江苏省扬大附中2025届高三下学期检测试题卷(一)数学试题

江苏省扬大附中2025届高三下学期检测试题卷（一）数学试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数
221a i
i
++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2
010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；
（2）已知2(2,)X
N σ，则 (2)0.5P X >=
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23y
x =-； （4）“1x ≥”是“1
2x x
+≥”的充分不必要条件. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．设0.3
80.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．a c b <<
D ．b a c <<
4．函数22cos x x
y x x
--=-的图像大致为（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
5．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．
35
B ．45
-
C ．
45
D ．
35
6．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．
643
π B ．
256
3
π C ．
436
3
π D ．
2048
327
π 7．设不等式组030
x y x y +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：22
4x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的
概率为（ ） A ．
524
B ．
724
C ．
1124
D ．
1724
8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ）
A ．31log 5+
B ．6
C ．4
D ．5
9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）
A ．(722+π
B ．(1022+π
C ．(1042+π
D ．(1142+π
10．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居
住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．
12
B ．
45
C ．38
D ．
34
11．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、
B 两点.若22,120=∠=AB AF BAF ，则双曲线
C 的渐近线方程为（ ） A ．33
y x =±
B ．62
y x =±
C ．(
)32=±
-y x D ．(
)
31=±
-y x
12．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两
点，坐标原点为O ，若2
2215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ） A ．
152
B ．
102
C ．
153
D ．
103
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设函数()f x x x a =-，若对于任意的1x ，2x ∈[2，)+∞，1x ≠2x ，不等式1212
()()
0f x f x x x ->-恒成立，则实数a
的取值范围是 ．
14．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ，b 的夹角等于3
π
，且（a c -）•（b c -）＝0，则|c |的取值范围是_____．
15．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有_________种. (用数字作答)
16．已知3sin 45πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，且344
ππα<<，则cos α=__________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、
、、、、、、共8个等级。

参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、
、
、
、
.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，
分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩. 举例说明.
某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属
等
级.而
等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：
设该同学化学科的转换等级分为，，求得
.
四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.
（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布
.
（i ）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的
物理成绩；
（ii ）求物理原始分在区间
的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布
列和数学期望. （附：若随机变量
，则，
，
）
18．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 是椭圆上
的一个动点（不与左、右顶点重合），且12PF F △的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线2,AP QF 交于点M .
（1）求椭圆方程；
（2）若直线2PF 与椭圆交于另一点N ，且224AF M AF N S S =△△，求点P 的坐标.
19．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2
22
22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2
6(cos sin )14ρρθθ=+-. （1）写出圆C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，()2,0P ，求22
||||PA PB +的值.
20．（12分）车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的100个零件的加工时间进行统计，结果如下：
以加工这100个零件用时的频率代替概率. （1）求X 的分布列与数学期望EX ；
（2）刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率. 21．（12分）已知函数()2x
f x xe x =-
（1）求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程
（2）设函数()()2ln g x f x x =-，对于任意()0,x ∈+∞，()g x a >恒成立，求a 的取值范围. 22．（10分）已知函数2()x
x
f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；
（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解题分析】 化简复数
221a i
i
++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标． 【题目详解】
221a i i ++2()(1)
1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．
故选：B ． 【题目点拨】
本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题． 2、C 【解题分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【题目详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2
010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有
210x ->，是错误的；
（2）中，已知(
)2
2,X N σ
~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得
回归直线方程为ˆ23y
x =-是正确；
（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x +≥”
成立的充分不必要条件． 【题目点拨】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 3、D 【解题分析】
结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案. 【题目详解】 由0.30.3
10
log 4log 13
<=-,即1b <-,
又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,
0.341>,即1c >,
所以b a c <<. 故选:D. 【题目点拨】
本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题. 4、A 【解题分析】 本题采用排除法: 由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫
-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
排除选项D ； 根据特殊值502
f π⎛⎫
>
⎪⎝⎭
排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【题目详解】
对于选项D:由题意可得, 令函数()
f x = 22cos x x
y x x
--=-,
则552
2
52252
2
f ππππ-
-⎛⎫-= ⎪⎝⎭
,552
2
52252
2
f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭
;
即5522
f f ππ⎛⎫
⎛⎫
-
=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
.故选项D 排除; 对于选项C ：因为552
2
522052
2
f ππππ-
-⎛⎫=> ⎪⎝⎭
,故选项C 排除;
对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除; 故选项:A 【题目点拨】
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题. 5、D
【解题分析】
利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值． 【题目详解】
解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫
=+=+=+ ⎪⎝⎭
，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22
k π
θαπ+=-
()k ∈Z ，即2()2
k k Z π
θπα=-
-∈时，函数取最小值()5f
θ=-，
所以3cos cos(2)cos()sin 2
25
k π
π
θπααα=--=-
-=-=-， 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题． 6、B 【解题分析】
由题，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，则根据余弦定理可得221
5825872
BC =
+-⨯⨯⨯
= ，ABC 的外接圆圆心
77
2sin 332
BC r r B =
=∴=
三棱锥的外接球的球心到面ABC 的距离15,2d SA == 则外接球的半径()
2
2
764
5
3
3R ⎛⎫
=+=
⎪⎝⎭
，则该三棱锥的外接球的表面积为2
256
43
S R ππ==
点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键． 7、B 【解题分析】
画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【题目详解】
作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示，
因为直线0x y +=，30x y -=的倾斜角分别为
34
π，6π， 所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224
ππ
π-
=.
故选：B 【题目点拨】
本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题. 8、D 【解题分析】
由对数运算法则和等比数列的性质计算． 【题目详解】
由题意313231031210log log log log ()a a a a a a ++
+=
53563563log ()5log ()5log 35a a a a ====．
故选：D ． 【题目点拨】
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键． 9、C 【解题分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【题目详解】
由题意可知几何体的直观图如图：
上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1
442223(1042)2
ππππ+⨯⨯⨯=+， 故选：C 【题目点拨】
本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.
10、C 【解题分析】
设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可. 【题目详解】
设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x y
y x ≤⎧⎨-≤⎩
，在平面直角
坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，
所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：
11
10101010553221010
8
P
. 故选：C
【题目点拨】
本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力. 11、D 【解题分析】
设2AF m =，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可. 【题目详解】
设22
2222,2cos1203AB AF m BF AB AF AB AF m ==∴=
+-⋅⋅=，由双曲线的定义可知：12,
AF m a =-因此12,BF a =再由双曲线的定义可知：1243
23
BF BF a m a -=⇒=
，在三角形12AF F 中，由余弦定理可知： 2
2
2
212222222112cos120(523)(523)F F AF AF AF AF c a a b a ︒=+-⋅⋅⇒=-⇒+=-22
2
2(423)(423)31b b
b a a a
⇒=-⇒=-⇒=-，因此双曲线的渐近线方程为：
(
)
31=±
-y x .
故选：D 【题目点拨】
本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力. 12、B 【解题分析】 由题可知121
2
OA c F F ==
，1290F AF ∠=︒，再结合双曲线第一定义，可得122AF AF a =+，对1Rt AF B 有2
2
2
11AF AB BF +=，
即()(
)
()2
2
2
22235AF a AF a
a +++=，解得2AF a =，再对12Rt AF F △，由勾股定理可得()()2
2
232a a c +=，化简
即可求解 【题目详解】
如图，因为15BF a =，所以2523BF a a a =-=.因为121
2
OA c F F ==所以1290F AF ∠=︒. 在1Rt AF B 中，2
2
2
11AF AB BF +=，即()(
)
()2
2
2
22235AF a
AF a
a +++=，
得2AF a =，则123AF a a a =+=.在12Rt AF F △中，由()()2
2
2
32a a c +=得10
2
c e a =
=
.
故选：B 【题目点拨】
本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2a ≤ 【解题分析】
试题分析：由题意得函数()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增，当2a ≤时()()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增；当2a >时()f x x x a =-在[,)a +∞上单调递增；在[2,)a 上单调递减，因此实数a 的取值范围是2a ≤ 考点：函数单调性
14、⎣⎦
【解题分析】
计算得到|a b +|=27c =|c |co sα﹣1，解得cosα2
1
c
+=，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.
【题目详解】
由（a c -）•（b c -）＝0 可得 2c =（a b +）•c a b -⋅=|a b +|•|c |cosα﹣1×2cos 3
π
=|a b +|•|c |cosα﹣1，α为a b
+与c 的夹角．
再由 ()
2
22a b
a b +=++2a •b =1+4+2×1×2cos
3
π
=7 可得|a b +|=
∴27c =|c |cosα﹣1，解得cosα2
1c
+=．
∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤121
c
+≤1，即27c -|c |+1≤0，解得 2≤|c |72
≤
，
故答案为⎣⎦
． 【题目点拨】
本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键. 15、1． 【解题分析】
试题分析：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能
从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=1．
考点：排列、组合及简单计数问题．
点评：本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详．
16、
2 10 -
【解题分析】
试题分析：因
3
44
ππ
α
<<,故,所以，
,应填
2
10
-.
考点：三角变换及运用．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)（i）83.;（ii）272.(2)见解析.
【解题分析】
（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足，结合正态分布的对称性即可求得内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数。

（2）根据各等级人数所占比例可知在区间内的概率为，由二项分布即可求得的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解。

【题目详解】
（1）（i）设小明转换后的物理等级分为，
，
求得.
小明转换后的物理成绩为83分；
（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布，
所以
.
所以物理原始分在区间
的人数为
（人）； （2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，
随机抽取4人，则
.
，
，
，
，
.
的分布列为 0 1 2 3 4
数学期望.
【题目点拨】
本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题。

18、（1）22
143x y +=；（2）135,24⎛ ⎝⎭或135,2
4⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解题分析】
（1）根据12PF F △的周长为22a c +，结合离心率，求出,a c ，即可求出方程；
（2）设(,)P m n ，则(,)Q m n --，求出直线AM 方程，若2QF 斜率不存在，求出,,M P N 坐标，直接验证是否满足题意，若2QF 斜率存在，求出其方程，与直线AM 方程联立，求出点M 坐标，根据224AF M AF N S S =△△和2,,P F N 三点共线，将点N 坐标用,m n 表示，,P N 坐标代入椭圆方程，即可求解. 【题目详解】
（1）因为椭圆的离心率为
1
2
，12PF F △的周长为6，
设椭圆的焦距为2c ，则22
2
226,1,
2,
a c c a
b
c a +=⎧⎪⎪
=⎨⎪+=⎪⎩ 解得2a =，1c =
，b =
所以椭圆方程为22
143
x y +=.
（2）设(,)P m n ，则22
143
m n +=，且(,)Q m n --，
所以AP 的方程为(2)2
n
y x m =
++①. 若1m =-，则2QF 的方程为1x =②，由对称性不妨令点P 在x 轴上方，
则31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立①，②解得1,
9,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
即91,2M ⎛⎫
⎪⎝⎭.
2PF 的方程为3(1)4
y x =--，代入椭圆方程得
229
3(1)124
x x +-=，整理得276130x x --=，
1x =-或137x =
，139,714N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭
. 222219
|227419|21||4
AF M
AF N
AF S S AF ⨯⨯==≠⨯⨯△△，不符合条件. 若1m ≠-，则2QF 的方程为(1)1
n
y x m -=
---， 即(1)1
n
y x m =
-+③. 联立①，③可解得34,
3,
x m y n =+⎧⎨=⎩所以(34,3)M m n +.
因为224AF M AF N S S =△△，设(,)N N N x y
所以2211|42
|||2M N AF y AF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，即4M N y y =. 又因为,M N 位于x 轴异侧，所以34
N n y =-
. 因为2,,P F N 三点共线，即2F P 应与2F N 共线，
223(1,),(1,)4
N n F P m n F N x =-=--
所以()31(1)4N n n x m -=-
-，即734
N m x -=， 所以2
2
73344143
m n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又22143
m n +=， 所以2
272839m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭
，解得12m =
，所以4n =±，
所以点P
的坐标为1,24⎛ ⎝⎭
或1,2
4⎛- ⎝⎭.
【题目点拨】
本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题. 19、（1）2
2
(3)(3)4x y -+-=；（2）20 【解题分析】
（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==即可得到答案；
（2）利用直线参数方程的几何意义，()2
2
2
22
1212122PA PB t t t t t t +=+=+-.
【题目详解】
解：（1）由2
6(cos sin )14ρρθθ=+-，得圆C 的直角坐标方程为
226614x y x y +=+-，即22(3)(3)4x y -+-=.
（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，
得221)3)4--=+，
即260t -+=，设两交点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，
从而12t t +=126t t =
则()2
2
2
22
1212122321220P PB t t t t t t A +=+=+-=-=.
【题目点拨】
本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道容易题. 20、（1）分布列见解析，27.75EX =；（2）0.8575 【解题分析】
（1）根据题目所给数据求得分布列，并计算出数学期望.
（2）根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式，计算出刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率. 【题目详解】
（1）X 的分布列如下：
200.15250.30300.40350.1527.75EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.
（2）设1X ，2X 分别表示讲座前、讲座后加工该零件所需时间，事件A 表示“留师傅讲座及加工两个零件示范的总时间不超过100分钟”，
则()()()111260160P A P X X P X X =+≤=-+>
()()()121212130,3535,3035,35P X X P X X P X X ⎡⎤=-==+==+==⎣⎦ ()
210.40.150.40.150.150.8575=-⨯+⨯+=.
【题目点拨】
本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查对立事件概率计算，考查相互独立事件概率计算，属于中档题.
21、（1）(22)y e x e =--；（2）22ln 2a <- 【解题分析】
（1）求出(),(1),(1)f x f f ''，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；
（2）a 的取值范围满足min ()a g x <，()0,x ∈+∞，求出()g x '，当()0,x ∈+∞时求出()0g x '>，()0g x '<的解，得到单调区间，极小值最小值即可. 【题目详解】
（1）由于'()(1)2,(1)22x
f x x e f e '=+-=-， 此时切点坐标为(1,2)e -
所以切线方程为(22)y e x e =--. （2）由已知()22ln x
g x xe x x =--，
故12'()(1)2(1)(1)()x
x
g x x e x e x
x
=+-+=+-. 由于(0,)x ∈+∞，故10x +>， 设2()x
h x e x =-
由于2()x
h x e x
=-在(0,)+∞单调递增 同时0x →时，()h x →-∞，x →+∞时，()h x →+∞， 故存在00x >使得0()0h x =
且当0(0,)x x ∈时()0h x <，当0(,)x x ∈+∞时()0h x >， 所以当0(0,)x x ∈时)'(0g x <，当0(,)x x ∈+∞时'()0g x >， 所以当0x x =时，()g x 取得极小值，也是最小值， 故0min 0000()()2(ln )x
g x g x x e x x ==-+
由于0
000000
2
()02ln ln 2x
x h x e x e x x x =-
=⇒=⇒+=， 所以min ()22ln 2g x =-，
22ln 2a ∴<-.
【题目点拨】
本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
22、（1）10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
；（2）1λ≥.
【解题分析】
（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x
x a h x e +==，计算函数单调区间得到值域，得到答案. （2）1x ，2x 是方程
12x
x a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，化简得到()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+---+< ⎪⎝⎭
，设函数，讨论范围，计算最值得到答案. 【题目详解】
（1）由题可知2()(1)20x
x
f x x e ae
'=+-=有两个不相等的实根，
即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x x a h x e
+=
=，
()
2
(1)()x x
x x e x e x
h x e e -+-'=
=
，x ∈R ，
(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，
故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==. 又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >， ∴2(0,1)a ∈，即10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
.
（2）由（1）知，1x ，2x 是方程
1
2x x a e
+=的两根， ∴1210x x -<<<，则1
12200x x x x λλ
+>⇔>->
因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<-
⎪⎝⎭，又()()21h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
即1
1
1
11
1x x x x e e
λ
λ
-
-
++<
，两边取对数，并整理得：
()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+--
-+< ⎪⎝⎭
对1(1,0)x ∈-恒成立， 设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛
⎫
=+--
-+ ⎪⎝
⎭
，(1,0)x ∈-， 1
(1)(1)()(1)1(1)()1x x F x x
x x x λ
λλλλλ
++-'=
+
-+=
++--，
当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，
∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意； 当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<， ∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意. 综上，1λ≥. 【题目点拨】
本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。