初三-圆的有关概念和对称性含答案-

课程主题：圆的概念和圆的对称性
学习目标1.掌握圆的基本概念；
2.掌握圆的中心对称与轴对称的基本性质。

教学内容
【知识梳理】
圆的概念
【知识梳理】
一、集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心、定长为半径的圆；（补充）
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
（补充）3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
知识点一点与圆的位置关系(本节重点)
在平面内，点与圆有3种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外．
如果设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么
（1）点P在圆内⇔d＜r；（2）点P在圆上⇔d＝r；（3）点P在圆外⇔d＞r.
知识点二与圆有关的概念
1．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．3．顶点在圆心的角叫做圆心角．
4、顶点在圆周且两边与圆相交的角叫做圆周角。

5．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．能够互相重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
如果两条弧是等弧必须满足两个条件：（1）长度相等；（2）角度相等。

【例题精讲】
例1. 圆的定义
(1)以已知点O为圆心，可以画________个圆；
知识精讲
(2)以已知线段AB的长为半径，可以画________个圆．
答案：无数；无数。

例2. (1)直径是弦，弦是直径．这句话正确吗？
(2)半圆是弧吗？弧是不是半圆？
(3)长度相等的两条弧是等弧吗？为什么？
答案：（1）不正确；（2）是；不是；（3）不是。

例3.已知线段AB=6cm，则经过A、B两点的最小的圆的半径为．
答案：3cm．
例4.线段AB=10cm，在以AB为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有个．答案：如图所示：到点A的距离为5cm的点有2个．
例5.如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC的度数．
答案：连接OD，如图，
∵AB=2DE，
而AB=2OD，
∴OD=DE，
∴∠DOE=∠E=20°，
∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°，
而OC=OD，
∴∠C=∠ODC=40°，
∴∠AOC=∠C+∠E=60°．
【巩固练习】
1.如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=74°，则
∠E=．
答案：（）°．
2.下列说法正确的是（）填序号．
①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；
③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦．
答案：④．
3.如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
答案：（1）连OB，如图，∵AB=OC，OB=OC，∴AB=BO，
∴∠AOB=∠1=∠A=20°；
（2）∵∠2=∠A+∠1，∴∠2=2∠A，
∵OB=OE，∴∠2=∠E，∴∠E=2∠A，
∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．
圆的对称性
【知识梳理2】
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项都成立．
【例题精讲】
例1、求角的度数：
1、如图所示，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝30°，则∠B＝( )
A．150°B．75°C．60°D．15°
答案:B
2．如图，AB、CE是⊙O的直径，∠COD＝60°，且AD BC
那么与∠AOE相等的角有
_______，与∠AOC相等的角有_______．
答案：∠AOD，∠DOC，∠BOC；∠DOE，∠DOB，∠BOE.
例2、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系：
将顶点在圆心我周角等分成360分时，每一份圆心角是 1的角，因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把 1的圆心角所对的弧叫做 1的弧，故圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

一般地， n的圆心角对着 n的弧， n的弧对着 n的圆心角。

3． (1)如图，弦AB把⊙O分成2：7两部分，∠AOB＝_______°；
(2)在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为_______°；
(3)圆的一条弦分圆为3：6两部分，其中劣弧所对圆心角为_______°．
4．如图，在同圆中，若∠AOB＝2∠COD，则AB与2CD的大小关系是 ( )
A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB＝2CD D．不能确定
5．如图，在同圆中，若AB＝2CD，则AB与2CD的大小关系是 ( )
A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB＝2CD D．不能确定
答案：3. 80,60,120 4.C 5.A
例1.如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C、D，且AC=BD，OA与OB相等吗？为什么？
答案：OA=OB．
如图，过O作OE⊥AB于E，
∵CD是⊙O的弦，OE⊥CD，∴CE=DE，
∵AC=BD，∴AE=BE，
∵OE⊥CD，∴OA=OB．
例2.已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．
求证：AE=BF．
证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，则AM=BM．
又∵OE=OF∴EM=FM，∴AE=BF．
例3.如图，∠AOB=90°，CD是的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．
求证：AE=BF=CD．
答案：连接AC，BD，根据∠AOB=90°得出∠AOC的度数，由等腰三角形的性质求出∠OFE 的度数．根据SAS定理得出△ACO≌△DCO，故可得出∠ACO=∠OCD，根据等角对等边可得出AC=AE，同理可得BF=BD，由此可得出结论．
【巩固练习】
1.如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC=16，求⊙O的直径．
答案：连接OB，设OB=OA=R，则OE=16﹣R，
∵AD⊥BC，BC=16，∴∠OEB=90°，BE=BC=8，
由勾股定理得：OB2=OE2+BE2，
R2=（16﹣R）2+82，解得：R=10，
即⊙O的直径为20．
2.如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，求证：AC=BD．
答案：证明：过圆心O作OE⊥AB于点E，
在大圆O中，OE⊥AB，
∴AE=BE．
在小圆O中，OE⊥CD，
∴CE=DE．
∴AE﹣CE=BE﹣DE．
∴AC=BD．
★垂径定理
按下面要求完成下题：
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．
（2）AM=BM ，，，即直径CD 平分弦AB ，并且平分及． 这样，我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
证明过程：
已知：直径CD 、弦AB 且CO ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，，. 进一步，还可以得到结论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
※垂径定理（重要）：
定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

核心方法：
（1）定理中的“垂直弦的直径”可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段。

（2）定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心，②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此条弦，②平分此弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧 规律与方法：
（3）垂直于弦的直径同时具备以下五个性质：：①过圆心，②垂直于一条弦，③平分此条弦，④平分此弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。

例题选讲：
例题1、垂径定理
1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽
度AB 是________cm.
B
A
C
D
O
M AC BC =AD BD =AB ADB AC BC =AD BD =B A C
O
M
答案：48
2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大
深度为________cm.
答案：16
3、如图，已知在⊙O中，弦CD
AB⊥，垂足为H，AB
OE⊥
AB=，且CD
于E，CD
OF⊥于F.
（1）求证：四边形OEHF是正方形.
（2）若3
DH，求圆心O到弦AB和CD的距离.
=
=
CH，9
答案：
①证明：
∵AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD
∴∠EHF=∠OEH=∠OFH=90°
∴四边形OEHF是矩形（有3个角是直角的四边形是矩形）
∵AB=CD
∴OE=OF（弦相等，弦心踞相等）
∴四边形OEHF是正方形（邻边相等的矩形是正方形）
②
∵CH=3，DH=9
则CD=CH+DH=12
∵OF⊥CD
∴CF=DF=6（垂径定理）
则FH=CF-CH=6-3=3
∵四边形OEHF是正方形
∴OE=FH=3
∵OE⊥AB
∴圆心O到AB的距离为OE=3
4、已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB 的长．
5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是
的中点，AD ⊥BC 于D ，求
证：AD=2
1
BF.
例题2、相交问题
如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.
O
A
B
D
E
F
C
例题3、平行问题
在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.
例题4、平行与相似
已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，
CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.
解答：
证明：过O 作OG ⊥CD ，连接OC 、OD
∵OC ＝OD ，OG ⊥CD
∴CG ＝DG
∵OG ⊥CD ，AE ⊥CD ，BF ⊥CD
∴AE ∥OG ∥BF
∴AO/BO ＝EG/GF
∵OA ＝OB
∴EG ＝FG
∵CE ＝EG-CG ，DF ＝FG-DG
∴CE ＝DF
【课堂练习】
1．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，如果AB=10，CD=8，那么AE 的长为( )
A ．2
B ． 3
C ．4
D ． 5
答案:A
2、如图，在O 中，120,3AOB AB ∠=︒=，则圆心O 到AB 的距离= 答案：2
3
3、如图，D 内接于O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O 于点E , 连接,AE BE 则下列五个结论①
AB DE ⊥,②AE BE =,③OD DE =,④AEO C ∠=∠,⑤12AB ACB =
，正确结论的个数是( ) A ．2 B ．3 C ． 4 D ．5
答案：（1,2,5）B
B
A O
C
O
D
E B
A
4、小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）
A．2 B．5 C．22 D．3
答案：5
课后作业
1、如图，已知点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D．
求证：（1）∠OBA=∠OCD；（2）AB=CD．
答案：证明：（1）∠OBA=∠OCD，理由如下：
过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N
∵∠EPO=∠FPO，∴OM=ON，
在Rt△OMB和Rt△ONC中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△ONC（HL），
∴∠OBA=∠OCD．
（2）∵Rt△OBM≌Rt△OCN，∴BM=CN，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AB=2BM，CD=2CN，
∴AB=CD．
2、如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.6m，
（1）求排水管内水的深度．
（2）当水面的宽AB为0.8m时，此时水面上升了多少米？
答案：（1）作半径OC⊥AB，垂足为点D，连接OA，则CD即为弓形高，
∵OC⊥AB，
∴AD=AB，
∵AO=0.5，AB=0.6，
∴AD=AB=×0.6=0.3，
∴OD==0.4，
∴CD=OC﹣OD=0.5﹣0.4=0.1米，即此时的水深为0.1米
（2）当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点P
同理可得OP=0.3，
当MN与AB在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；
当MN与AB在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7米．
3、如图，是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽8cm，水的最大深度为2cm，求该输水管的半径是多少？
答案：过点O做OC⊥AB于点D，连接OA．
设半径长为rcm，
∵OC⊥AB，∴AD=AB=×8=4（cm），
∵CD=2cm∴OD=r﹣2（cm）
在Rt△AOD中，由勾股定理得：（r﹣2）2+42=r2
r2﹣4r+4+42=42
4r=20
r=5，
答：该水管的半径是5cm．
4、残缺的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．测得AB=24cm，CD=8cm．求这个圆的半径．
答案：设这个圆的圆心是O，
连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x﹣8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2=122+（x﹣8）2，
解得：x=13．
答：圆的半径为13cm．。