,P 是BN 上的一点，若m 92+=,则实数m 的值
为（ ）
A.3
B. 1
C.
31
D. 9
1 9．阅读如下程序，若输出的结果为
64
63
，则在程序中横线 ? 处应填入语句为（ ） （A ）6≥i （B ）7≥i （C ）7≤i （D ） 8≤i
10．如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角︒60的菱形，，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（ ）
（A ）π8 （B ）π4 （C ）π3 （D ）π2
11、已知函数f （x ）是R 上的偶函数，且满足f （5+x ）= f （5–x ），在[0,5]上有且只有f
（1）=0，则)(x f 在[–2012,2012]上的零点个数为 ( ) A ．808 B ．806 C ．805
D ．804
12．函数x x y -+=lg 1的图象大致形状是（ ）
S=0 n=2 i=1 DO
S=S+1/n n=n*2 i=i+1
LOOP UNTIL _?_ PRINT END
第9题图
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13、已知向量,a b r r 满足(2)()6a b a b +•-=-r r r r
，且1,2a b ==r r ，则a r 与b r 的夹角
为 .
14、若在不等式组02y x x x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩所确定的平面区域内任取一点(),P x y ，则点P 的坐标满足
221x y +≤的概率是 .
15、已知双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线与曲线3
2y x =+相切，则该双曲
线的离心率等于 ． 16. 设函数f(x)=x-
1
x
,对任意0)()(),,1[<++∞∈x mf mx f x 恒成立，则实数m 的取值范围是
三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-． (1)求cos B 的值；
(2)若2BA BC ⋅=u u u r u u u r
，22b =，求a 和c ．
18．（本题满分12分）
某公司生产A 、B 两类产品，每类产品均有一般品和优等品两种，某月的产量如下表：
A B 优等品 100 x 一般品
300 400
按分层抽样的方法在该月生产的产品中抽取50个，其中A 类20个。

（Ⅰ）求x 的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在B 类中抽取一个容量为6个的样本，从样本中任意取2个，求至少有一个优等品的概率。

19.（本题满分12分）
在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，
11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 2
2
b S q =
． （Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设数列{}n c 满足n
n S c 1
=，求{}n c 的前n 项和n T ． 20、（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为菱形，PAD ∆为等边三角形，平面⊥PAD 平面ABCD ，且2,60=︒=∠AB DAB ，
E 为AD 的中点．
（1）求证：PB AD ⊥； （2）求点E 到平面PBC 的距离.
21．(本小题满分12分)
如图，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为1
2，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.
不．
过原点．．．O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．
22、（本小题满分12分）
设函数()ln f x x x =(0)x >。

（1）求函数()f x 的最小值；
（2）设2
()()F x ax f x '=+()a ∈R ，讨论函数()F x 的单调性；
(3）斜率为k 的直线与曲线()y f x '=交于11(,)A x y ,22(,)B x y 12()x x <两点， 求证：121
x x k
<<。

衡水市第十四中学高二期末考试数学试卷（文）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
2、 知U ＝{1,2,3, 4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则
C U (A ∪B)等于（A ）
A ．{6,8}
B ．{5,7}
C ．{4,6,7}
D ．{1,3,5,6,8} 2、已知i 是虚数单位，则复数
i
i
-+131的模为（ C ） A.1 B.2 C.5 D.5
3、下列函数中，在定义域上既是减函数又是奇函数的是（D ）
A. x y lg =
B.x
y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21 C. ||x x y = D.3
x y -=
4、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若31
84=S S ，则16
8S S 等于 （ D ） A.
9
1
B.
81 C. 31 D. 10
3 5、 过原点的直线与圆03422=+-+x y x 有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是
（ C ） A. ]6
,6[π
π-
B. ]65,6[π
π
C. ),65[]6,0[πππY
D. ]6
5,2()2,6[ππππY
6、已知
sin 3cos 53cos sin αα
αα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是（ A ）
A.25
B.2
5
－ C.-2 D. 2
7、已知βα,是平面，n m ,是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是( B )
( 1 )若βα⊂⊥m m ,,则βα⊥
( 2 )若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂,则βα//
( 3 )如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线,那么n 与α相交
( 4 )若m n m //,=βαI ,且βα⊄⊄n n ,,则α//n 且β//n . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8、在ABC ∆中，NC AN 2
1
=,P 是BN 上的一点，若AC AB m AP 92+=,则实数m 的值
为（ C ）
A.3
B. 1
C.
31
D. 9
1
9．阅读如下程序，若输出的结果为64
63
，则在程序中横线 ? 处应填入语句为（ B ） （A ）6≥i （B ）7≥i （C ）7≤i （D ） 8≤i
10．如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角︒60的菱形，，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（ C ） （A ）π8 （B ）π4 （C ）π3 （D ）π2
11、已知函数f （x ）是R 上的偶函数，且满足f （5+x ）= f （5–x ），在[0,5]上有且只有f （1）=0，则)(x f 在[–2012,2012]上的零点个数为 (B )
A ．808
B ．806
C ．805
D ．804
12．函数x x y -+=lg 1的图象大致形状是（ A ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13、已知向量,a b r r 满足(2)()6a b a b +•-=-r r r r
，且1,2a b ==r r ，则a r 与b r 的夹角为
S=0 n=2 i=1 DO
S=S+1/n n=n*2 i=i+1
LOOP UNTIL _?_ PRINT END
第9题图
3
π
. 14、若在不等式组02y x x x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩所确定的平面区域内任取一点(),P x y ，则点P 的坐标满足
221x y +≤的概率是
；
8
π
. 15、已知双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线与曲线3
2y x =+相切，则该双曲
． 16. 设函数f(x)=x-
1
x
,对任意0)()(),,1[<++∞∈x mf mx f x 恒成立，则实数m 的取值范围是∞（-，-1）
三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-． (1)求cos B 的值；
(2)若2BA BC ⋅=u u
u r u u u r
，b =，求a 和c ．
17.（1）由正弦定理得2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =
又cos 3cos cos b C a B c B =-，∴sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-，… 2分
即sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=，∴()sin 3sin cos B C A B +=，… 4分 ∴sin 3sin cos A A B =,又sin 0A ≠，∴1
cos 3
B =。

6分 (2）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 得cos 2ac B =，又1
cos 3
B =，∴ 6.ac =。

8分
由2222cos b
a c ac B =+-，
b =可得2212a
c +=，。

10分
∴()2
0a c
-=，即a c =，∴a c ==。

12分
18．（本题满分12分）
某公司生产A 、B 两类产品，每类产品均有一般品和优等品两种，某月的产量如下表：
按分层抽样的方法在该月生产的产品中抽取50个，其中A 类20个。

（Ⅰ）求x 的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在B 类中抽取一个容量为6个的样本，从样本中任意取2个，求至少有一个优等品的概率。

18、解析：（1）由
2050
=
400800x
+，解得200x = ……4分 （2）法一：列举法
抽取容量为6的样本，则其中优等品为2个，一般品为4个，可设优等品为12,A A ， 一般品为1234,,,B B B B ，
则从6个的样本中任抽2个的可能有11121314,,,A B A B A B A B ，11121314,,,A B A B A B A B ，
12A A ，121314,,B B B B B B ，2324,B B B B ，34B B 共15种，
至少有一个是优等品的可能有11121314,,,A B A B A B A B ，11121314,,,A B A B A B A B ，
12A A 共9种，
所以至少有一个优等品的概率是93
155
P =
= ……………………12分 19.（本题满分12分）
在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，
11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 2
2
b S q =
． （Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设数列{}n c 满足n
n S c 1
=，求{}n c 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，
因为⎪⎩
⎪⎨⎧==+,
,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨
⎧+==++．，
q d q d q 6126 …………2分 解得 3=q 或4-=q （舍），3=d ． …………4分
故33(1)3n a n n =+-= ，13-=n n b ． …………6分
20、（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为菱形，PAD ∆为等边三角形，平面⊥PAD 平面ABCD ，且2,60=︒=∠AB DAB ，
E 为AD 的中点．
（1）求证：PB AD ⊥； （2）求点E 到平面PBC 的距离.
20．解（1）证明：连接PE ，EB ，因为平面⊥PAD 平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形，
E 为AD 的中点，所以⊥PE 平面ABCD ，AD PE ⊥ …… 2分
因为四边形ABCD 为菱形，且︒=∠60DAB ，E 为AD 的中点，所以AD BE ⊥…… 4分
E BE PE =I ，所以⊥AD 平面PBE ，所以PB AD ⊥ …… 6分
（2）过E 作PB EF ⊥
由（1）知⊥AD 平面PBE ，∵AD ∥BC ∴⊥BC 平面PBE 平面PBC ⊥平面PBE,又 平面PBC ∩平面PBE =PB,故⊥EF 平面PBC
2
6
=⋅=
PB EB PE EF …… 12分
21．(本小题满分12分)
如图，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点．．．．O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．
21．解：(1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋c 2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，a ＝2.
所以椭圆方程为x 24＋y 23
＝1. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M.
当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为
y ＝kx ＋m(m≠0)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，①
则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0， ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2
－123＋4k 2.所以线段AB 的中点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2. 因为M 在直线OP 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km 3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32
. 此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则
Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB|＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2.
设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|8－2m|32＋22＝2|m －4|
13.
设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB|·d＝36·m －42
12－m 2.
其中m ∈(－23，0)∪(0,23)． 令u(m)＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈(－23，0)∪(0,23)．
u′(m)＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．
所以当且仅当m ＝1－7，u(m)取到最大值．
故当且仅当m ＝1－7，S 取到最大值．
综上，所求直线l 方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.
22、（本小题满分12分）
设函数()ln f x x x =(0)x >。

（1）求函数()f x 的最小值；
（2）设2()()F x ax f x '=+()a ∈R ，讨论函数()F x 的单调性；
(3）斜率为k 的直线与曲线()y f x '=交于11(,)A x y ,22(,)B x y 12()x x <两点，
求证：121
x x k <<。

22.（1）解：f'（x ）=lnx+1（x ＞0），令f'（x ）=0，得．
∵当时，f'（x ）＜0；当时，
f'（x ）＞0，
∴当时，．----------------- 4分
（2）F （x ）=ax 2+lnx+1（x ＞0），．
①当a≥0时，恒有F'（x ）＞0，F （x ）在（0，+∞）上是增函数；
②当a ＜0时，
令F'（x ）＞0，得2ax 2+1＞0，解得；
令F'（x ）＜0，得2ax 2+1＜0，解得．
综上，当a≥0时，F （x ）在（0，+∞）上是增函数；
当a ＜0时，F （x ）在上单调递增，在上单调递减．------------------------------------8分
（3）证：．
要证，即证，等价于证，令，
则只要证，由t＞1知lnt＞0，
故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．
①设g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），则，
故g（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．
②设h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．
由①②知（*）成立，得证．---------------------------------12分。