永安市第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

永安市第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若f （x ）=sin （2x+θ），则“f （x ）的图象关于x=对称”是“θ=﹣
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
2． 奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则
()()
21
0x f x f x -<--的解集为（ ） A ．()11-， B ．()()11-∞-+∞ ，， C ．()1-∞-，
D ．()1+∞，
3． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ）
A ．S 18＝72
B ．S 19＝76
C ．S 20＝80
D ．S 21＝84
4． 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，
Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =
，则直线PF 的方程为（ ）
A ．20x y --=
B ．20x y +-=
C ．20x y -+=
D ．20x y ++= 5． “m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的（ ）
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6． 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（ ）
A ．2
B ．
C ．﹣1
D ．以上都不正确
7． 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC === ,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）
8．已知
2,0
()
2,0
ax x x
f x
x x
⎧+>
=⎨
-≤
⎩
，若不等式(2)()
f x f x
-≥对一切x R
∈恒成立，则a的最大值为（）
A．
7
16
-B．
9
16
-C．
1
2
-D．
1
4
-
9．已知集合A={y|y=x2+2x﹣3}，，则有（）
A．A⊆B B．B⊆A C．A=B D．A∩B=φ
10．设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
12．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）
A．6 B．5 C．3 D．4
二、填空题
13．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g
（x ）（a ＞0且a ≠1），+=．若数列{}的前n 项和大于62，则n 的最小值
为 ．
14．已知函数2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+
的一条对称轴方程为6
x π
=，则函数()f x 的最大值为（ ）
A ．1
B ．±1
C
D ．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
15．设f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＞0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是 ．
16．已知含有三个实数的集合既可表示成}1,,
{a
b
a ，又可表示成}0,,{2
b a a +，则 =+20042003b a .
17．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．
18．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h =__________.
三、解答题
19．（本题满分12分） 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n +1． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）令b n =n （a n +1），求数列{b n }的前n 项和T n ．
20．已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2﹣19n+1，记T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |．
（1）求S n 的最小值及相应n 的值；
（2）求T n ．
21．已知不等式ax 2﹣3x+6＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，
（1）求a ，b ；
（2）解不等式ax 2
﹣（ac+b ）x+bc ＜0．
22．（本小题满分13分）
椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线:1l x my =-经过点1F 与椭圆C 交于点
M ，点M 在x 轴的上方．当0m =
时，1||2
MF =．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若点N 是椭圆C 上位于x 轴上方的一点， 12//MF NF ，且12
12
3MF F NF F S S ∆∆=，求直线l 的方程．
23．本小题满分12分如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=
，点E 、F 分别在边CD 、CB 上．点
E 与点C 、D 不重合，E
F AC ⊥，EF AC O = ，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆的位置，使平面PEF ⊥
平面ABFED ．
Ⅰ求证：BD ⊥平面P O A ；
Ⅱ记三棱锥P A B D -的体积为1V ，四棱
锥P BDEF -的体积为2V ，且
124
3
V V =，
求此时线段PO 的长．
24．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结BC ′，证明：BC ′∥面EFG ．
P
A
B
C
D
O
E
F F
E
O D
C
B
A
永安市第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：若f （x ）的图象关于x=对称，
则2×
+θ=
+k π，
解得θ=﹣+k π，k ∈Z ，此时θ=﹣
不一定成立， 反之成立，
即“f （x ）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：由
()()()()()2121
02102x x x f x f x f x f x --<⇒⇒-<--，即整式21x -的值与函数()f x 的值符号相反，当0x >时，210x ->；当0x <时，210x -<，结合图象即得()()11-∞-+∞ ，，．
考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 3． 【答案】
【解析】选B.∵3a 8－2a 7＝4， ∴3（a 1＋7d ）－2（a 1＋6d ）＝4，
即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋18×17d 2＝18（a 1＋17
2d ）不恒为常数．
S 19＝19a 1＋19×18d
2＝19（a 1＋9d ）＝76，
同理S 20，S 21均不恒为常数，故选B. 4． 【答案】B 【
解
析
】
考点：抛物线的定义及性质．
【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点．
5．【答案】B
【解析】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x﹣1=0，2x﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直；
当m≠0，2时，两条直线相互垂直，则×=﹣1，解得m=1．
综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．
∴“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．
故选：B．
【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
6．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序，可得
a=2，n=1
执行循环体，a=，n=3
满足条件n ≤2016，执行循环体，a=﹣1，n=5 满足条件n ≤2016，执行循环体，a=2，n=7
满足条件n ≤2016，执行循环体，a=，n=9 …
由于2015=3×671+2，可得：
n=2015，满足条件n ≤2016，执行循环体，a=，n=2017
不满足条件n ≤2016，退出循环，输出a 的值为． 故选：B ．
7． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，当01t <≤时，()21
22
f t t t t =
⋅⋅=，当12t <≤时， ()1
12(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12
t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符
合，故选C.
考点：分段函数的解析式与图象. 8． 【答案】C
【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．
当0a >（如图1）、0a =（如图2）时，不等式不可能恒成立；当0a <时，如图3，直线2(2)y x =--与函数2y ax x =+图象相切时，916
a =-，切点横坐标为83，函数2y ax x =+图象经过点(2,0)时，1
2a =-，
观察图象可得1
2
a ≤-，选C ． 9． 【答案】B 【解析】解：∵y=x 2+2x ﹣3=（x+1）2
﹣4，
∴y ≥﹣4． 则A={y|y ≥﹣4}． ∵x ＞0，
∴x+≥2
=2（当x=，即x=1时取“=”），
∴B={y|y≥2}，
∴B⊆A．
故选：B．
【点评】本题考查子集与真子集，求解本题，关键是将两个集合进行化简，由子集的定义得出两个集合之间的关系，再对比选项得出正确选项．
10．【答案】B
【解析】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，
两式相减得
3a3=a4﹣a3，
a4=4a3，
∴公比q=4．
故选：B．
11．【答案】A
【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，
则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=，
∵a2=b2+c2，∴c=，
∴椭圆的离心率为：e==．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．
12．【答案】D
【解析】解：∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，
∴a4•a5=2×5=10，
∴数列{lga n}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4
=4lg（a4•a5）=4lg10=4
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．
二、填空题
13．【答案】1．
【解析】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，
∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，
再左右扩展知f（x）为周期函数．
结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
14．【答案】A
【解析】
15．【答案】（﹣2，0）∪（2，+∞）．
【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：
g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，
即当x＞0时，g′（x）＞0，
∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
∴x＜0时，函数g（x）是减函数，
又∵g （﹣2）==0=g （2），
∴x ＞0时，由f （x ）＞0，得：g （x ）＞g （2），解得：x ＞2， x ＜0时，由f （x ）＞0，得：g （x ）＜g （﹣2），解得：x ＞﹣2， ∴f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
16．【答案】-1 【解析】
试题分析：由于{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫
=+⎨⎬⎩⎭
，所以只能0b =，1a =-，所以()20032003200411a b +=-=-。

考点：集合相等。

17．【答案】 甲 ．
【解析】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，
方差是
= [（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；
乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，
方差是= [（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；
∵
＜
，∴成绩较为稳定的是甲．
【解法二】根据茎叶图中的数据知，
甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些； 乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些； 所以甲的成绩相对稳定些． 故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．
18．【答案】 【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA ⊥底面ABC ，且ABC ∆为直角三角形，且
5,,6AB VA h AC ===，所以三棱锥的体积为11
5652032
V h h =⨯⨯⨯==，解得4h =.
考点：几何体的三视图与体积.
三、解答题
19．【答案】解：（1）∵a n+1=2a n +1， ∴a n+1+1=2（a n +1）， 又∵a 1=1，
∴数列{a n +1}是首项、公比均为2的等比数列， ∴a n +1=2n ， ∴a n =﹣1+2n ； 6分
（2）由（1）可知b n =n （a n +1）=n •2n =n •2n ﹣1
，
∴T n =1•20+2•2+…+n •2n ﹣1，
2T n =1•2+2•22…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，
错位相减得：﹣T n =1+2+22…+2n ﹣1﹣n •2n
=
﹣n •2n
=﹣1﹣（n ﹣1）•2n ， 于是T n =1+（n ﹣1）•2n ．
则所求和为12n
n 6分
20．【答案】
【解析】解：（1）S n =2n 2
﹣19n+1=2﹣，
∴n=5时，S n 取得最小值=﹣44．
（2）由S n =2n 2
﹣19n+1，
∴n=1时，a 1=2﹣19+1=﹣16．
n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n 2﹣19n+1﹣[2（n ﹣1）2﹣19（n ﹣1）+1]=4n ﹣21．
由a n ≤0，解得n ≤5．n ≥6时，a n ＞0．
∴n ≤5时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=﹣（a 1+a 2+…+a n ）=﹣S n =﹣2n 2
+19n ﹣1．
n ≥6时，T n =﹣（a 1+a 2+…+a 5）+a 6+…+a n
=﹣2S 5+S n =2n 2﹣19n+89．
∴T n
=
．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）因为不等式ax 2
﹣3x+6＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，所以x 1=1与x 2=b 是方程ax 2
﹣3x+2=0
的两个实数根，
且b ＞1
．由根与系的关系得
，解得
，所以得
． （2）由于a=1且 b=2，所以不等式ax 2
﹣（ac+b ）x+bc ＜0，
即x 2
﹣（2+c ）x+2c ＜0，即（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0．
①当c ＞2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x|2＜x ＜c}； ②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}； ③当c=2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为∅．
综上所述：当c ＞2时，不等式ax 2
﹣（ac+b ）x+bc ＜0的解集为{x|2＜x ＜c}；
当c ＜2时，不等式ax 2
﹣（ac+b ）x+bc ＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}；
当c=2时，不等式ax 2
﹣（ac+b ）x+bc ＜0的解集为∅．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由直线:1l x my =-经过点1F 得1c =，
当0m =时，直线l 与x
轴垂直，21||b MF a ==，
由2
1
2c b a
=⎧⎪⎨=
⎪⎩
解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程为2212x y +=． （4分） （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，120,0y y >>，由12//MF NF 知121211
22
||3||MF F NF F S MF y S NF y ∆∆===.
联立方程22
1
1
2
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22
(2)210m y my +--=
，解得y =
∴1y =
，同样可求得2y =， （11分） 由1
23y y =得123y y =
3=，解得1m =， 直线l 的方程为10x y -+=． （13分） 23．【答案】
【解析】Ⅰ证明：在菱形ABCD 中， ∵BD AC ⊥，∴BD AO ⊥． ∵EF AC ⊥，∴PO EF ⊥，
∵平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =，且PO ⊂平面PEF ， ∴PO ⊥平面ABFED ，
∵BD ⊂平面ABFED ，∴PO BD ⊥．
∵AO PO O = ，∴BD ⊥平面POA ．
Ⅱ设AO BD H = ．由Ⅰ知，PO ⊥平面ABFED ， ∴PO 为三棱锥P A B D -及四棱锥P B D E F -的高，
∴1211
,33ABD BFED V S PO V S PO ∆=⋅=⋅梯形，∵1243
V V =，
∴3344ABD CBD BFED S S S ∆∆==梯形，∴1
4
CEF CBD S S ∆∆=，
∵,BD AC EF AC ⊥⊥，
∴//EF BD ，∴CEF ∆∽CBD ∆． ∴21
()4
CEF CBD S CO CH S ∆∆==，
∴111
222
CO CH AH ===⨯
∴PO OC ==
24．【答案】 【解析】解：（1）如图
（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，
设长方体体积为V 1，小三棱锥的体积为V 2，则根据图中所给条件得：V 1=6×4×4=96cm 3
，
V 2
=
••2•2•
2=cm 3，
∴V=v1﹣v2=cm3
（3）证明：如图，
在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′
因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′，又EG⊂平面EFG，所以BC′∥平面EFG；
2016年4月26日。